ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 5, с. 553-557
= МЕХАНИКА
УДК 531.53
О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ КАЧАЮЩЕЙСЯ ПРУЖИНЫ
ПРИ РЕЗОНАНСЕ © 2015 г. А. Г. Петров
Представлено академиком РАН В.Ф. Журавлевым 16.02.2015 г. Поступило 03.03.2015 г.
Изучается частный случай резонанса, в котором частота вибрации точки подвеса равна собственной частоте колебаний по вертикали и в два раза больше собственной частоты горизонтальных колебаний. В модели учитывается сила трения в пружине. За достаточно большое время устанавливаются близкие к гармоническим колебания. Амплитуда по горизонтали существенно превосходит амплитуду вертикальных колебаний. Методом осреднения построено асимптотическое решение, описывающее переходный процесс установления периодического решения. Проведенное сравнение аналитического решения с численным показывает его высокую точность.
DOI: 10.7868/S0869565215290113
Задача о плоских колебаниях качающейся пружины при резонансе 1 : 2 введена в рассмотрение А.А. Виттом и Г.С. Гореликом [1]. В ней описан эксперимент, в котором наблюдается периодическая перекачка энергии вертикальных колебаний маятника в горизонтальные. Как отмечается в монографии [2, с. 106], этот опыт был предложен Л.И. Мандельштамом для иллюстрации некоторых особенностей колебаний молекул углекислого газа, которые обнаружил Э. Ферми [3], анализируя рамановские спектры газообразного углекислого газа. В его модели молекулы частота продольной моды практически совпадает с удвоенной частотой поперечной моды, вследствие чего происходит модуляционный режим обмена энергии между модами колебаний молекулы. Это приводит к появлению дополнительных полос в рамановских спектрах. Пружинный маятник с двумя колебательными степенями свободы — простейший классический аналог такой системы, на что и обратили внимание Л.И. Мандельштам, А.А. Витт и Г.С. Горелик.
С тех пор задача о колебаниях качающейся пружины привлекает к себе внимание многих исследователей. Однако авторы ограничиваются качественным описанием явления. В монографии [4] представлен обзор таких работ по этой теме, а также показано, что колебания строго по вертикали неустойчивы. При малом отклонении по горизонтали происходит постепенный переход вертикальных колебаний в горизонтальные и вы-
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва E-mail: petrovipmech@gmail.com
числена главная асимптотика периода перекачки. Период логарифмически зависит от отклонения по горизонтали.
В работах [5, 6] построено асимптотическое решение плоской задачи при резонансе 1 : 2, описывающее периодический процесс перекачки энергии в элементарных функциях. В [7, 8] построено асимптотическое решение задачи о свободных трехмерных колебаниях качающейся пружины при резонансе 1 : 1 : 2.
В настоящей работе строится асимптотическое решение для вынужденных плоских колебаний качающейся пружины при резонансе 1 : 2 : 2.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается маятник с двумя степенями свободы: тяжелая точка, качающаяся на невесомой пружине. Точка подвеса вибрирует по вертикали с амплитудой а, частотой О' и с ускорением w0 = — аО'2ео8О7.
Введем следующие обозначения: с — жесткость пружины, I — ее длина в положении покоя груза, т — масса груза, ¡х, ¡г — координаты груза, ¡Я —
длина пружины, где Я = *]х2 + (1 + г) .
Декартова система координат имеет начало в точке О — положении покоя груза. Оси г и х направлены по вертикали и горизонтали соответственно (рис. 1).
Натяжение пружины меняется по следующему закону:
С( - 1о)
T =
lo
где l0 — длина ненагруженной пружины.
I
„ c(IR - l0)2 E = - - - mgfe,
2 /„
»2 ml
k = T
= g - Wq,
dX2 + f dz
Adtv W-
mgl
dx dt
2
Hx = z(KX - 1), H2 = 2 (u2 + w2 + z2 K(X + 1) + (x2) KX),
F1 = 1 Kzx2 + a z cos Q t, K = —, X = - - 1.
2 mg -o
В положении равновесия линейная часть гамильтониана равна нулю, откуда получаем KX = 1. Уравнения движения гамильтоновой системы с учетом силы трения — kw имеют вид
dx = dH du = dH dz = dH dw = дН dt du' dt дх' dt дw' dt dz'
(2)
H = H2 + F, H2 = u-2 + w- + (K±i)z2 + x.2. 2 1 2 2 2 2 2
Рис. 1.
Потенциальная Ер и кинетическая Ек энергии системы в неинерциальной системе координат, связанной с точкой подвеса, имеют вид
В этой системе три частоты: ю1 = 1, ю2 = JK + 1 — частоты колебаний горизонтальной и вертикальной мод, Q — частота вынужденных колебаний. Линейная система имеет вид
z = w, w = -(K + 1)z - a cosQt - kw, x = u, U = -x. Она имеет следующее периодическое решение:
(Q2 - K - 1) cos Qt - kQ sin Q t z = a -----.
(Q2 - K - 1) + (k Q)2
При условии резонанса Q2 — K — 1 = 0 это решение упрощается:
sin Q t
z = -a -
kQ
Здесь t и t = J-1 — размерное и безразмерное время.
Введем безразмерные импульсы u = х, w = z (точка — дифференцирование по безразмерному времени) и запишем через них функцию Гамиль-
тт Ek + En
тона H = —--:
mgl
тт h 2 2Ч c( lR - l0 )2
H = - ( u + w ) - z + —-— + azcos Q t,
2 2 mgll0
Q = Q' ll, a = ^.
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
Для изучения движения вблизи положения покоя разложим гамильтониан в окрестности положения равновесия Н = Н1 + Н2 + где Иъ Н2 — полиномы первой и второй степеней. В возмущенную часть отнесены моном третьей степени и работа силы вибрации:
Сравнение с численным решением показывает, что нелинейными членами можно пренебречь при всех значениях частоты О, за исключением окрестности резонанса 1.87 < О < 2.16. В случае резонанса К = 3, О = 2 линейная теория не применима и решение следует строить, учитывая нелинейные члены.
РЕЗОНАНС К = 3, О = 2
Гамильтиониан системы при К = 3, О = 2 имеет вид
2 2.2 2
Н = Н2 + Н2 = и- + »- + ^ + х-,
2 ^ 2 2 2 2 2
Г, = -3гх2 + az cos2 1 2
Подставляя выражения для Н2 и и введя дополнительно силу трения —к^, получим следующую систему уравнений:
х - и = 0, и + х = -3xz,
3 2 (3)
Z - ^ = 0, ц! + 4z = — х - аcos2í- к^.
2
Без ограничения общности моно считать, что Разрешаем уравнения относительно X, и, 2, V:
~ п
а > 0. Действительно, при замене t = t + - знак
параметра а меняется на противоположный и, следовательно, решение при а < 0 строится из ре-
~ п
шения при а > 0 заменой t = t + - . Можно также
заметить, что при замене х ^ —x, u ^ — u уравнения (3) не меняются. Это означает, что наряду с решением x(t), u(t), z(t), w(t) существует второе решение —x(t), —u(t), z(t), w(t).
Для построения асимптотического решения введем малый параметр б, через который выражаем параметры системы: а = s2, к = &кх. Решение системы ищем в виде
X = ±(б — sint + s2x), u = ±(s —— cost + s2и),
^ Тз J, ^ 73 J
( •л X
V U
= s
(
-A sin t V A cos t
( • л Z
V W
= s
- B sin 21 2
V Bcos2t У
Система приведена к стандартной форме и можно применить первую теорему Боголюбова в методе осреднения [10].
С помощью (6) выражаем A и B через переменные X, U, Z, W:
A = V3sint^ 1 - 2^Zcos21 + t^,
B = -kx( Wcos2t- 2Zsin2t) -
- 2*/3 (Xcos t + ÍJsin t) sin t, и осредняем выражения в правых частях
(4)
-A sin t
_ V3
_ Тэ,
2(~ 1 г = s х -
------ ( 1 + 2Z), A cos t = -W,
4 V 7 4
w = s w.
Уравнение (3) в новых переменных принимает вид
x - и = 0, и + х = sA, х - w = 0, w + 4z = sB,
A = 73 sin t V1 - 2 г) + O(s), B = - к 1 w - 2j3 X sin t + O (s).
(5)
- -sin 21 = - (73 X - 2k,Z), 2 4V 1 7
B cos2t = 1 (73 U - к 1W).
В результате получаем следующую систему:
X = -s ---3 ( 1 + 2 Z), U = -s ---3 W, 44
Z = ^Т3х- 2k,Z), W = 1 s(V3 U- к1 W).
В пространстве переменных X, U, Z, W система
(7)
Для построения асимптотического решения используем подход [9]. При отсутствии правых имеет четыре собственные значения
Ч 2 = - 4 (к1 + 7 к1- 6),
Ч 4 = (к1 - Vк1 - 6)
частей система уравнений (3) имеет решение
х = Xcos t + Usin t, u = U cos t - Xsin t,
W (6)
z = Zcos2t +—sin21, w = Wcos2t- 2Zsin21. 2
С учетом правых частей X, U, Z, Wбудут зависеть от времени. Формулы (6) являются подстановкой, в которой исходные переменные x, u, z, w выражаются через новые переменные X, U, Z, W, медленно меняющиеся со временем. В результате подстановки получим следующие уравнения для X, U, Z, Wкак функций времени t:
и четыре собственные вектора
( \
Ri, 3 =
0
к, + л/kf
- 6
2V3 0 0
R2, 3 =
ki — л/k2 - 6
V3 0 1
0
( ) ( л ( \
cos t sin t X =s 0
V - sin t cos t У V ÙJ У V A У
/ л
cos21 sin21
V -sin2t cos2t У
Z
W-2
( 0 л
=s
- B
v 2 У
Общее решение линейной системы имеет вид
( ) ( 4 -к,/73 Xi (st )
0 + U, (st) -1/2 Zi(st) 0 ^ V W1 (st)
( Xл U Z
V W у
( Л
X, (бг) и (б г) г, (6 г) Щ (б г)
п = 1
С^е п
Х„Е1
пени определяется параметром 8 = к при к1 < 46 и 8 = 1 (к1 — л/к! - 6) при к1 > Тб .
Неподвижной точке соответствуют два периодических решения (4), устойчивых по второй тео-
Поскольку действительные части собственных реме Боголюбова: значений отрицательны, то неподвижная точка
X = - , и = 0, Z = -1, Ж = 0 устойчива. При-
73 2
ближение к неподвижной точке происходит по экспоненте в-ж(, где наибольший показатель сте-
х = ±1 6 — sin г - б2
43
^-сов г] + О (б3),
43 ]
z = - б2^1 + + О (б3).
В исходных переменных периодические решения имеют вид
х = ± /а ( 2sin t - к cos t),
г = -а( - + 1cos21). V 4 2
k1
Решение с начальными условиями X(0) =---h
Тз
+ X0, U(0) = О, Z(0) = - - + Z0, W(0) = 0 имеет вид
2 . . 2~ 21) х = s-sin t + s х, г = s z - - ,
Тз V 47
W
х = Xcos t + Jsin t, z = Zcos2t +—sin21,
2
X = - — + - klXQ(exit - eV) +
V3 2*1 k2l - б
2*1 к1 -I + Х ( + ) ,
2
2 = - 1 + к1^о - 3Х0 (- ) +
2 2 Vк? - 6
+ ^0 (+ ). 2
Оно описывает переходный процесс установления периодического решения. Рисунок 2 позво-
ляет сравнить эту аналитическую зависимость x(t) и z(t) при X0 = —10, Z0 = 10 при s = 0.1, k1 = 2 (нижний рисунок) с численным решением исходной системы (3) (верхний рисунок) при тех же начальных условиях. Как видно, различие мало и при таких больших начальных значениях X0 и Z0.
Автор благодарит В.Ф. Журавлёва за полезные советы и обсуждение результатов.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14—19—01633).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Витт А.А., Горелик Г.С. Колебания упругого маятника
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.