АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 6, с. 741-748
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ НА КОМПАКТНЫХ ПРЕПЯТСТВИЯХ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ, ОПИСЫВАЕМОЙ МОДЕЛЬЮ УФЛЯНДА-МИНДЛИНА
© 2007 г. И. В. Андронов
Санкт-Петербургский государственный университет 198504 Петродворец, ул. Ульяновская 1/1
E-mail: iva—@list.ru Поступила в редакцию 06.04.06 г.
Рассматривается трехмерная задача рассеяния акустической волны на компактном препятствии общего вида в пластине, описываемой моделью Уфлянда-Миндлина. Устанавливается формула, выражающая рассеянное поле через аналитическое продолжение диаграммы направленности, а также формулы связи каналов рассеяния, позволяющие вычислять амплитуды поверхностных волн через вычеты диаграммы направленности. Для препятствий, не излучающих энергии, устанавливается единственность решения задачи рассеяния в отсутствие поглощения. Приводится пример локализованной сдвиговой волны.
PACS: 43.20. Tb, 43.40.Dx, 43.40. Fz
1. ВВЕДЕНИЕ
Анализ свойств рассеянных полей позволяет наиболее полно понять акустические свойства открытых систем. В [1] и др. работах А.Г. Кюрк-чана, В.Ф. Апельцина и их соавторов, где исследовались задачи рассеяния на компактных препятствиях, получены формулы разложения рассеянных полей по плоским волнам и показано, что плотностью в этих разложениях выступает аналитическое продолжение диаграммы рассеянного поля. Задачи рассеяния в присутствии пластины имеют дело с полями более сложной структуры. Вдали от препятствия рассеянное поле представляет собой совокупность волн разной природы: пространственных и поверхностных. В задачах, имеющих трансляционную симметрию и сводящихся к двумерным свойства дальних полей, исследовались в [2], [3], где предполагалось, что пластина совершает лишь изгибные колебания, описываемые моделью Жермен-Лагранжа [4]. В этих работах было установлено, что и в присутствии бесконечной пластины рассеянное поле можно представить в виде разложения по плоским волнам. Однако вблизи контура интегрирования в комплексной плоскости угла появляются дополнительные полюсы, вычеты в которых соответствуют поверхностным волнам. В результате возникает формула связи каналов рассеяния, согласно которой амплитуды рассеянных поверхностных волн равны вычетым в соответствующих полюсах от аналитического продолжения диаграммы направленности расходящейся волны.
В [5] эти результаты обобщены на модель пластины Уфлянда-Миндлина. Однако в этой работе накладывалось ограничение на частоту, гарантирующее отсутствие второй распространяющейся моды. В [6] результаты [2], [3] распространены на трехмерные задачи рассеяния для пластины Жер-мен-Лагранжа.
В данной работе рассматриваются трехмерные задачи рассеяния на компактных препятствиях в присутствии пластины, описываемой моделью Уфлянда-Миндлина, причем ограничение работы [5] снимается.
2. МОДЕЛЬ УФЛЯНДА-МИНДЛИНА 2.1. Условия на пластине
При исследовании совместных колебаний акустической среды и находящейся с ней в контакте тонкой упругой пластины в ряде случаев можно ограничиться учетом лишь изгибных деформаций пластины и использовать модель Жермен-Лагранжа для их описания. В диапазоне более высоких частот необходимо вводить поправки.
В модели Уфлянда-Миндлина, которая помимо изгибных учитывает также сдвиговые деформации, состояние пластины описывается тремя скалярными функциями: смещением срединной поверхности w(x,у) и двумя углами Х(х,у) = (^х(х,у), "%у(х, у)), характеризующими поворот. Эти функ-
ции подчиняются следующей системе динамических уравнений
В ((1- с)дх + (1 + а)у ахуХ) -
- к2вИ(X + ) + -£
Г 3 2
1 ю
12
X = 0,
(1)
уравнение на w1 и также проинтегрируем по области а. Вычтем это тождество из первого и проинтегрируем по частям. Учитывая выражения (4) и (5) для силы и момента, получим
-? (1- °)Ц((у XI)(у Х2Х) + (у XI)(V Х2)) -
к2ОМ( + Д^) + ю2phw = Р
г = 0'
(2)
Здесь В =
ЕК
- цилиндрическая жест-
( ) 1 дР (х, у, 0)
™ (х, У) = -2
9ою
д г
(3)
Т-, 2^, Г-^ , (.1
Р = -к ОМ — + £ Vдv
М = -В Г(1- а) -■ + (1+ с) ^ е'
(4)
(5)
В (1 + а)Ц шу х^у х2 са
+
12 (1- а )
кость, Е - модуль Юнга, а - коэффициент Пуассона, О - модуль сдвига, М - толщина пластины, р -
ее плотность, ю - частота и к2 - поправочный коэффициент. Акустическое давление Р(х, у, г) под-чиняюется уравнению Гельмгольца
(Д + к2)Р (х, у, г) = 0
и играет роль внешней нагрузки в уравнении (2). Оно связано со смещением пластины w условием неразрывности. Если пластина находится в одностороннем контакте с акустической средой, занимающей полупространство {г > 0},
+ Г^- к2оК)[[X, • Х2СП
12
(6)
а
+ к2 ом||у w2 •Vw1 са - ю2р м Ц w2w1 са =
а а
= -И Р 2 I г = 0Wl са + | М! • ^2 ^ - | F2W1 С* .
за
за
Меняя индексы в тождестве (6) и вычитая одно равенство из другого, получим формулу Грина
где р 0 - плотность акустической среды.
Уравнениям (1), (2) теории Уфлянда-Миндли-на отвечают следующие выражения для перерезывающей силы Р и изгибающих моментов М, с которыми деформированная пластина действует на тело, прикрепленное к ней вдоль линии I
Я(Р2| г =0 Wl- Р1| г ^2 =
а
|(М1 • ^2 + РW2- М2 • §1- F2Wl ) .
(7)
за
Здесь еу - единичный вектор, направленный вдоль нормали V к линии I.
2.2. Формулы Грина
Для дальнейшего анализа задач рассеяния нам понадобятся формулы типа формул Грина. Отметим, что в случае пластины Жермен-Лагранжа вывод аналогичных формул приведен в [7].
Пусть (Р1, w1, и (Р2, w2, ^2) удовлетворяют в некоторой конечной области а на пластине уравнениям (1), (2), (3). Рассмотрим уравнение (1) для первого решения, домножим его скалярным образом на и проинтегрируем по области а. Теперь обратимся к уравнению (2), написанному относительно второго решения. Домножим это
Полагая в (6) Р2 = Р1 , W2 = Wl , ^2 = и выделяя мнимую часть, получим
1ш||Р|г = ^са = 1т |(М • X + FW)ds. (8)
а
за
2.3. Обобщенное импедансное условие и поверхностные волны
Из системы (1), (2), (3) можно исключить функции \(х, у) и w(х, у), что позволяет записать краевое условие на пластине в форме обобщенного импедансного условия. Для этого вычислим дивергенцию уравнения (1) и при помощи уравнения (2) исключим функцию X, имеем
(Д2 + Р1Д - к4( 1- г)) (9)
- (Р2Д - N1- г))Р(х, у, 0) = 0.
а
а
а
Здесь аналогично [8], [5] введены обозначения
Fi =
1
к2 G 12D
ю
F - í?o(0
F 2--2-'
к Gh
22
- ph со
е 2 ,
12к2 G
22 k0 - —, A - —
P - P(г) + AR(b0)exp(ikxcosd0cosф0 + + iky cos ^0sin ф0 + ikz sin д0),
где коэффициент отражения имеет вид
L(д) -2L1 (д)
(10)
R(д) -
L (д)
L(д) - iksinд(k4cos4д- F1 k2cos2д-- k0( 1-е)) + Li (д), L^) - N( 1- е) + F2k2cos2д.
(11)
Краевое условие (9) допускает существование поверхностных волн
7 2 2 ц - к 2).
Волновое число ц найдем из дисперсионного уравнения
l (|2) = (|4- F1 ц2- k4 (1 - е))7|2- k2 -
-(F212 + N(1-е)) - 0.
(12)
Рассмотрим сначала уравнение для мод в изолированной пластине
|4- F112- k0( 1- е) - 0.
На комплексной плоскости параметра ц располагаются 2 пары корней этого уравнения ц = ±ц0, ц = ±цх, где
2 F1 1 2 4
|2 - -0Г+ oF2 + k4( 1- е),
Отметим, что волновое число k0 и параметр N совпадают с волновым числом и соответствующим параметром в модели Жермен-Лагранжа. Таким образом, полагая F1 = F2 = е = 0, мы получаем краевое условие, отвечающее модели Жермен-Лагранжа. В системе (1), (2), (3) этому отвечает предел при K2Dh —и рр h3ro2 —► 0.
Задача отражения плоской волны
Р(г) - A exp (ikx cos д0cos ф0 + + iky cos д^т ф0 - ikz sin д0)
от пластины, описываемой условием (9), имеет простое решение
ц2 = тЫ4 ^ +кг ('-е).
Корни ц0 и -ц0 всегда, то есть при любом соотношении параметров пластины, вещественны. Корни ц и -ц комплексны, если £ < 1, и вещественны, если £ > 1. То есть, при £ < 1 имеется одна распространяющаяся мода, а при £ >1 появляется вторая.
Введем величину ц2 = (£ - 1)/12. Можно показать, что при £ < 1 имеют место неравенства ц2 < ц? < 0 < 0 < ц2, а при £ > 1 выполняются неравенства 0 < ц? < ц2 < ц0. Анализ дисперсионного уравнения (12) с помощью правила знаков Декарта [9] показывает, что при любых значениях параметров задачи на полубесконечном интервале ц > ц0 существует одно решение кх. При £ > 1 и к < ц2 на интервале [тах(цх, к), ц2] появляется второе решение к2. Других положительных решений дисперсионного уравнения (12) не существует.
3. ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
Рассмотрим поле точечного источника, располагающегося в некоторой точке г0 = (х0, у0, 20) в акустическом полупространстве, ограниченном бесконечной пластиной Уфлянда-Миндлина. Это поле является решением следующей краевой задачи
(Д + k1) G(x, y, z; Г0) -- -5(x - X0)5(y - У0)8(z - Z0), z > 0,
дG(x,y, 0; Г0) (13)
(Д2 + F1Д - k4 (1- е))
dz
- (F2Д - N(1- е))G(x, y, 0; Г0) - 0.
Решение будем понимать в смысле принципа предельного поглощения.
Решение задачи (13) может быть получено при помощи двукратного преобразования Фурье по координатам хи у
+ ^ + ^
G(r, r0) - -Ц J J exp(iA,(x - x0) + i|(y -y0))x 8n (14)
dXd |
x(exp(-y|z-z<,|) + r(X + | )exp(-y(z + z0)))-
Здесь у = Л2 + Ц2 - k, а r(k2 + ц2) - Фурье образ коэффициента отражения (11)
( 2) l(т2) + 2li (т2)
r(т ) = -2-,
l (т2)
li(T2) = N( 1- е) + F2 т2.
3.1. Асимптотика на бесконечности
Интегральное представление (14) позволяет получить асимптотику функции Грина на больших расстояниях от источника, то есть при |r | —► Применим двумерный метод перевала [10]. Вклад в асимптотику дают точка перевала X = kcos Ф cos ф, ц = kcos Ф sin ф и возможно полюсы. Вклад точки перевала имеет вид расходящейся сферической волны. В сферических координатах (r, ф, Ф), (r -радиус, ф - долгота, Ф - широта) имеем
где
GSph 2п ikr - irc/2ÍTÍ / л \
kr e ^о(Ф'Ф ;ro),
ik -ikp0cos(ф- ф0)
^g( ф, Ф; ro) = e 8 п2
х
(16)
-ikz sin Ф
ikz sinФ „
Х{е"'.....+ R(fl)e .....}.
Вклады также могут давать вычеты в полюсах т = к1 и т = к2. Если точка наблюдения удаляется от пластины, то вычеты в этих полюсах оказываются экспоненциально малы. Однако, в том случае, если точка наблюдения стремится к бесконечно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.