ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1350-1355
УДК 519.624.1
О ВЫЧИСЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
С ФРАКТАЛЬНЫМ ИНДЕФИНИТНЫМ ВЕСОМ1}
© 2007 г. А. А. Владимиров
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-матем. ф-т) e-mail: vladimi@mech.math.msu.su Поступила в редакцию 17.11.2006 г. Переработанный вариант 26.02.2007 г.
Предлагается эффективный метод вычисления собственных значений граничной задачи
-у" - Xpy = 0, у(0) = y(1) = 0,
° -i
где р е W2 [0, 1] - обобщенная производная некоторой самоподобной функции P е L2[0, 1]. Библ. 6.
Ключевые слова: задача Штурма-Лиувилля, метод вычисления собственных значений, фрактальная индефинитная весовая функция.
1. ВВЕДЕНИЕ
1. Рассмотрим граничную задачу
- у"- Хру = 0, (1)
у( 0) = у( 1) = 0, (2)
где Х е С - спектральный параметр. В случае когда вес р представляет собой равномерно положительную непрерывную функцию, эта задача является классической. Однако она представляет
интерес и в той существенно менее изученной ситуации, когда в роли веса р выступает обобщен° 1
ная функция класса Ж2, [0, 1]. Для случая неотрицательности весовой функции операторные модели такой сингулярной задачи указывались, например, в [1], [2]. Более общая ситуация, связанная с допущением веса произвольного знака, рассматривалась в [3], [4].
Известно (см., например, [1, ф-ла (11.7)]), что в классическом случае асимптотика считающей функции Я собственных значений задачи (1), (2) при Х —► имеет вид
Я (X)
1
1 JVp d|
X1/2,
где dц - линейная мера Лебега. Сингулярные задачи не допускают такого единообразного описания. Поэтому для более детального исследования необходимо вводить различные ограничения
° 1
на вид сингулярного веса. Наиболее изученной является ситуация, когда вес р е Ж2, [0, 1] представляет собой обобщенную (в смысле Соболева) производную некоторой самоподобной (фрактальной) функции Р е Ь2 [0, 1]. Именно такая ситуация и рассматривалась в [2]-[4] (обсуждение приложений полученных при этом результатов в теории случайных процессов может быть найдено в [5]). Подробное описание класса квадратично суммируемых самоподобных функций будет дано в п. 3 разд. 2.
Полученные на указанном пути результаты могут быть кратко охарактеризованы следующим образом. Каждой самоподобной функции Р е £2[0, 1] ставится в соответствие неотрицательное число В < 2, называемое спектральным порядком этой функции (см. [3, § 3]). В случае вы-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00283), гранта поддержки ведущих научных школ НШ-5247.2006.1 и ШТАБ, грант < 05-1000008-7883.
полнения неравенства В > 0 асимптотика считающей функции положительных собственных значений задачи (1), (2) с весом р ^ Р' имеет при X —► вид
Я (X)- 5 (1п Х)Хв/2, (3)
где 5 - некоторая периодическая непрерывная функция (зависящая от выбора функции Р).
2. В настоящее время, по всей видимости, неизвестен способ, который позволял бы охаракте-ризовывать поведение фигурирующей в асимптотике (3) функции 5 на основе общих соображений. В частности, мы не располагаем критерием, позволяющим определять, для каких весов р функция 5 вырождается в константу. Между тем сколь угодно точные оценки функций 5 для различных конкретных весов р могут быть установлены экспериментально на основе численного определения собственных значений задачи (1), (2). Примеры применения такого подхода были приведены в [3, § 5]. В частности, там было отмечено, что если вес представляет собой обобщенную производную известной канторовой лестницы, то функция 5 заведомо не является постоянной. Ниже будет изложен вычислительный метод, применение которого позволяет сделать указанные теоретические выводы.
2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К КОНЕЧНОМЕРНОЙ
1. Как и в [3], [4], под индексом инерции таЕ эрмитова оператора Е, действующего в некотором гильбертовом пространстве &, будем понимать точную верхнюю грань размерностей конечномерных подпространств Ш с &, удовлетворяющих условию
Зе > 0 Ух е Ш : {Ех, х) < -е||х||&. (4)
Имеет место следующее
Утверждение 1. Пусть &х и &2 - два гильбертовых пространства, а & - прямая сумма &х © &2 пространств &х и &2. Пусть также Е : & —► & - ограниченный эрмитов оператор с блочно-матричным представлением
Е =
/ л
А В * В С
в котором оператор С : &2 —► &2 равномерно положителен. Тогда выполняется равенство
таЕ = шё( А - В * С-1 В). (5)
Доказательство. Ввиду ограниченной обратимости оператора С, для оператора Е можно рассмотреть факторизацию Фробениуса-Шура Е = Н*ЕоН, где через Н и Е0 обозначены операторы с блочно-матричными представлениями:
Н
1 0
Е
А - В * С В 0 0С
С В 1
При этом оператор Н обладает ограниченным обратным вида
НТ1 =
1 0
-С-1 В 1
а для любого вектора х е & выполняются равенства
{Ех, х) = {Н*Е0Нх, х) = {Е0(Нх),(Нх)).
Тогда для любого конечномерного подпространства Ш с &, удовлетворяющего условию (4), подпространство Ш0 ^ НШ имеет ту же размерность и удовлетворяет условию
Зе > 0 Ух е Ш0 : {Е0х, х) < -е||х||&, (6)
а для любого конечномерного подпространства Ш0 с &, удовлетворяющего условию (6), подпространство Ш ^ Н-1Щ, имеет ту же размерность и удовлетворяет условию (4). Таким обра-
зом, выполняется равенство ^Р = indР0. Ввиду положительности оператора С это означает выполнение равенства (5).
л- ° 1
2. В дальнейшем через & будем обозначать пространство Соболева Ж2 [0, 1], снабженное скалярным произведением
1
<У, Ф Ф.
о
Простым следствием теоремы 4.1 из [3] является
Утверждение 2. Пусть Р - пучок действующих в пространстве & линейных операторов, удовлетворяющий тождеству
1
<Р(Х)у,у) = [(|у'|2 + ХР(|у|2)')ф УХе К Уу е &. (7)
Пусть также = 1 - последовательность (возможно, частичная) сосчитанных в порядке возрастания положительных собственных значений граничной задачи (1), (2). Тогда для любых натурального числа п > 1 и вещественного числа Х е (0, vn) выполняется неравенство ^Р(Х) < п, а для любых натурального числа п > 1 и вещественного числа Х е (уп, выполняется неравенство ^Р(Х) > п.
Таким образом, при наличии в нашем распоряжении метода вычисления достаточно точных оценок индексов инерции операторов из пучка Р мы можем вычислять оценки собственных значений граничной задачи (1), (2) на основе метода деления отрезка.
3. Пусть теперь - набор из натурального числа N > 1 и вещественных чисел ак > 0, ёк и вк, где к = 1, 2, ..., N, удовлетворяющих соотношениям
N
У Ок = 1, У а^к\2 < 1.
Ь = 1
к = 1
Как и в [3], с набором 5 связывается семейство [Ок }к!= 1 действующих в пространстве ¿2[0, 1] линейных операторов вида
Л) Х(ак + Ок Ъак + Ок
где через {ак ^=1 обозначен набор чисел вида ах = 0, ак + 1 = ак + ак, а через х - индикаторы промежутков I. При этом на основе семейства операторов {Ок! конструируется нелинейный, вообще говоря, оператор О5вида
N
Оз/Ф У(йкО/ + РкХад +1)) У/ е ¿2[0, 1 ]. (8)
к = 1
Этот оператор является сжимающим, и введенная ранее величина 05 представляет собой его коэффициент сжатия (см. [3, лемма 3.1]).
Сжимающие операторы, допускающие представление в виде (8), мы называем операторами подобия. Функции/е ¿2[0, 1], являющиеся неподвижными точками операторов подобия, называются самоподобными. Набор чисел 5, которому отвечает оператор подобия О5, оставляющий неподвижной некоторую заранее фиксированную функцию/е ¿2[0, 1], называются набором параметров самоподобия функции/
4. С произвольно фиксированным набором 5 параметров самоподобия функции Р мы в дальнейшем будем связывать конечномерное подпространство &5, 1 пространства &, обладающее ба-
0
N
< -1 зисом {у5, к }к =1 вида
к(х) =
(X - ак) /Ок при X е [аь ак +1 ], (ак +2-х)/Ок +1 при х е [ак + ьак+2], 0 иначе.
При этом через 2 будет обозначаться ортогональное дополнение $ © 1 подпространства 1. Нетрудно видеть, что справедливо следующее
Утверждение 3. Подпространство 2 имеет вид 2 = {у е $ | У к = 2, 3, ..., N : у(ак) = 0}. Введем теперь в рассмотрение три пучка Л3, Б5 и С5 линейных операторов, значениями которых Л3(к) : 1 —► 1, Б3(к) : 1 —► 2 и С^Х) : $5, 2 —- $5, 2 при произвольно фиксированном Х е К являются элементы блочно-матричного представления
ад =
' Л5(Х) Б* (Х)Л Б5(Х) С5(Х)
определенного условием (7) оператора Е(Х). Из утверждения 1 следует
Утверждение 4. Пусть даны два вещественных числа X > 0 и £ > 0, удовлетворяющих неравенствам £ > 2||Б5(Х)||2 и ||С5(Х) - 1|| < 1/2. Тогда выполняются неравенства таЛ5(Х) < таЕ(Х) и та Е(Х) < ш^Л^Х) - £).
Утверждение 4 позволяет свести задачу вычисления оценок индекса инерции оператора Е(Х) к допускающей непосредственное решение на ЭВМ задаче вычисления оценок индексов инерции конечномерных операторов Л 5(Х) и Л 5(Х) - £. Однако при этом встает вопрос об области применимости утверждения 4 и о степени точности получаемых на его основе оценок величины та Е(Х). Изучению этого вопроса будет посвящен следующий раздел.
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
1. Имеет место следующее
Утверждение 5. Пусть даны набор 5 параметров самоподобия функции Р и вещественное число Х > 0. Тогда выполняются неравенства ||Б5(Х)|| < Х05||Р||^[0, 1] и ||С5(Х) - 1|| < Х05||Р[0, 1].
Доказательство. Заметим, что полуторалинейные формы операторов Б5(Х) и С5(Х) - 1 удовлетворяют тождествам
1
<Б5(Х)у, *} = Х|Р(у*)'ф Уу е ь У* е 2,
<(С5(Х) -1)у, *} = Х|Р(у*)'ф Уу, * е 2.
При этом функция Р в правых частях выписанных тождеств может быть заменена функцией Р5 е 12[0, 1] вида Рв Ф 1 ^ОР, удовлетворяющей очевидному равенству ||Р51|^[0, 1] = = б5||Р ||ь2[0,1 ]. Заметим также, что для любых двух функций у, * е $ выполняются соотношения
11(у*)11 Ь2[0, 1 ] < 11у*'11 Ь2[0, 1 ] + iу4ь2[0, 1 ] < iы1с[0, 1 ]||а Ь2[0, 1 ] + i 1*11с[0, 1 ]||у11 £2[0, 1 ] <
11у11 Ьг[0, 1 ]..........11*11 Ьг[0, 1 ]..................
<--- * ......
2 "¿2[0,1 К 2 1г[0,1 ] "
С учетом сделанных замечаний доказываемое утверждение тривиальным образом выводится из неравенства Коши-Буняковского. 2. Имеет место следующее
0
0
Утверждение 6. Пусть даны набор S параметров самоподобия функции P и натуральное число m > 1. Тогда оператор Gm я
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.