МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. А. А. АФАНАСЬЕВ
О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФРОНТОВ ИСПАРЕНИЯ С МЕЖПЛАСТОВОЙ ГРАНИЦЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Рассмотрена эволюционность и структура фазовых разрывов между водой и паром, образующихся в геотермальном резервуаре на границе проницаемых пластов с разными свойствами. В коротковолновом приближении предложен графический способ решения задачи о распаде произвольного разрыва в геотермальном резервуаре, который состоит из двух пластов с разными свойствами.
Ключевые слова: фильтрация, фазовые переходы, короткие волны, волны Римана, задача о распаде произвольного разрыва.
Процессы неизотермической фильтрации, например воды или пара в геотермальном пористом резервуаре, существенно зависят от теплофизических свойств пористой среды и свойств ее взаимодействия с подвижными фазами. При математическом моделировании эти свойства характеризуются параметрами проницаемости, пористости породы, относительными фазовыми проницаемостями воды и пара, коэффициентами теплоемкости и теплопроводности пористой среды и т.д. Эти параметры могут изменяться на протяжении геотермальной системы, причем возможны резервуары, в которых имеется резкая граница между породами с разными свойствами. При математическом моделировании можно считать, что имеется межпластовая граница, на которой свойства пористой среды терпят разрыв.
В однофазном течении воды или пара на границе между пластами градиент давления терпит разрыв, обусловленный тем, что один из пластов меньше препятствует течению, т.е. имеет более высокую проницаемость. На границе может рваться коэффициент теплопроводности породы, поэтому помимо градиента давления терпит разрыв и градиент температуры. В двухфазных течениях на межпластовой границе также рвется водона-сыщенность - объемное содержание воды в порах, и протекают процессы фазового перехода. Таким образом, разрыв свойств скелета породы провоцирует образование разрывов полей давления, температуры и водонасыщенности - межпластовых разрывов. Их скорость равна нулю, а положение в резервуаре совпадает с положением межпластовой границы.
В работах [1-3] исследована эволюционность и структура всех возможных подвижных границ фазового раздела между водой и паром в пористой среде. Выявлено, что для корректной постановки и решения задач фильтрации воды и пара на одном из разрывов должно выполняться дополнительно к законам сохранения условие Жуге. В [4, 5] решена классическая одномерная задача о распаде произвольного разрыва в геотермальном пласте. Обнаружено, что при рассмотренных параметрах задачи она имеет до шести качественно различных многофронтовых решений. Выявлено, что с требованием существования структуры разрывов решение задачи о распаде произвольно разрыва существует и единственно. В [6] рассмотрена схожая к [4, 5] задача об инжекции пара в насыщенный нефтью пласт. В [7] рассмотрена задача об изотермическом отборе газа из системы пластов с разной проницаемостью. Получены асимптотические законы поведения величины расхода газа.
В данной работе предложенное в [3] описание фазовых фронтов между водой и паром обобщено на случай межпластовых разрывов. В отличие от [5], где решения задачи о распаде произвольного разрыва построены при помощи численного решения дифференциальных уравнений, в данной работе в "коротковолновом" приближении построены точные решения задачи о распаде произвольного разрыва в пористом резервуаре, состоящем из двух пластов с разными свойствами. Эти решения описывают конфигурации волн, которые образуются после взаимодействия фронтов с межпластовыми разрывами.
1. Постановка задачи. Рассмотрим процессы одномерной фильтрации воды и пара в несжимаемом пористом резервуаре. В точке х = 0 пористость, проницаемость, относительные фазовые проницаемости воды и пара, плотность, теплоемкость и теплопроводность вмещающей породы терпят разрыв, а в областях х < 0 и х > 0 они постоянны. В случае общего положения в точке х = 0 имеется межпластовый разрыв, разделяющий зоны воды, пара или пароводяной смеси, в которых могут распространяться подвижные границы фазового раздела - фронты фазового перехода [3]. Пусть фронт набегает на межпластовый разрыв. Исследуются возможные конфигурации волн, которые выработаются после взаимодействия разрывов.
Задачу решаем в коротковолновом приближении. Считаем, что в начальный момент времени г = 0 расстояние от межпластового разрыва до набегающего на него фронта ЬПп много меньше характерного масштаба внешней задачи Ьех, который определяется протяженностью пористой системы (Цп < Ьех). Скорость набегающего фронта обозначим W. После взаимодействия разрывов условия на межпластовом разрыве изменятся и за время г (М ~ Ьп) выработается новая система волн, уходящих от точки х = 0. Считаем, что на масштабах задачи ЬПп давление - Р и температура - Т, распространение волн которых описывается уравнением диффузии [4], постоянны, а изменяются только их градиенты и водонасыщенность - В зонах пара ^ = 0, в зонах воды ^ = 1. Вместо Т в качестве определяющего параметра выберем ^ = Т - Т(Р) - перегрев жидкости. Здесь Т(Р) -температура термодинамического равновесия между водой и паром.
Вместо задачи о взаимодействии разрывов будем решать более общую задачу о распаде произвольного разрыва. Изучаем эволюцию следующего начального распределе-
ния:
„ дР дР
X < 0, =
дх дх
х > 0,
дР
д х
дР
дх
дЕ
дх
дЕ
дх
дЕ
дх
дЕ
дх
s = s_
(1.1)
Начальные условия должны быть термодинамически непротиворечивыми: в областях воды температура должна быть меньше температуры кипения ^ < 0, а в областях пара, наоборот, больше ^ > 0. Если в коротковолновом приближении ^ = 0, то условие непротиворечивости запишем в виде
_Г|дЕ
- 2/ дх
> 0,
_Г|дЕ
■ 2/д х
< 0
(1.2)
Условия (1.2) означают, что на масштабах внешней задачи х ~ Ьех с удалением от точки х = 0 в область воды ^ убывает, а в область пара, наоборот, ^ растет.
2. Основные уравнения. Присвоим параметру, который зависит от свойств породы, индекс I, если х < 0, и г, если х > 0. Систему одномерных законов сохранения массы и энергии, описывающую с учетом закона фильтрации Дарси, процессы совместной неизотермической фильтрации воды и пара запишем в виде [1-3]
+
+
дР + АГ-К дР^| = 0
дг д х V д х )
д££ + £ V _хд/) = £ М/
дг дхV А д х) д хV дх
р(Р, Т) = mspw + т( 1- л)ри + (1- т)р5
ре(Р, Т) = тлр„е„ + т(1- л)р„е„ + (1- т)р5е5
( 0 /(л) К/и(л) к(л, Р, Т) = —--+ Ри-
Ф(л, Р, Т)
М
К/к (л)
Ми
К/и( л ) Н^ + Ри-Н
(2.1)
" М№ Ми
Х(л, Р, Т) = тлХк + т( 1 - л)Хи + (1 - т)Х4
Х(л, Р, Т) = ф + XТ/,
Т ' = аТ/ 1 / = 1Р
Здесь индекс и соответствует значениям в паре, ^ - в воде, л - в скелете пористой породы, т - пористость пласта, К - проницаемость пористой среды, /(л) - относительная фазовая проницаемость, ц - вязкость, е - плотность внутренней энергии, Н - энтальпия, X - коэффициент теплопроводности.
В двухфазной области фильтрации пароводяной смеси (2.1) замыкаем условием равновесия Р = 0, тогда (2.1) вырождается: имеется одно гиперболическое и пара малых возмущений параболического типа [1, 3]. В однофазной области фильтрации воды или пара (2.1) замыкаем условиями л = 1, Р < 0 или л = 0, — > 0 соответственно, тогда (2.1) имеет две пары малых возмущений параболического типа.
Для того чтобы определить члены (2.1), которыми можно пренебречь при г ^ 0, Ьп ^ 0, М ~ Цп, и, следовательно, для того чтобы упростить (2.1), рассмотрим свойства волн, распространяющихся на указанных масштабах. Ищем решение (2.1) в виде (2.2) в коротковолновом случае, когда ю ^ к ^ Также считаем, что ю ~ к.
р=ро+дР
Р + д — —0 + дх
х + 5Р ехр I (кх - юг), 5Р ^ 0
х + 5—ехр I (кх - юг), 5— ^ 0
(2.2)
л = + 5 л ехр I (кх - ю г), ^ 0
В зонах смеси в (2.2) следует положить Р0 = 0, д—/дх|0 = 0, 5Р = 0, а в зонах воды (пара)
л,
0 = 1(0), 5л = 0. Подставив (2.2) в (2.1) получим дР
- ¡юр'^л - ¡кк
- ¡юре^5л - ¡к%
5л + к2к5Р = 0
д х ,дР дх
0
5л + к2х5Р - ¡кX',
0 Л 5 дх
5л + к Х5Р = 0
(2.3)
В (2.3) слагаемые при 5л пропорциональны ю или к, а при 5Р, 5— - к2, следовательно, для того чтобы при ю ~ к ^ «> (2.3) выполнялось, нужно устремить амплитуды 5Р ^ 0, 5— ^ 0 быстрее, чем 5л ^ 0. Ниже считаем, что на масштабах задачи Ьы давление и перегрев среды постоянны, а изменяются дР/дх, дР/дх и л. Таким образом, в (2.1) р, ре, к, %,
0
0
0
X рассматриваем только как функции я при фиксированных Р = Р0 и Г = Г0, тогда уравнения (2.1) содержат три независимые величины: дР/дх, дГ/дх и я. В областях воды или пара (2.1) замыкаем условиями я = 1 и я = 0 соответственно, а в областях смеси условиями дГ/дх = 0, Г0 = 0. Разрывы уравнений (2.1) возможны только при Г0 = 0 [3]. Изучаем разрывные решения (2.1), поэтому ниже считаем, что Г0 = 0. Систему (2.1) (Р = Р0, Г = Г0) приведем к виду (2.4)
дя д ( Н „ дО „
т"="--"-"- --—^ О = 0, --г— = 0 (2.4)
дг дх 11 + О) дх
H (я)
Р G = ^ Р_Я dF (dP)(25)
у ' ydx\дх) '
я) = ря X - Р е>> о, О = дРР (2.6)
РяР «я дх
р' = т(р№ - ри)|Г = 0 > 0
, = (2.7)
Рея = т(Р*,К - РьЬц)\г = 0 > 0
Здесь Н адиабата разрыва; определение Н в (2.5) отличается от определения Н в [3] на постоянный множитель ря рея > 0. Ниже используем определение (2.5), так как оно удобнее при исследовании межпластовых разрывов. Неравенство (2.6) есть условие дис-сипативности (2.1) в смеси. Безразмерный параметр О обращается в ноль в зонах смеси и в общем случае О Ф 0 в зонах воды или пара [3].
При характерных физических свойствах воды, пара и скелета породы (см. например [5]) Н есть выпуклая вниз функция (д2Н/д я2 > 0), которая имеет точку минимума при я0 ^ 1. Ниже для простоты считаем, что при
дН д 2 Н
У я е[ 0, 1 ] :д-=Н > 0, д-Н > 0 (2.8)
я я2
Решению уравнений (2.4) в точке х на плоскости (я, Н) поставим в соответствие точку А = (я, Н(я)/(1 + О)), а решению при разных х линию (фиг. 1). Если точка х лежит в зоне смеси, то О = 0 и А лежит на адиабате разрыва, если в зоне воды или пара, то А лежит на линии я = 1 или я = 0 соответственно. Начальным условиям задачи о распаде произвольного разрыва соответствуют
( Н1( я-) \ / Нг (я+) \
ь- = Iя-'
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.