ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2011, No 2, с. 54-60
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 681.3.06
О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДВУХМЕРНОЙ
СИСТЕМЫ ОДУ ВБЛИЗИ ВЫРОЖДЕННОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ СРЕДСТВАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
© 2011 г. В. Ф. ЕДНЕРАЛ
Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова 119991 Россия, Москва, Ленинские горы, 1 E-mail: {edneral} @theory.sinp.msu.ru
В. Г. РОМАНОВСКИЙ
CAMTP - Центр прикладной математики и теоретической физики, Факультет естественных наук и математики, Университет Марибора SI-2000 Словения, Марибор, ул. Крекова, 2 E-mail: {valery.romanovsky}@uni-mb.si Поступила в редакцию 09.10.2010 г.
Рассматривается автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенная относительно производных. Для изучения ее локальной интегрируемости в окрестности вырожденной неподвижной точки, используется подход, основанный на методе степенной геометрии. В предыдущей работе для некоторой двухмерной системы, зависящей от пяти параметров, был найден полный набор условий на эти параметры, являющихся необходимыми для локальной интегрируемости рассматриваемой системы вблизи сильно вырожденной неподвижной точки. В настоящей работе показано, что эти же условия являются и достаточными для глобальной интегрируемости системы и средствами компьютерной алгебры найдены соответствующие первые интегралы движения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dжi/dí = Xi = ( (X), г = 1,...,п, (1.1)
где X = (х1,...,хп) € Сп - переменные, а (^Х) - полиномы.
Систему (1.1) называют локально интегрируемой в окрестности и неподвижной точки X = X0, если она имеет там достаточное число т первых интегралов движения вида
аз(X)/Ь3(X), ; = 1,..., т, (1.2)
где функции (X) и (X) являются аналитическими в и. Иначе будем называть
систему (1.1) локально неинтегрируемой в этой окрестности.
Для интегрируемости двухмерной (п = 2) системы, достаточно иметь единственный такой первый интеграл, т.е. в этом случае т = 1.
В окрестности неподвижной точки X = 0 система (1.1) может быть записана в виде
X = AX + ф(X), (1.3)
где полином Ф^) не имеет свободных и линейных членов.
В [1,2] был предложен метод для анализа интегрируемости системы (1.3), основанный на степенной геометрии и последующем вычислении нормальных форм вблизи неподвижных решений преобразованных систем.
Пусть Ах, Л2,..., \п являются собственными значениями матрицы А. Если по крайней мере одно из этих чисел отличается от 0, то неподвижную точку X = 0 называют элементарной неподвижной точкой. В этом случае у системы (1.3) есть нормальная форма, которая эквивалентна системе более низкого порядка [3]. Однако если исчезают все собственные значения, то неподвижную точку X = 0 называют вырожденной. В этом случае у системы (1.3) нет нормальной формы. Но при использовании степенного преобразования (соответствующей замены переменных), вырожденная неподвижная точка X = 0 может быть расщеплена на несколько элементарных неподвижных точек. После этого возможно вычислить нормальную форму и проверить, что условие локальной интегрируемости А [4] удовлетворено в каждой такой элементарной неподвижной точке. Это будет необходимым условием локальной интегрируемости уравнения в вырожденной неподвижной точке в исходных координатах (см. параграф 3 главы II книги [3]).
В статье [5] рассмотрен конкретный пример двухмерной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от пяти параметров. Изучена ее локальная интегрируемость в окрестности вырожденной неподвижной точки. В окрестности каждой из элементарных неподвижных точек, отмеченное выше условие А, является для двухмерной системы с рациональным отношением корней характеристического многочлена матрицы линейной части необходимым и достаточным условием ее локальной там интерируемости. В настоящей ситуации это условие формулируется как условие на значения коэффициентов системы, возникающее при решении бесконечных систем алгебраических уравнений. Ввиду этого, формальными методами можно выделить из таких условий лишь набор необходимых условий на параметры системы, при невыполнении которых система локально неинтегрируема в вырожденной неподвижной точке в исходных координатах. В пространстве параметров было обнаружено четыре двухмерных области, в которых, и только в которых интегрируемость возможна. Из рассмотрения, однако, было исключено значение параметра Ь2 = 2/3 (см. обсуждение после формулы (2.4)). Этот случай должен исследоваться отдельно.
Настоящая статья посвящена поиску достаточных условий интегрируемости в перечисленных выше областях в пространстве параметров. Показано, что в каждой такой области существует аналитический первый интеграл движения, т.е. там имеет место и глобальная интегрируемость. Для трех областей первые интегралы выписаны в явном виде типа (1.2). Для четвертой области интеграл выписан в виде неаналитической функции, но доказано существование там и аналитического первого интеграла. Проведенные исследования включают в себя весьма громоздкие вычисления, которые были бы невозможны без инструментальных средств компьютерной алгебры. В данном случае были использованы системы MATHEMATICA и SINGULAR [8].
Близкая по тематике статья направлена в труды конференции CASC-2010, однако вычисленные в ней четыре первых интеграла движения были получены тремя совершенно различными способами. В настоящей статье все эти интегралы вычислены единообразным методом, что значительно упростило применение средств компьютерной алгебры.
2. ИЗУЧАЕМАЯ СИСТЕМА
Мы изучаем двухмерную полиномиальную систему
дх/М = —у3 — Ьх3у + а0 х5 + ах х2у2, (21) ((у/М = 1/Ьх2у2 + х5 + Ь0 х4у + Ьх ху3. ( . )
Набор необходимых условий локальной интегрируемости системы (2.1) в пространстве параметров был найден в работе [5]. Для этого было выполнено степенное преобразование
2 3
x = uv , y = uv
(2.2)
и перемасштабирование времени dt = u2v7dr.
Техника определения конкретного вида степенного преобразования для расщепления вырожденной точки сформулирована в параграфе 5 главы III книги [2] и на стр.7 книги [3], а также проиллюстрированы в работе [1].
В итоге система (2.1) была записана в виде
^и/^т = -3 и - (3 Ь + 2/Ь)и2 - 2 и3+
+(3 а1 - 2 Ь1)и2^ + (3 а0 - 2 Ь0)и3^ = = и (и,и),
^/^т = V + (Ь + 1/Ь)и^ + и2-и+
+(Ь1 - а1)uv2 + (Ь0 - a0)u2v2 = = V (и, V).
(2.3)
Под действием степенного преобразования (2.2), точка х = у = 0 расщепляется на две прямых линии и = 0 и V = 0. Вдоль линии и = 0 у системы (2.3) есть единственная неподвижная точка и = V = 0. Вдоль второй линии V = 0 у этой системы есть четыре элементарных неподвижных точки, включая и неподвижную точку из первой линии
1
и = 0, и = - -, Ь
3Ь
и = - У,
и = .
(2.4)
Необходимо найти условия локальной интегрируемости во всех неподвижных точках (2.4), тогда получим необходимые условия локальной интегрируемости системы (2.1) вблизи точки X = 0. Мы ограничиваем свое исследование случаем Ь2= 2/3, когда линейная часть (2.3) имеет неисчезающие собственные значения. При Ь2 = 2/3 система (2.3) в новых переменных и и V имеет в точках и = -1/Ь и и = -3 Ь/2 в качестве линейной части жорданову ячейку с нулевыми собственными значениями, т.е. начало координат в свою очередь является вырожденной особой точкой. Этот случай необходимо изучать отдельно, используя степенное преобразование еще раз. За исключением этой точки, где могут существовать дополнительные области интегрируемости, в работе [5] найдены все области в пространстве параметров системы, при которых система (2.1) может оказаться локально интегрируема вблизи вырожденной неподвижной точки. Этих областей четыре
1) а0 = 0, а1 = -Ь0 Ь, Ь1 = 0,
2) Ь1 = -2а1, а0 = а1 Ь, Ь0 = Ь1Ь,
3) Ь1 = 3а1/2, а0 = а1 Ь, Ь0 = Ь1Ь,
4) Ь1 = 8а1/3, а0 = а1 Ь, Ь0 = Ь1Ь.
(2.5)
Указанный результат был получен при использовании степенного преобразования (2.2) и вычисления соответствующих нормальных форм программой, описанной в работе [9].
3. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Используя так называемый метод Дарбу (см., например, [10]), покажем, что при выполнении условий 1) - 4), действительно существует аналитический первый интеграл.
Напомним, что множитель Дарбу некоторой системы
= Р (х,у), ^у/^ = д(х,у), (3.1)
это такой многочлен /(х,у), для которого справедливо равенство
/+/ = К/,
дх ду
(3.2)
где К(х, у) - также многочлен, причем если Р и д суть полиномы от х и у максимальной степени п, то К(х, у) будет полиномом степени самое большее п - 1. К(х,у) называют кофактором. Простое вычисление показывает, что если существуют множители Дарбу /1, /2,...,/ с кофакторами К1, К2,..., Кк, удовлетворяющие соотношению
к
Е
i=1
ОД К = 0,
(3.3)
то функция
I=/а1 ■ ■ ■ /кк (3.4)
является первым интегралом системы (3.1). Если же
¿^к + р£ + ду = 0,
i=1
то система (3.1) имеет интегрирующий множитель
м = /а1... /а.
3.1. Первая область
Предположим, что выполнено первое из условий (2.5), т.е. а0 = 0, а1 = -Ь0Ь, Ь1 = 0. В этом случае система принимает вид
и = -3 и - (3 Ь + 2/Ь)и2 - 2 и3-
-Ь0 (3 Ь + 2 и)и^ = и (и, V), V = V + (Ь + 1/Ь)и V + и^+ +Ь0 (Ь + и)и V2 = V(и, V).
(3.5)
Очевидно, что и и V - множители Дарбу системы (2.3) с кофакторами К1 = и (и, V)/«,
и К2 = V(и, у)/у, соответственно. Другие множители Дарбу ищем методом неопределенных коэффициентов, начиная с множителей первой степени, т.е. начиная с многочлена f = 1 + Л-юи + Л01у. Принимая во внимание, что правые части системы (2.3) являются многочленами четвертой степени, кофактор К ищем в виде многочлена третьей степени К = к=1^2к=о Ск-^ик-гуг. Подставляем эти выражения для f и К в (3.2), приводим затем подобные, составляем уравнения, обнуляющие коэффициенты при всех мономах икув, получая таким образом нелинейную полиномиальную систему уравнений для неопределенных коэффициентов. Решая эту систему с помощью системы МАТНЕМАТ1СА, находим f = 1 + || и К3 = —(2и(1 + Ьи + ЬЬ0иу))/Ь. Решая уравнение (3.3), т.е. а1К1 + а2К2 + а3К3 = 0, находим ах = 2а3, а2 = 6а3. Следовательно,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.