Автоматика и телемеханика, № 2, 2014
© 2014 г. В.А. КОВАЛЬ, д-р техн. наук, О.Ю. ТОРГАШОВА, канд. техн. наук (Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА, ПРЕДСТАВЛЕННОГО БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1
Доказаны теоремы, определяющие алгоритм перехода от дифференциальных уравнений с частными производными по двум пространственным переменным и времени к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши. Исследована сходимость полученных решений и доказана правомерность перехода от бесконечной системы в форме Коши к конечной, что открывает возможность использования методов пространства состояний для синтеза регуляторов распределенных систем. На основе квадратичного критерия качества синтезирован регулятор для случая приложения управляющих воздействий на границах объекта управления. Решение задачи анализа системы получено в виде рядов Фурье по пространственным переменным на основе ортогональных систем тригонометрических функций и функций Бесселя.
1. Введение
В настоящее время достаточно широкое распространение получили системы, параметры которых зависят не только от времени, но и от пространственных переменных - системы с распределенными параметрами.
В основе описания объектов с распределенными параметрами лежат физические законы, формулируемые на языке дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Таковы законы теплопроводности и теплообмена, электродинамики, движения жидкости и газа, теории упругости, квантовой механики и др.
В настоящее время для систем управления с распределенными параметрами существует несколько подходов к синтезу: методы, основанные на теории оптимального управления; параметрический синтез; методы конечной аппроксимации. Все эти методы имеют, однако, существенные недостатки.
Основным препятствием на пути применения методов теории оптимального управления для синтеза регуляторов распределенных систем является сложность решения дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, определяющих задачу оптимизации.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-08-31173), Министерства образовании и науки РФ и Германской службы академических обменов (проект Л1173739).
При параметрическом синтезе задается структура системы управления, математические модели объекта управления и регулятора. Поиск параметров регулятора не всегда дает желаемый результат, так как при заданной структуре может не существовать параметров регулятора, обеспечивающих заданные требования устойчивости и качества.
При синтезе регулятора на основе конечномерной аппроксимации распределенного объекта построенная математическая модель иногда перестает отражать физическую суть объекта управления.
Методы спектральной теории [1] позволяют получить представление распределенного объекта в форме пространства состояний, а затем использовать для синтеза регулятора методы теории сосредоточенных систем. С применением спектральной теории в [2] решена задача синтеза дискретного по времени и пространству регулятора для управления пространственно-одномерным объектом.
Многие распределенные объекты управления описываются уравнениями с частными производными не по одной, а по двум пространственным переменным. В [1] рассмотрено применение спектральной теории для решения таких задач в прямоугольной системе координат. В данной работе рассматривается двумерно распределенный объект управления, описываемый в цилиндрической системе координат.
Для пространственно-двумерных объектов управления, представленных в цилиндрической системе координат, на основе спектрального метода [1, 2] осуществлен переход от дифференциальных уравнений с частными производными, записанными относительно регулируемых переменных, к бесконечной системе дифференциальных уравнений в форме Коши относительно новой переменной состояния - спектральной характеристики. Вектор спектральной характеристики - совокупность амплитуд пространственных мод, определяющих пространственно-временную регулируемую переменную распределенного объекта управления.
Для анализа пространственно-двумерных распределенных объектов необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать теоремы, определяющие алгоритм и операционные матрицы перехода к форме Коши;
2. Построить алгоритмы расчета полученных аналитических выражений на основе разработанных правил перехода к форме Коши;
3. Исследовать сходимость полученных решений и обосновать возможность перехода от бесконечной системы в форме Коши к конечной;
4. Показать на примере справедливость доказанных теорем и предложенных алгоритмов.
2. Основные теоремы спектрального метода для пространственно-двумерных объектов управления
Полагаем, что регулируемая переменная объекта управления в цилиндрической системе координат представляется функцией ф(т,г,Ь), где г € [0,Д], г € [а, Ь] - пространственные переменные, Ь € [0, те) - время. Функция
р(г, г, Ь) является вещественной, однозначной, непрерывной, всюду дифференцируемой по пространственным переменным и времени и является ограниченной функцией с интегрируемым квадратом на указанных интервалах по пространственным переменным. Согласно [3] такую функцию можно разложить в двумерный ряд Фурье по пространственным переменным. По переменной г будем использовать разложение в ряд Фурье - Бесселя по системе ортонормированных функций Бесселя (акг)} с весовым коэффициентом г:
я
(2.1) .¡ы»(ан а г)Лг 41, л=И,
h = 1, оо, h = 1, оо,
где Jv (а^т) - функция Бесселя первого рода порядка v = 0,1, 2,...; ah -положительные корни функции Бесселя. Отметим, что в пределах интегрирования здесь и далее R = R + е, е - бесконечно малая величина.
По переменной z будем использовать разложение в ряд Фурье по системе ортонормированных тригонометрических функций {P(h,z)}:
ъ
(2.2) JP(h'Z)P(h.z)dz={l 'h = h
/?, = 1, оо, /г = 1, оо.
В пределах интегрирования выражения (2.2) здесь и далее а = а — е, Ь = = Ь + е, е - бесконечно малая величина.
Ряд Фурье по двум пространственным переменным г и г с учетом (2.1) и
(2.2) представляется в виде
те те
(2.3) <р(г,г,г)=^ (аН1 г)Р(Н2,г),
к1 = 1 к2 = 1 Я Ь
(2.4) Ф(Ьг,Л2,г) = ! J ф(г,г,г)гЪ(аН1 г)Р(Ъ,2,г)йгйг.
0 а
Функцию Ф(Л\, Л2,Ь), определяющую коэффициенты двумерного ряда Фурье, назовем спектральной характеристикой функции г, г, Ь) по пространственным переменным г и г. Эта функция зависит от двух дискретных значений /? 1 = 1, оо и Л,2 = 1, оо, времени I и может быть представлена как матрица размерности Н\ х Л2.
В качестве внешнего воздействия будем рассматривать значение функции ^(К,г,Ь) на внешнем радиусе цилиндра: (г,Ь) = ^(К,г,Ь). По пространственной переменной г будем использовать разложение (г, Ь) в ряд Фурье
по системе ортонормированных тригонометрических функций {Р(Нг,г)}:
х
(2.5) & (г,г) = £ Ф^ы ,г)Р (Нг,г),
Н1 = 1
ь
(2.6) Ф^г,г) = I (г,г)Р(Нг,г)йг.
а
Функцию Ф°к(Нг,г), определяющую коэффициенты ряда Фурье, назовем спектральной характеристикой функции по пространственной пере-
менной г. Эта функция зависит от дискретного значения 1г\ = 1, оо и времени г и может быть представлена как вектор размерности Нг.
Выражения (2.3)—(2.6) лежат в основе следующих теорем, которые приведем без доказательства.
Теорема 1 (линейность спектральных характеристик). Если функция у(т,г,г) является линейной комбинацией функций уг(т, г,г),у2 (г, г,г), ..., Ук(г, г, г), то спектральная характеристика у(т,г,г) будет линейной комбинацией спектральных характеристик соответствующих функций уг (т,г,г),<р2 (г, г,г), ..., ук (г, г,г).
Теорема 2 (представление интегралов от произведения двух функций в спектральной форме). Рассмотрим интегралы от произведения двух функций уг(т,г,г) и у2(г, г, г) с весовым коэффициентом т:
я ь
(2.7) 1 (г) = ! J туг(т,г,Ь) у2(г, г, г) йгйт.
о а
Полагаем, что для подынтегральных функций существуют спектральные характеристики, Ф^/?!, 1г2, £), $2(^1, Л'2, ¿) (Ы = 1,оо, 1г2 = 1,оо) по ор-тонормированным системам {1и(аь т)} и {Р(Н,г)}. Интеграл (2.7) представляется в виде
х х
(2.8) 1 (г) = Е Фг(Нг,Н,1)Ф2(Нг,Н,1).
н1=г н2=г
Если Фг и Ф2 представить квадратными матрицами размерностей п х п (п = 1, оо), то операцию вычисления (2.8) можно представить как произведение матриц Ф^ и Ф2 размерностей 1 х п2 и п2 х 1 (п = 1, оо) соответственно, полученных по правилу 1, приведенному в Приложении. Таким образом, интеграл от произведения двух функций будет представлен в виде
1 (г) = Ф Т Ф 2.
Теорема 3 (представление произведения двух функций в спектральной форме). Спектральная характеристика произведения двух функций
p(r,z,t) = ф1(r,z,t)^2 (r,z,t) может быть представлена произведением матриц
(2.9) Ф = Фце Ф2,
где Ф,$2 € К"" {п = 1,оо) - векторы спектральной характеристики функций р(т, г,Ь), ^2(т, г,Ь) соответственно по пространственным переменным г и г, полученные по правилу 1, приведенному в Приложении, Фце -операционная матрица первого сомножителя (г,г,Ь) соответствующей размерности, полученная по правилу 2, приведенному в Приложении.
Для определения соответствующих элементов матриц из (2.9) следует использовать выражение
оо оо
hi = l h2 = l
h\ = 1, оо, h2 = 1, оо,
где векторы спектральной характеристики функций p(r,z,t), ф2(r,z,t) по пространственным переменным r, z определяются соответственно:
R ь
Ф(Ь,1^2,£) = J J rp(r,z,t)Jv(ajll r)P(h2,z) dzdr,
0 a
R b
Ф2(Ьг ,h2,t)= j J Ti^2(T\,T2,t)Jv (ah-1 Ti)P(h2,T2) dT2 dr\,
0 a
а элементы операционной матрицы первого сомножителя вычисляются по выражению
(2.10)
Фп(Ь,112 ,hi,h2,t) =
R ь
j J rJv (ahl r)Jv (ah-1 r)P (h2,z)P (h2 ,z)pi(r,z,t) dzdr.
0 aa
Теорема 4 (представление производных по пространственным переменным в спектральной форме). Если для функции ^(т,г,Ь) существует спектральная характеристика по двум пространственным переменным Фо(Ь,1 ,Н2,1), то спектральная характеристика для первой производной по г будет иметь вид
Фю = Рю Фо +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.