ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 1, с. 90-104
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
О ЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ БАЛАНСОВЫХ МАТРИЦ ОТ ЦЕН И ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА*
© 2004 г. В. Г. Медницкий, Ю. В. Медницкий
(Москва)
Для матриц А > 0, формирующих условия межотраслевого баланса (Е - А)х = у; х , у > 0, устанавливается отношение эквивалентности, которое затем используется для решения обратной задачи, рассматривавшейся у (Албегов, Бурса (1997), Албегов, Бурса, Симонов (1996)) - воссоздания матрицы А и векторов х, у по некоторым наборам оценок возможных значений составляющих их элементов.
Впервые модель межотраслевого баланса (МОБ) была создана в работе ЦСУ СССР "Баланс народного хозяйства СССР в 1923/24 г." (см. Немчинов (1962), Леонтьев (1990)), а начиная с 1960-х годов и по крайней мере до перестроечных лет (Албегов, Бурса, Симонов, 1996) разнообразные стоимостные и натурально-стоимостные балансы строились в СССР регулярно и широко использовались при разработке народнохозяйственных планов различных уровней и горизонтов планирования (см. Берри, Клоцвог, Шаталин (1962), Немчинов (1965), Баранов, Клоцвог и др. (1967), Межотраслевые балансы (1975)). В настоящее время интерес к этой модели не только возрождается, но довольно часто она включается в различные системы моделей для проведения как теоретических исследований, так и прикладных расчетов, связанных с оценкой альтернатив развития экономики России (Медницкий, 1996; Медницкий, Медницкий, Колбанов, Королев, 1998; Пугачев, Пителин, 2001; Коваленко, 2001).
Применение МОБ в научных и прогнозных расчетах, вообще говоря, основано на гипотезе устойчивости значений коэффициентов прямых затрат даже при весьма значительных изменениях правой части (а значит, и решения) балансовой задачи. Ниже рассматриваются основания для такого предположения и ряд других вопросов, интересных как для теории, так и для практического использования МОБ.
1) Можно ли с помощью созданной в достаточно далеком прошлом матрицы А формировать балансы текущего периода?
2) Если для этого нужна корректировка ее элементов, то нельзя ли ее выполнить простыми методами?
3) Как установить, что все-таки необходимо (или целесообразно) построить матрицу А заново?
4) Если между последовательными разработками А происходили изменения в технологии производства, то как их отобразить численно (например, в элементах матрицы А)?
5) Чем измерить создаваемый ими суммарный эффект и его значимость для различных составляющих баланса?
6) Зависят ли такие свойства МОБ, как существование решений в системе (Е - А)х = у; х, у > 0 при у Ф 0 или продуктивность матрицы А > 0, от особенностей конкретных матриц или же они связаны с некоторыми их классами?
7) Становится ли экономика неэффективной при появлении в стоимостном балансе убыточных отраслей или же при каких-то условиях она остается достаточно эффективной?
8) Могут ли появляться убыточные отрасли только в результате изменения структуры цен?
9) Если сводный баланс формируется с помощью некоторой, вообще говоря, достаточно полной системы локальных балансов, в уравнениях которой имеются невязки, то каким будет механизм их накопления в уравнениях сводного баланса при условии, что вся содержащаяся в локальных балансах номенклатура наименований продукции производства в нем сохраняется? Начнем с ответа на последний вопрос.
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 000-0100178).
1. О НАКОПЛЕНИИ ОШИБОК В СВОДНОМ БАЛАНСЕ
Пусть L - множество каких-то локальных объектов (например, регионов), для которых не только возможна, но и проводится с некоторой регулярностью разработка межотраслевых балансов, Il Ф 0 - множество отраслей, выделенных в регионе l, с объемами валового производства xil > 0, i е Il, производства конечной продукции yil > 0, i е I¡, и матрицей Al с элементами aisl > 0, i, s е I¡, l е L. Для соответствующих отраслей и регионов с помощью этих величин формируются балансовые уравнения с возможными значениями невязок pil (Албегов, Бурса, Симонов, 1996):
xil + Pil = yil + X aislxsl' i е Il' l е L■ (1)
s е Il
Если множество продуктов (чистых отраслей) (Немчинов (1962), Леонтьев (1990)) сводного баланса определить как I = ^ I¡, то для множеств регионов , производящих продукт i е I, выполняются весьма важные (как будет видно из дальнейшего) соотношения:
Vi е I : L¡ Ф0 ■ (2)
Используя (2), объемы производства валового xi и конечного yi продуктов, а также невязку pi уравнения в сводном балансе для отрасли i естественно определить равенствами:
Xi = X x«i, yi = X Ун' P'' = X Pil' i е I' (3)
l е L« l е L« l е Li
поскольку, суммируя в (1) по l е Lb сразу же получим и сами эти уравнения с входящими в них -именно так, как они указаны в (3) - величинами x«, уi и p«:
x«+pi = у« + X Xaidxsl' «е I■ (4)
l е L« s е Il
После изменения в (4) порядка суммирования и вследствие условий (2) возникают тождества
X X aislxsl = X X a«slxsl' (5)
l е L« s е I¿ s е Il l е Ls
благодаря которым нормативы сводного баланса ais можно определить с помощью известных правил агрегирования (Итеративное агрегирование (1979)), применяя их к нормативам локальных балансов
a«s = X a«slxsl/xs, i, s е I' (6)
l е Ls
где значения xs > 0, s е I вычисляются в (3) (после замены i на s). Все ais > 0, поскольку все aisl > 0, а равенства (4), с учетом (5) и (6), принимают вид, аналогичный (1):
x« + Pi = У« + X a«sxs, i е I■ (7)
s е I
Величинами p«, pil в (7) и (1) измеряются абсолютные погрешности выполнения соответствующих равенств, причем, как следует из (3), итоговое значение P« просто складывается алгебраически из невязок уравнений локальных балансов P«l. Рассматриваемые, однако, сами по себе значения этих величин, конечно, ничего не говорят о точности выполнения соответствующих условий, но поскольку все xil, l е L« в определяющей x« сумме из (3), в силу (2), положительны, то для перехода к относительным ошибкам £и = P«l/xil и £« = P«/x« можно использовать тождества типа x« + P« = x«(1 + P«/x«), с помощью которых и определения P« в (3) сразу же получаем, что
£« = X£«l(x«l/x«), i е I
l е L¡
(т.е. относительная ошибка £« возникает в соответствующем уравнении сводного баланса как результат осреднения аналогичных ошибок eil, l е L«, из уравнений локальных балансов, причем
с теми же самыми весовыми коэффициентами (xu/x,), которые использовались при построении элементов ais сводной матрицы A из нормативов затрат аш региональных матриц A)
Так как из приведенных соотношений следуют неравенства
min Еа < г, < maxel7, i е I,
I е Ц I е Ц
то значения г, в (7) не выходят за пределы разброса величин гй (по I е L) в (1). Однако если в действительности общий выпуск каждого продукта x, распределен по регионам почти равномерно, а ошибки региональных балансов га - почти симметрично вокруг нуля (для каждого i), то при переходе к сводному балансу можно ожидать их взаимной компенсации с очень небольшими по модулю остаточными значениями г,, i е I.
2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ БАЛАНСОВОЙ ЗАДАЧИ
Таким образом, если выполняются условия
Vi е I : |г,| < 1, (8)
иначе говоря, значениями невязок в (7) можно пренебречь, то после добавления к ним неравенств y., Xi — 0 они превращаются в стандартную систему соотношений МОБ:
x, = yi + Xа'л; yi' x, - 0, - е 1, (9)
s е I
где векторами y, x определяются возможные значения правой части и решения балансовой задачи (Немчинов (1962)) (или удовлетворяющими (9) парами этих векторов - возможные состояния баланса). При кажущейся простоте этого определения в решениях балансовой задачи есть некоторые особенности, на которых целесообразно остановиться подробнее.
Полагая в (9) x = 0, получаем решение, для появления которого, правда, должно выполняться еще и равенство y = 0. Тем не менее, такое состояние баланса вполне осмысленно и означает, что производство по каким-то причинам прекратилось. Например, если неравенство p0(E - A) < 0 выполняется для некоторого вектора p0 > 0 (т.е. можно указать такие цены на все продукты, при которых все отрасли становятся убыточными), то по одной из теорем отделимости (Гейл, 1963) состояние баланса x = y = 0 будет единственно возможным в (9) (см. Медницкий, 1996; Медницкий, Медницкий и др., 1998; Жуковский, Колбанов и др., 2000). Если же такого вектора p0 не существует (и по той же самой теореме - только в этом случае), то в (9) существует полуположительный вектор (x, y) = z, а это значит, что по крайней мере вектор x Ф 0.
Определение 1. Матрица A — 0 непродуктивна, если в (9) не существует решений ни при каком значении вектора y Ф 0.
Если же состояния баланса с вектором y Ф 0 существуют, то выполняется следующая лемма.
Лемма 1. Если A — 0 и в паре векторов x, y, удовлетворяющих (9), вектор y Ф 0, то и вектор x Ф 0.
Доказательство леммы следует из условий A , x, y — 0 и x = Ax + y — y.
Свойства решений балансовой задачи с вектором y Ф 0 уточняются в теореме 1.
Теорема 1. Если в системе (9) при A — 0 и y Ф 0 существует решение, в котором не используются некоторые отрасли (т.е. x, = 0 для некоторых I), то для тех же самых отраслей будут выполнены равенства yi = 0, а матрица A приводима.
Доказательство. По лемме 1 x Ф 0. Если это решение возможно, оно после некоторых перестановок в A имен, формирующих балансы отраслей, приводится к виду x = [x1, x2 ]т, где x1 > 0, а x2 = 0, то вектор y2 = 0, в силу неравенств x — y — 0. Система же (9) тогда сводится к
I А! | А12!
I А21 I А2!
— —
Рис. 1.
I А I А12|
I 0 | А2|
Рис. 2.
равенствам (Е1 - А1)х1 = у1 и А21 х1 = 0 (рнс. 1). Так как А21 > 0, а х1 > 0, то второе из них выполняется только в том случае, когда А21 = 0 (рис. 2).И
Для удобства введем такое определение.
Определение 2. Матрица А называется приводимой, если, возможно, после некоторых изменений порядка, в котором в нее входят отрасли, на ее главной диагонали окажутся квадратные подматрицы А1 и А2, в одном из пересечений столбцов и строк которых (например, слева - внизу, как на рис. 2) не будет отличных от нуля элементов. Если же такой особенности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.