Письма в ЖЭТФ, том 91, вып. 7, с. 395-397
© 2010 г. 10 апреля
О затухании амплитуд многоквантовых когерентностей в зависимости от порядка. Асимптотическое поведение
А. А. Лундин1^
Институт химической физики им. H.H. Семенова РАН, 117977 ГСП-1, Москва, Россия
Поступила в редакцию 4 февраля 2010 г.
После переработки 1 марта 2010 г.
Для систем с бесконечным радиусом взаимодействия (модель Ван-дер-Ваальса) получены соотношения, описывающие асимптотическое (в зависимости от порядка п) затухание многоспиновых многоквантовых когерентностей. Полученные результаты совпадают с результатами численного эксперимента для полостей нано-размеров.
Развитие многоимпульсных методов ЯМР конденсированных сред реализовалось к концу 80-х -началу 90-х годов в формирование многоквантовой спектроскопии (МС) ЯМР. Физической основой МС ЯМР является трансформация исходного гамильтониана межъядерных спин-спиновых взаимодействий в некоторый новый гамильтониан (спиновая алхимия) под действием которого первоначальная намагниченность перекачивается в различные многочастичные корреляционные функции (ВКФ) [1-3]. С точки зрения квантовых вычислений именно на этом этапе создаются запутанные состояния и возникает "квантовый регистр" (см., например, [4,5]). Впрочем, как выяснилось недавно [5], этап "спиновой алхимии" не является обязательным для создания "квантового регистра". С этим справляется и обычная секулярная часть диполь-дипольного взаимодействия [5], причем поведение многоспиновой системы, управляемой различными гамильтонианами (трансформированным или обычным диполь-дипольным), в основном одинаково. Последнее не слишком удивительно: все определяется фактически бесконечно большой температурой (высокотемпературное приближение) ядерной спиновой подсистемы и трендами статистической механики необратимых процессов [6].
Основополагающие характеристики МС ЯМР, необходимые как для прикладных исследований, так и для развития физики необратимых процессов - зависимости от времени и от порядка (номера) ин-тенсивностей когерентности различного порядка в многоквантовом спектре. Трудности, возникающие при попытках последовательного решения этой задачи [6,7], и необходимость в априорной информации для анализа экспериментальных результатов привели для описания распределения указанных интенсив-
Ч e-mail: andyluneorc.ru
ностей к использованию интуитивных моделей. Так, в весьма популярной статистической модели [1,2] полагают гауссову форму для распределения когерентностей различного порядка в многоквантовом спектре:
9п(т) ~ ехр(^п2/И(т)). (1)
Отметим, что наблюдаемые экспериментально зависимости обычно не описываются формулой (1) (см., например, [8,9]). Наиболее существенно это проявляется при больших значениях п [9]. Модель взаимодействия с бесконечным радиусом (Ван-дер-Ваальса) позволяет точно рассчитать интенсивности многоквантовых когерентностей [7]. Целью настоящей работы является расчет асимптотического (большие п) поведения интенсивностей когерентностей и обсуждение на этой основе результатов численного моделирования динамики многоквантовых когерентностей в полостях нано-размеров [9].
Секулярная часть межъядерных диполь-дипольных взаимодействий в неметаллических диамагнитных твердых телах единственно ответственная за динамику спиновой системы и являющаяся базовой для спиновой алхимии, имеет вид [10]
Я = £{(3/2)Ьу5г45г,- - = -С + Нех.
(2)
Обозначения стандартны [10].
Искомая амплитуда п-й гармоники, наблюдаемая экспериментально, получается после фурье-преобразования ВКФ, описывающей динамику спиновой системы:
■к
9п^,т) = (1/2тг) J дц>ехр(туз)Г4,(4, т),
396
А. А. Лун дин
I\(t,r) = Sp {U+(T)UvU(t)SxU+(t)U;U(r)Sx}/Sp{S2x}.
(3)
ВКФ (3) отражает последовательность действий, к которым прибегают при создании и наблюдении многоквантовых когерентностей. На первом этапе длительностью t система претерпевает эволюцию с диполь-дипольным (2) (или трансформированным) гамильтонианом. Затем производят разделение возникших многоспиновых когерентностей по числу (поглощаемых) квантов, одновременно помечая их. Последнее реализуют с помощью поворота на некоторый угол ip, вокруг оси х вращающейся системы координат. На последнем этапе добиваются эволюции системы с гамильтонианом ^Н на временном интервале длительностью т. В условиях эксперимента обычно t = т.
Задача вычисления даже и простейшей ВКФ с гамильтонианом (2) сложна в связи с многочастичнос-тью задачи и отсутствием явного малого параметра в гамильтониане (см., например, [11] и ссылки, приведенные там). Расчет же ВКФ (3) радикально сложнее [6,7]. В связи с этим в работе [7] предполагалось, что коэффициенты by = b = const и не зависят от углов и расстояний. Подобный подход довольно широко распространен в физике магнитных явлений (см., например, [12]). Гамильтониан (2) теперь переписывается в виде
= ^2i(3/2)bSxiSxj - (lfflbSiSj}. (4)
i>j
Поскольку для спина 1/2 слагаемые Hzz и Нех теперь коммутируют, а Нех коммутирует также и с Sx, поставленная задача решается точно [7]. Таким образом, получаем:
gn(t,T) = In(M2tT) fl
M2tr
j exp |
M2(t2
(5)
Здесь М2 - второй момент спиновой системы [7,10], 1п - функция Бесселя мнимого аргумента.
Хотя результаты расчета интенсивностей многоквантовых когерентностей, полученные в рамках модели с бесконечным радиусом взаимодействия, и описывают удовлетворительно экспериментальные результаты в соединениях с обычным диполь-дипольным (или трансформированным) взаимодействием [7,13], существует класс объектов, для которых модель Ван-дер-Ваальса заведомо применима. Одним из примеров такого рода объектов является газ из атомов (молекул), находящихся в несферических полостях нано-размеров [14,15]. В таких системах диполь-дипольное взаимодействие не усредняет-
ся полностью, но приводит к остаточному гамильтониану (4), что надежно подтверждено экспериментально [14].
Недавно появилась работа [9], в которой численно рассчитывались интенсивности многоквантовых когерентностей, в том числе и высокого порядка, для несферических полостей нано-размеров. Расчет продемонстрировал экспоненциальную, а не гауссову (1) зависимость от порядка для больших значений п. Информация же о поведении интенсивностей высоких порядков в зависимости от номера важна для экспериментальных исследований. От этого зависят и перспективы создания достаточно больших регистров для квантовых вычислений. Неоднократные попытки экспериментально выяснить характер указанной зависимости для больших п, начатые еще в работе [16], оказались сравнительно безуспешными в связи с высоким уровнем погрешности в требуемом интервале измерений. В такой ситуации априорная информация о форме зависимости играет принципиальную роль, в частности для борьбы с погрешностями.
Поскольку характер спин-спиновых взаимодействий не оказывает радикального влияния на искомые интенсивности, целесообразно рассмотреть поведение соотношения (5) для когерентностей высоких порядков. Асимптотическое по п поведение будет определяться асимптотикой функции Бесселя, которая может быть найдена методом перевала с использованием интегрального представления [17]
1п(х) = (1/2тгг) Jе*
dfi
м
(ц2 ^1)1/2[М+ (^_1)1/2]п
1
(1/27«) J
м
dfi
(ц2 - 1)!/2
х expfaix — п In\р,х — п ln[/i + (р>2 — i)1^2}} =
dfi
(1/27«) I exp[f(M)j м
(ц2 -1)V2-
(6)
Для больших значений n (n > x, [17]) найдем:
In{x) ос (xn/V2im) exp{^n(ln2n - 1)}. (7)
Таким образом, получаем:
(.M2tT)n-1
9n(t, т) oc
n3/2 exp{^n(ln2n - l)}x
x exp
f M2(t2+r2)}
(8)
фактически экспоненциальную зависимость интенсивности от порядка, что соответствует результатам
п
О затухании амплитуд многоквантовых когерентностей в зависимости от порядка
397
численного расчета [9] и свидетельствует в пользу возможного выбора экспоненциальной зависимости в экспериментах [16].
Благодарю В. А. Ацаркина, Ф.С. Джепарова, В.Е. Зобова, Э.Б. Фельдмана, С.Я. Уманского за обсуждение результатов работы и полезные замечания.
1. J. Ваши, М. Munovitz, A.N. Garroway, and A. Pines, J. Chem. Phys. 83, 2015 (1985).
2. M. Munovitz and A. Pines, Adv. Chem. Phys. 6, 1 (1987).
3. P. Эрнст, Л;н. Боденхаузен, А. Вокаун, ЯМР в одном и двух измерениях, М.: Мир, 1990.
4. Н. G. Krojanski and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 97, 150503, (2006).
5. H. Cho, T.D. Ladd, J. Baugh et al., Phys. Rev. В 72, 054427 (2005); G. Cho, P. Capprlaro, D.G. Cory, and C. Ramanathan, Phys. Rev. В 74, 224434 (2006).
6. В.Е. Зобов, A.A. Лундин, ЖЭТФ 130, 1047 (2006).
7. В.Е. Зобов, A.A. Лундин, ТМФ 141, 1737 (2004).
8. S. Lacelle, S. Hwang, and В. Gerstein, J. Chem. Phys. 99, 8407 (1993).
9. S.I. Doronin, А. V. Fedorova, E.B. Fel'dman, and A.I. Zenchuk, J. Chem. Phys. 131, 104109 (2009).
10. А. Абрагам, Ядерный магнетизм, M.: ИИЛ, 1963, гл.4.
11. В.Л. Боднева, A.A. Лундин, ЖЭТФ 135, 1142 (2009).
12. R. Dekeyser and М. Н. Lee, Phys. Rev. В 43, 8123, 8131 (1991).
13. М. Munovitz and М. Mehring, Chem. Phys. 116, 79 (1987).
14. J. Baugh, A. Kleinhammes, D. Han et al., Science 294, 1505 (2001).
15. E. B. Fel'dman and M. G. Rudavetz, J. Exp. Teor. Phys. 98, 207 (2004).
16. M. Tomaselli, S. Hediger, D. Suter, and R.R. Ernst, J. Chem. Phys. 105, 10672 (1996).
17. Г. Джеффрис, В. Свирлс, Методы математической физики, том 3, гл.21, М.: Мир, 1970.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.