О ВЫПОЛНЕНИИ КВАНТОВОГО АДИАБАТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ФАКТОРИЗАЦИИ НА ДВУХ КУДИТАХ
В. Е. Зобов* А. С. Ермилов
Институт физики им. Л. В. Кирснского Сибирского отделения Российской академии наук
660036, Красноярск, Россия.
Поступила в редакцию 19 ноября 2011 1".
Рассматривается выполнение адиабатического квантового алгоритма факторизации на двух кудитах с числом уровней (Ь и (1-2- Предложен способ получения изменяющегося во времени эффективного гамильтониана с помощью последовательности операторов поворота, селективных по переходам между соседними уровнями кудита. Найдена последовательность импульсов радиочастотного магнитного поля и выполнено численное моделирование факторизации чисел 35, 21 и 15 на двух квадрупольных ядрах со спинами 3/2 (сЬ = 4) и 1 (сЬ = 3).
1. ВВЕДЕНИЕ
Для воплощения ОСНОВНЫХ ИДОЙ и достоинств квантовых вычислений достаточно рассмотрения операций с двухуровневыми квантовыми системами кубитами [1]. Значительно чаще в природе встречаются многоуровневые квантовые системы. Лишние уровни можно попросту игнорировать, но они создают помехи, если близки по энергетической шкале. Такие помехи приходится устранять [2,3]. Предпочтительнее использовать дополнительные состояния, соответствующие этим уровням, непосредственно в процессе вычисления. Например, в работе [4] предложено использовать третий уровень для реализации вентиля Тоффоли на кубитах. Эффективность такого подхода продемонстрирована в экспериментах на фотонных [5] и сверхпроводящих [6] системах. Еще более перспективной представляется реализация квантовых алгоритмов непосредственно на многоуровневых системах (кудитах, при наличии (1 уровней) [7,8]. С использованием представлений виртуальных кубитов квантовые вычисления можно проводить уже на уровнях одного кудита: квадру-полыгого ядра [9 14], молекулярного магнетика [15] или ридборговского атома [16]. Однако для реализации всех преимуществ квантовых вычислений над классическими следует перейти к многокудитным системам и многоуровневой логике [7,8,17 22].
Одним из достоинств многокудитных систем по сравнению с многокубитными является возмож-
Е-таП: геа'ШрЬ.krasn.ru
ность обеспечения одинакового размера вычислительного базиса меньшим числом физических элементов. Уменьшение числа элементов должно облегчить управление ими, однако способы управления кудитами еще недостаточно разработаны. Для квадрупольных ядер ((1 = 21+1, где / спин ядра), на которых выполнено большое количество экспериментов (см., например, работы [10 14,23, 24]), обзор способов управления дан в работе [25]. В работе [26] мы рассмотрели выполнение квантового алгоритма поиска порядка подстановки на двух кудитах с й\ = 8 и (1-2 = 4 вместо пяти кубитов, использованных в работе [27] для экспериментальной реализации методом ЯМР такого алгоритма для подстановки из четырех элементов.
Квантовые вычисления могут быть осуществлены не только с помощью схем из вентилей [1], но и посредством адиабатического изменения гамильтониана [28 31] от начального гамильтониана Н( 0) = Нс, основное состояние |Ф(0)) которого легко приготовить, к конечному гамильтониану Н(Т) = Нр, основное состояние |Ф(Т)) которого кодирует решение поставленной задачи. При реализации квантовых адиабатических алгоритмов [28 31] или квантового отжига [30,32] система находится в основном состоянии, что позволяет надеяться на большую устойчивость к помехам. Таким путем можно решить задачу, например, об основном состоянии в модели Изинга [32] или же сложные комбинаторные задачи [28 31]. Недавно,
например, был предложен [31] и реализован методом ЯМР на трех кубитах, представленных спинами I = 1/2 [33], адиабатический квантовый алгоритм факторизации (разбиения числа Лг = рц на сомножители). Алгоритм основан на поиске основного состояния системы, минимизирующего весовую функцию И" = (Лг ^ рц)2. Отметим, что в случае классического компьютера задача факторизации большого числа относится к классу экспоненциально сложных задач, но при решении на квантовом компьютере с помогцыо известного алгоритма Шора ее сложность меняется на полиномиальную. Вопрос о достижимости экспоненциального ускорения при адиабатическом вычислении остается дискуссионным [34].
Способы реализации указанного адиабатического алгоритма факторизации на кудитах не рассматривались и составляют предмет предлагаемой работы. Мы рассмотрим выполнение этого алгоритма па двух кудитах, й\ и (1-2 ■ Поскольку для любого четного числа известна как минимум одна пара множителей (Лг = 2р), учитывать будем лишь варианты нечетных чисел. Таким образом, максимальный размер факторизуемого числа Лг = — 1)(2(12 — 1). Использованных в эксперименте [33] трех спинов оказалось достаточно для адиабатической факторизации числа 21. В нашем случае для факторизации числа 21 достаточно = 4, (12 = 2, тогда как при (1г = 4, (1-2 = 3 уже можно факторизовать число 35. Для реализации на кубитах понадобилось бы четыре спина / = 1/2, для управления которыми надо было бы создать четырехспиновое эффективное взаимодействие (в добавление к трехеппновому, необходимому при факторизации числа 21 в работе [33]). Для двух спинов многочастичного взаимодействия не надо. Однако для управления кудитами необходимы операторы, селективные по переходам между уровнями, вместо операторов, селективных по спинам, которые применяют для управления ку битами. В разд. 2 нами предложен способ построения зависящего от времени эффективного гамильтониана для многоуровневых систем с помощью операторов поворота, селективных по переходам между уровнями. В качестве примера в разд. 3 мы взяли два ква-друпольных ядра со спинами = 3/2 = 4) и 1-2 = 1 ((12 = 3). Спин 3/2 имеет, например, ядро 23Ма, квантовые алгоритмы на котором были реализованы экспериментально методом ЯМР в работах [10 12]. Спином 1=1 обладает ядро дейтерия 2Н, ЯМР-управление состоянием которого выполнено в работе [23]. Для управления такими системами применяются импульсы радиочастотного (РЧ) магнитного поля, селективные по переходам меж-
ду соседними уровнями [10,11,13, 23]. Квантовые алгоритмы на системах из двух квадрупольных ядер, связанных спин-спиновым взаимодействием, пока не реализованы. Мы найдем соответствующие последовательности РЧ-импульсов и выполним компьютерное моделирование квантового адиабатического алгоритма факторизации.
2. ПОЛУЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА С ПОМОЩЬЮ
ОПЕРАТОРОВ ПОВОРОТА, СЕЛЕКТИВНЫХ ПО ПЕРЕХОДАМ
Гамильтониан двух выбранных ядер, помещенных в аксиально-симметричное кристаллическое поле и в сильное постоянное магнитное поле, представим в виде [351
//() — —| / Г — ¡ >
41
(I:
г)2
1)
• Ц'2
(I,
\2
¡Ы1,
1)
л;-п
(1)
где и^- = ¿?о7>' ларморова частота спина ц\ и (¡2 соответствующие квадрупольные константы,
.7
константа спин-спинового взаимодействия, /у
оператор проекции спина соответствующего ядра на направление постоянного магнитного поля (ось г). Энергию будем измерять в частотных единицах и полагать Н = 1. В качестве вычислительного базиса используем собственные функции [тьтг) операторов II и 1~2 со значениями проекций соответственно т± и ГП2- Пронумеруем функции натуральными числами, начиная с основного уровня; например,
п = /у — II) I + 1 для одного спина.
Адиабатический алгоритм осуществляется с помощью зависящего от времени гамильтониана, который непрерывно изменяется, например, по линейному закону:
А „ ( t
Н(1) = 1
Т
Нг
т
н„
0 < * < Г. (2)
Если гамильтониан изменяется достаточно медленно, то квантовая адиабатическая теорема гарантирует, что квантовый компьютер будет с большой вероятностью находиться в основном состоянии [28 34].
Весовой функции И" = (Лг — рц)2 соответствует гамильтониан
Яр = О [Лг - № - 211 )№ - Щ)]2. (3)
где (1] = 2/^ + 1, а С) масштабный множитель, необходимый для обеспечения соизмеримости с гамильтонианом (1). Если Лг = рц, то основное состояние гамильтониана Нр с равной нулю энергией достигается при р = (¡1 — 211' Ч = 'к ~ , т. о. при
4 =
ill - Р
г- — ii> —
d-2 - q
n=di
|Ф(0)> = \S) = - £
n=l 1
\fdid-2
i k=d2 \ w i -1 ^ E =
' k=1 / mi = Ii m2 = I'i
I'"1 • lll-j).
mi = — Ii т2 = — 1'2
/1 1 1 1 \
1 а 2 а .. а"-1
QFTd = 1 2 а <т4 .. а**-1)
11 а"-1 а2Ы-1) .. а«1-1^ )
a = охр
2m
Для получоппя отвота нужно изморить проекции спинов.
В качество начального состояния возьмем равно-суперпозиционное состояние
Подобное состояние для системы из спинов 1 = 1/2 получают с помогцыо вентилей Адамара, а в качестве начального гамильтониана обычно выбирают Нс = В случае кудитов (/ > 1/2) состоя-
ние |5) не является собственным состоянием такого гамильтониана. Состояние |5') может быть получено из основного состояния гамильтониана (1) с максимальными проекциями | Ii, ¡2) двух спинов на ось г с помощью оператора квантового преобразования Фурье (quantum Fourier transform, QFT):
| S) = F|Ji,J2>, где F = F1 о F2, Fj = QFT,/. (j = 1,2),
Поскольку |5) должно быть основным состоянием гамильтониана Нс, в качестве оператора Нс возьмем оператор
Нс = (Рг с /•■<) • //„ • № с> Г1. (4)
Следуя работе [33], оператор адиабатической эволюции за время Т = А/Л/ с гамильтонианом, изменяющимся по линейному закону (2), представим в виде произведения операторов эволюции на последовательности из М малых временных интервалов Ар.
ит = Рохр [ / ¡11(1)<н \ = Д ит, (5)
V о / '«=°
где Р оператор упорядочения во времени. На каждом таком интервале будем пренебрегать измененном гамильтониана (2) и приближенно представлять оператор эволюции в виде произведения трех некомму тирующих операторов:
т \ А/ II,
М,
-г 1
Um = охр х охр (—j охр
гп
~ М
AtHc
(6)
где т дискретное время (0 < т < М).
Нужные операторы в (6) будем получать с помощью операторов поворотов {#}','•'". селективных по переходам между уровнями спина , где в угол поворота вокруг оси а (а = х.у, г), к и п номера уровней, изменяющиеся от единицы до В матричном виде
_
i eh,i
Ек-i 0 0 0
в
cos ■
0 Еп-к-1 . в
0
• Sill ;
о
sin ■
0
в
cos ■
{0}к_Т
0 0 0 0 —п
Ek-i 0 ■в\ 'V 0 0 0
0 охр (- 0 0 0
0 0 Еп—к—1 0 0
0 0 0 охр ^г 0
0 0 0 0
(7)
Здесь Е/, ед
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.