радиуса капилля-
........... 307
1Симптотика ядра е действие . . . 328 шие решений для
........... 357
ь многоглюонных ях поля Даффи-
........... 368
перенормировка в
.......... 375
генном координа-
........... 401
начений на непре-юской пленки . . 417 ¡ведения в кванто-
........... 431
авнений в гранич-
........... 437
бразных процессов ........... 455
исей опубликована
) м .н
Формат бумаги 70 х 100 ^ Уч.изд.л. 11.9 Бум.л. 5.0
укРАН
1яул., 90 ел. 135-20-19,
Шубинский пер., б
ка" (составитель), 2005 г.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ч ' 1-
Том 143, № 3 июнь, 2005
. ..:/. :
© 2005 г. В. П. Маслов*
О ЗАВИСИМОСТИ КРИТЕРИЯ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ ОТ РАДИУСА КАПИЛЛЯРА
'! ! Краевые условия на границе капилляра заменены периодическими условиями Бор-на-Кармана, т.е. рассматривается в поперечнике двумерный тор радиуса ¿2- Если скорость сверхтекучей жидкости превышает величину вп/г/(тЬ^), то она тормозит-'' ся благодаря трению о вихрь, образованный парами (подобными парам в андреевском отражении). . . ; ь-.чх.-:! - * , ; •'■• '
Ключевые слова: сверхтекучесть, ультравторичное квантование, термодинамический предел, спектр квазичастиц, толщина капилляра, вихрь.
В данной работе исходя из истинного символа ультравторично-квантованного оператора [1] получены результаты для системы большого числа тождественных бозонов в термодинамическом пределе. При этом оказывается, что термодинамический предел для уравнений характеристик, отвечающих истинному символу, является квазиклассическим пределом для этих уравнений.
Вначале напомним основные понятия ультравторичного квантования и истинного символа. Ультравторичное квантование было введено в [2], где содержится подробное обсуждение. В данной статье используется частный случай ультравторичного квантования - квантование по парам. Кроме того, далее предполагается, что частицы рассматриваемой физической системы находятся на трехмерном торе х Ь<2 х Ьз, который далее обозначается Т, , Ь<2 и Ьз - длины сторон этого тора. В случае квантования по парам пространством ультравторичного квантования является бозонное пространство Фока Т [3]. Это пространство состоит из векторов Ф вида
Ф= У —[ ■■■ [ <1х1...<1х2мфм(х1,х2;...;х2м-1,х2м)х
яТ^п^МУ 3
X В+(Х1,Х2) ■ ■ .В+(Х2М-1,Х2М)$0,
(1)
где В+ (х, х') и В~(х,х') - операторы рождения и уничтожения пары частиц в пространстве^, Фо - вакуумный вектор в пространстве переменные х^, г — 1,2,..., принимают значения на торе Т, а функции Фм(х1,Х2! • • • ;х2м-1,х2м) € -^г(Т2М), М =
'Московский государственный университет, Москва, Россия. E-mail: v.p.maslov@mail.ru
0,1,..., симметричны относительно перестановок любых пар переменных (x2j-l,X2j) и (Х2г —1, Х2г) И удовлетворяют УСЛОВИЮ
^Г ■■■ <1X1... (1х2м\фм{х1,х2;... ;Х2М-1,Х2м)\2 <оо. (2)
Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют стандартным бозонным коммутационным соотношениям [3]:
[В-(Х1>Х2)В+(Х/1,Х/2)]=6(Х1-Х'1)6(Х2-Х2),
[В±(х1,Х2),В±(Х'1,Х'2)}=0,
где 6(х — у) - дельта-функция Дирака на торе Т, а вакуумный вектор обладает следующим свойством: * ■■' '
> • В~{х 1,12)^0 = 0 VII, 12 £ Т. (4)
При рассмотрении бозонных задач используются подпространства простран-
ства Т, зависящие от параметра М = 0,1,... и состоящие из таких векторов Ф (1), у которых функции Фд^/ = 0 при М' ф М, а функция Фм(хг, х2; • • •; Х2м-1,%2м) является симметричной функцией переменных х!,х2,... ,х2м■ Кроме этих подпространств используется также подпространство ^Г3утт = Фд/=о
Оператор ортогонального проектирования на подпространство Яутт имеет вид
_ оо 2 Г Г 2 2 ,'• п.
Ё= ^Г / ••• (1X1 . . .(1Х2М В+(Х1,Х2) .. .В+{х2М-1,Х2м)х м=о '77
Эушт (В'{х1,х2)...В~{х2М-1,х2м))ехр[~ // <1у <1г В+(у, г)В~ (у, г) I, (5) м \ 77 /
где числа над операторами обозначают порядок их действия [4], а 8ушш1] . ,12М - оператор симметризации по переменным XI,... ,х2м- Оператор (5) также называется ульт-равторично-квантованным единичным оператором.
Пусть оператор Гамильтона системы N бозонов на торе Т имеет вид л' / Ь2 , N N
з=' 3=11=3+1 где Aj - оператор Лапласа, действующий на переменную х^, а и(х) и У(х) = У(~х) -функции на торе Т: соответственно потенциал внешнего поля и потенциал парного взаимодействия, Н - постоянная Планка, т - масса частиц, е - действительный параметр. Согласно [2] оператору (6) соответствует ультравторичный оператор Гамильтона вида
2, 2 М] , , —- . -. {Х2М-1,Х2М)Х
М=0
М=0
X
— 1 Г Г * ' * -'» -
Н = ^ " (1Х1...(1Х2МВ+{Х1,Х2)...В+{Х2М-1,Х2М)^
"*=о -77
Я2м( Эушш (В-{Х1,Х2) ...В~{х2М-1,Х2м)))Х ' ' '
2 1
ехр Ц <1у<1гВ+{у,г)В-{у,г)У .. (7)
Помимо ультравторично-квантованных единичного оператора (5) и оператора Гамильтона (7) также вводится ультравторично-квантованный оператор числа частиц
__ ОО г г 2 2
^ ~ ]С ~М\ / " / ^ ' • •(1х2М В+(Х1,Х2) ■ ■ .В+(Х2М-1,Х2М)Х м=о '
X Бушш (В'(х1,х2) ...В~(х2м-1,Х2м))е:хр( - //¿уйгВ+(у,г)В~(у,г)\. (8)
Х1...Х2М V УУ /
Этот оператор обладает следующим свойством: ;,,
ЛГФ = 2МФ УФ <Е - (9)
т.е. подпространство Т^тгп состоит из 2М-частичных векторов.
Важный результат состоит в том, что проекция ультравторично-квантованного гамильтониана (7) на подпространство совпадает с 2М-частичным оператором (6). Эта теорема доказана в [2], в случае ультравторичного квантования по парам она означает следующее. Если вектор Ф 6 Т^тт имеет вид
г;; х. . г.. .
ф = У'"У ¿Х1...(1Х2МЧ>{Х1,Х2,...,Х2М-1,Х2М)'Х '"' X В+(Х1,Х2)...В+(Х2М-\,Х2М)Ф0, (10)
где Ф(ж1,..., Х2м) - симметричная функция, то для оператора (7) справедливо равенство
,,, ЯФ = J ■■■ J dx\...dx2м^(xl,x2,...,x2м-l,x2м)x
Х2м)Фо, (11)
о * I •
где
Ф(Х1,Х2,. . • ,Х2М-1,Х2М) = Я2мФ(х1,Х2, ■ . ■ ,Х2М-1,Х2м)- (12)
Равенства (11), (12) доказываются непосредственно действием оператора (7) на вектор (11), при этом следует учесть свойства (3), (4) операторов рождения и уничтожения и вакуумного вектора Фо, а также тот факт [3], что оператор
Ро =ехр(- Л ¿у йх В+ (у, г)В~ (у, г)^ (13)
в пространстве Т является оператором ортогонального проектирования на вакуумный вектор Фо и удовлетворяет равенствам
В~(х,у)Р0 = 0, Р0В+(х,у) = 0 Ух.уе Т.
(14)
Понятие истинного символа было введено в статье [1]. В рассматриваемом случае ультравторичного квантования по парам истинный символ ультравторично-квантованного оператора Гамильтона (7) определяется следующим образом. Из (3), (14) следует, что для оператора (7) справедливо тождество ,
' ' \
Н = ЁА, ■ (15)
где А - следующий оператор в пространстве ' " ' '
А = Ц йх йу В+ (х, у) + А у) + Щх) + и (у) + еУ(х - у)^В~ (х, у) +
+ е IIII йхйуйгйюУ{х - у)В+(х,у)В+(г,ю)х
х(В-(х,г)В-(у,и))+В-(х,и})В-(у,г)). ., , (16)
Истинным символом ультравторично-квантованного гамильтониана (7) является символ оператора (16). Этот символ равен пределу при N-^00 выражения, которое получается заменой в (16) операторов В+(х,у) и В~(х,у) соответственно на ф+{х,у)/\/ГМ и ф(х,у)/у/1У и умножением полученного выражения на N, где N - число частиц, а ф+ (х, у) и ф(х, у) - функции на Т2. Если параметр взаимодействия е равен 1 /И, то символом оператора (16) является следующий функционал, зависящий от функций ф+ {х,у) иф(х,у):
ЩФ+(-),Ф(-)] = II<1х<1уф+(х,у) (-¿(Ах + Ду) + Щх) + и(у)^ф(х,у) + + IIЦ <1х<1у<1г<1'юУ(х-у)ф+(х,у)ф+(г,'ш){ф{х,г)ф(у,'ю) + ф(х,ю)ф(у, г)). (17) Легко убедиться, что для оператора (8) имеет место аналогичное (15) тождество
N = ЯЁ = ЁЯ, ' (18)
где N - оператор числа частиц в пространстве Т, имеющий вид
N = 2II (1хс1уВ+{х,у)В-{х,у). „ (19)
Операторы (16) и (19) коммутируют между собой, и если число частиц в системе фиксировано и равно ТУ, то из (19) следует, что для функций ф+ (х,у) и ф(х,у) выполняется условие
йхйуф+{х,у)ф{х,у) = . : (20)
В силу теоремы о совпадении ультравторично-квантованного оператора Гамильтона (7) с 2М-частичным оператором (6) на подпространстве из тождества (15) следует, что если вектор Ф вида (1) удовлетворяет уравнению
АФ = ЛФ (21)
и
и дополнительным условиям
, . .... ДГФ = ДГФ, ЁФ^О, " (22)
где N-четное число, то функция Ф(хь .. = 8ушшХ1 __ Ф(лт1, атг; • •.; аглг—1, дглг)
является симметричной собственной функцией ^-частичного оператора Гамильтона (6), а соответствующее собственное значение равно Л.
В случае, когда параметр взаимодействия е равен l/N, асимптотика решений уравнения (21) в пределе при N —» оо определяется истинным символом (17). Уравнение (21) является частным случаем вторично-квантованных уравнений. Общий метод построения асимптотики решений вторично-квантованных уравнений, в которых при старших степенях операторов рождения и уничтожения стоит малый параметр, изложен в монографии [5]. В частности, согласно [5], если функции ф+(х,у) и ф(х,у) удовлетворяют условию (20) и являются решениями системы уравнений
(23)
К'Ю'Г .■;(р .>!•'- ■■-..•
где в левых частях стоят вариационные производные функционала (17), то каждому такому решению соответствует асимптотическая серия решений уравнения (21). Уравнения (23) являются аналогом уравнения Хартри, которое определяет асимптотику решений в случае обычного вторичного квантования. Уравнение Хартри, соответствующее оператору (6), имеет вид
(-^д + и(х)^(х) + I¿уУ(х - у)Ыу)\\{х) = Пср(х), (24)
где функция <р(х) удовлетворяет условию ,
► * - * *.
+ ч ! (1х\ф{х)\2 = 1. •■: -V (25)
Уравнение Хартри (24) получается из символа, соответствующего обычному вторичному квантованию: 1 *
л... » - . И
Чьу*{-)М-)] = ^{х)[-^ + и{х)^{х)+ ^.......^
+ ^ Ц<1х(1уУ(х- у)ч>*(ФЧуМуМх). (26)
^ - — *
Далее рассмотрим случай, когда тор Т моделирует капилляр. Это означает, что мы будем считать, что Ь\ = = I, = Ь, I < Ь. Кроме того, рассмотрим сначала случай, когда 11(х) = 0. Уравнение Хартри (24) в таком случае имеет решения вида
у \ .. / ^ у/ЬхЩГз ' к 2т ЬМз' д» •<'• ^ ^
312
в. п. маслов
о зависимо
где
к = п{т,т,т)' nb"2,n3€Z, V(k)^ J dxV(x)e~i
Соответствующее значение символа (26) равно
— tfcx
г ./ч /41 Ъ2*2
"А, (28)
(29)
2т ' 2Ы2'
Решениям уравнения Хартри вида (27) соответствуют [5], [6] асимптотические серии собственных функций и собственных значений ./V-частичного оператора Гамильтона (6
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.