МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. В.Г. ЗАДОРОЖНИЙ, А.В. КОВАЛЕВ, А.Н. СПОРЫХИН
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧИ
Приближенному решению методом малого параметра упругопластиче-ских задач теории идеальной пластичности посвящены монографии [1-3], а упрочняющихся упруговязкопластических задач монография [4], в которых достаточно полно отражена библиография исследований в этом направлении. Определению условий непрерывной зависимости характеристик напряженно-деформированного состояния от граничных условий и неоднородности материала с использованием теоремы о неявных функциях посвящены работы [5, 6].
В данной работе в рамках метода возмущений определено напряженное состояние в цилиндрической трубе, подверженной действию внешнего и внутреннего давлений с границами, близкими к круговым. На основе теоремы о неявных функциях рассмотрен вопрос о существовании и единственности решения задачи. Показано, что ее решение может быть получено для случая любой аналитической формы границы и любого числа физико-механических характеристик материала, зависящих от конечного числа малых параметров. Результаты допускают обобщение на более сложные модели сред. Дано сравнение полученных результатов с известными.
1. Рассмотрим задачу об определении напряженного состояния полого цилиндра, близкого к круговому (фиг.), подверженного действию внутреннего P0 и внешнего P давлений. При определенных значениях P0 и P в теле возникает пластическая зона, которая целиком охватывает контур внутреннего отверстия.
Решение проведем в полярных координатах r, 0 в случае плоской деформации. Отметим, что случай упругого тела рассмотрен в [5].
При решении упругопластических задач теории идеальной пластичности используются уравнения равновесия
dar + 1 dlr<3 _ о 0 - о r = 0 дr r д0 r
(1.1)
dTr0 + 1 д£е + 2^0 = 0 дr r д0 r
условие пластичности
(О0 - Or)2 + 4т2Г0 = 4K2 (1.2) и соотношения ассоциированного закона пластического течения
der - de0 depr0 r r
—-0 = —, de? + de0P = 0 (1.3)
Or - O0 Tr0 r 0
п p p p
Здесь ar, ое, тге - компоненты тензора напряжении, a er, eg , - компоненты тензора пластических деформации в полярных координатах (r, е), K - предел текучести.
Компоненты полноИ деформации складываются из упругоИ и пластической составляющих
(er, eg, erg) = (С 4 Ке) + (ep, еЦ, epg) (1.4)
e e e * u
где er, eg , erg - компоненты тензора упругих деформации, er, eg, erg - компоненты полных деформации в полярных координатах.
При этом упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука
e e 1 , ч e 1 /iir\
ee = -er = G (°е - )' ere = G Tre (1.5)
где G0 - модуль сдвига.
Компоненты полноИ деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши
dur _ 1дие ur
er ~ дГ' eg = Г"эе" + Г
1
егв = О
К Ч) + 1 Эи_г-
(1.6)
ГдrI r J rЭ9
где ur и ме - компоненты вектора перемещении в полярных координатах. Кроме этого выполняются условия на границах:
r = rk! = а(l + 5lcosе) = а + /1(51, 52, е) : Or = -P0, = 0 (1.7)
Г = rk2 = b + 52cosе = b + /2(51; 52, е) : or = -P, Tre = 0 (1.8)
где 51 и 52 - малые параметры, а и b - внутренний и внешний радиусы цилиндра в осе-симметричном состоянии, / (0, 0, е) = 0, j = 1, 2.
На упругопластическоИ границе rs выполняются условия непрерывности компонент тензора напряжении и вектора перемещении
[Ое] = [Or] = [Tr е] = [ ur] = [ие] = 0 (1.9)
В упругоИ зоне также имеют место уравнения (1.1), закон Гука (1.5) и соотношения Коши (1.6) при граничных условиях (1.8).
Приведенная система уравнений (1.1)—(1.9) представляет собой связанную замкнутую нелинейную краевую задачу гиперболо-эллиптического типа.
2. Покажем, что при малых 51, 52 решение задачи существует и является аналитическим по переменным 51, 52. Для этого воспользуемся теоремой о неявной функции (см., например, [7, с. 492]).
Теорема. Пусть Е, Е и О - три банаховых пространства и/- непрерывно дифференцируемое отображение открытого подмножества А произведения Е х Е в О. Пусть (х0, у0) - такая точка множества А, что/(х0, у0) = 0, частная производная Б/(х0, у0) есть линейное непрерывное взаимнооднозначное отображение пространства Е на О. Тогда существует такая открытая окрестность и0 точки х0 в Е, что для каждой открытой связной окрестности и точки х0, содержащейся в и0, существует единственное непрерывное отображение 2 окрестности и в Е, такое, что 2(х0) = у0, (х, 2(х)) е А и/(х, 2(х)) = 0 для любой точки х е и. Кроме того, отображение 2 непрерывно дифференцируемо в и и его производная определяется формулой
г1 (х) = -(в2/( х, 2 (х)))-1( Я/с х, г (х)))
Если отображение/аналитично в А, то отображение 2 является аналитическим в некоторой окрестности точки х0 (здесь, например, Я2[(х, у) - частная производная по второй переменной). Введем в рассмотрение функцию напряжений
= 1 дЛ + 1 д2Л
г г эг г2эе2'
ой =
э!л
Э г2
= - АГ1 эдЛ| Тг е Эг I гэ е )
(2.1)
Подставляя (2.1) в (1.1), (1.2), (1.5), получим
э!л _ 1 э Л 1 э!л
эг2 г эг - г 2 э е2
э 2 + 1 э + 1—1
эг2 гэг г2 эе21
2
+ 4 ГАГ 1ЭЛТ)2 =
4 Гэг Г гэ е )
Гэ2 л + 1 эл + 1
2 г эг 2 2
эг
г эе2
4 К
= 0
(2.2)
(2.3)
Уравнения (2.2) и (2.3) представляют собой уравнения для определения функции Л в пластической и упругой зонах, соответственно. Для определения напряжений в обеих зонах нужно перейти к ним по формулам (2.1).
Граничные условия и условия сопряжения для функции Л имеют вид:
г = гк 1 = а + /1 (§1' §2' е) :
1 эл+1 э_л = _р
г э г г2эе2 0
аг1 эл) = 0
эгггэе ) 0
г = гк2 = Ь + /2(51, 52, е):
1 эл+1 э!л =-Р аГ1 ^^ = 0
г э г г2 эе2 ' эг Г г эе)
(2.4)
(2.5)
"1 эл + 1 э2 л" = 0' Г э( '1 элг
га: г э г г2 э е2_ эгГ г э е )
= 0
(2.6)
Известно, что линейные задачи с неоднородными граничными условиями с помощью замен переменных сводятся к неоднородным задачам, но уже с однородными
граничными условиями. Здесь сразу рассматривается линейная неоднородная задача с однородными граничными условиями.
В качестве уравнения / (х, у) = 0 в рассматриваемом случае выступают уравнение
/ 2 2 \2 э2 Л _ 1ЭА _ 1ГА
эг2 г дr r2 э е2
4 (1 Ю) 2-4*♦.(»..«.. г.е> = 0
; пластической зоне и уравнение
Эг2 rdr r2эе2
d2 Л + 1 ЭА + 1 Э^д) э г2 r d г г2э е2
- Ф2(51,52, г, е> = 0
в упругой зоне с нулевыми граничными условиями.
В качестве переменной х выберем вектор с координатами 52, при этом Е - пространство двухмерных векторов с нормой ||5||Е = Л/5^+52. В качестве переменной у выступает функция Л. Пусть х0 = (0, 0). Тогда уравнению / (х0, у0) = 0 соответствует задача (2.2)-(2.6) при 51 = 0, 52 = 0. Эта задача имеет единственное решение [1], которому с учетом соотношений (2.1) соответствуют выражения для напряжений: в пластической зоне
О0 = - Р0 + 2 к 1п а, Ое = - Р0 + 2 к( 1 + 1п ^, т2е = 0 (2.7)
в упругой зоне
0 „ , (1 1А 0 „ , (1,1 А 0
< = - Р + К1 75--Н °ё = - Р + к1 ^ + ±, т;е = 0 (2.8)
\b г ' yb r J
Радиус упругопластической границы определяется из уравнения
Р0 + 2кlna = Р — к( 1/b2 — 1), к = ±1 (2.9)
Здесь и далее все величины, имеющие размерность длины, отнесены к r° , а имеющие размерность напряжений - к пределу текучести K. Для безразмерных величин оставлены их прежние обозначения. Соотношения (2.7)-(2.9) назовем нулевым приближением решения основной задачи.
Линейному оператору Df (x0,y0) соответствует линейная часть уравнений (2.2)-(2.6) по переменной Л.
Для определения пространств F и G удобно ввести следующие множества: Qj = {(г, е), a < г < rs, 0 < е < 2п} (соответствует пластической зоне), Q2 = {(г, е), rs < г < b, 0 < е < 2п} (соответствует упругой зоне), Q = Qj u Q2.
Пространство G - это полное нормированное пространство функций Л переменных (г, е) е Q, аналитических по переменной е, непрерывных по переменной г и 2п-перио-дических по е с нормой
||Л|| g = maxiЛ(г, е)|
Q
Для описания пространства F нам нужно сначала выписать линейную неоднородную задачу, соответствующую уравнению
D2f(Хо, Уо)AY = Ф
Для этого нужно линеаризовать по переменной Л уравнения (2.2), (2.3) и условия (2.4)-(2.6). Получим в пластической зоне
э2 Л 1 ЭЛ 1 Э2Л
57" г 57 - ? ф(0 0 г-">
\ ЭЛ + 1 7 Э 7 i2
а в упругой зоне
/.
Э2+1 Э_ + 1 _э_
Эг2 7 dr г2 3i2
\
-о АГ1 дЛ^
U' Эг I r 3iJ
^э2 л +1 эл + 1 ЛО
Э г2 г д г г 2Э i2
- о
(2.10)
(2.11)
- ф2(0, 0, г, i)
(2.12)
Здесь граничные условия аналогичны (2.11), но фх(0, 0, г, е), ф2(0, 0, г, е) - заданные функции переменных г и е при г = Ь. Обратимость оператора Б2/'(х0, у0) означает, что уравнение Я/(х0, у0)АУ = ф имеет единственное решение А У при любом ф е О.
Пусть ф^(0, 0, г, е), ф2(0, 0, г, е) - любые аналитические, 2п-периодические по е и непрерывные по г функции. Решение уравнений (2.10) и (2.12) определим методом Фурье разделения переменных.
Пусть
ф1 (0, 0, г, i) - ф0(г) + ^ (фк(г) coski + (г) sinki)
k - 1
Решение уравнения (2.10) имеет вид
Л( г, i) - Л0 (г) + £( Ek( г) cos ki + Fk (г) sinki)
к - 1
2 г ф (S) 1 г
Л0(г) - Cj+ С2г2 + г2 J-2 Jsфо(s)ds
a a
(2.13)
Ej - (Cj + C21nr)г + г1п^ф^)ds - ^ф^) lnsds
я , s ~ (1^1-Ю (1^1- г к r Ek(r) - c1 r + c2r +
л/Т^
-J s 1 k фk (s) ds-
(1-^-
-Js 1 k ф/с(s)ds, k
> 2
Функции Fk(r) имеют вид аналогичный Ek(r), где следует заменить фДя) на yk(s). Пусть ф2(0, 0, r,0) = фо( r) + X(^k(r) coske + Bk(r) sinke)
k - 1
r
r
a
a
a
a
Ф(r, 9) = Ф0(r) + I(Xk(r)cosk9 + Yk(r) sink9)
k = 1
Тогда уравнение (2.12) разбивается на два:
^ + 1ЭЛ +1 = ф( Г,В) 3г2 г эг г эе2
д2 ф 1 ЭФ 1 Э2ф
д-ф + -1 Эф + 1 Э-ф = Ф2(0, 0, г, 0)
эг2 г эг г2 Э02
Решение уравнения (2.14) имеет вид
(2.14)
Л(r, 9) = Ло(r) + I (Uk(r)cosk9 + Vk(r) sink9)
k = 1
(2.15)
Л0(r) = c1 + c2lnr + lnr JsФ0(s)ds - JslnsФ0(s)ds
(2.16)
kr -kr Uk(r) = ¿1 rk + c2r-k + 2ljXk(s)s1" kds - r— Js1+ kXk(s)ds, k > 1
(2.17)
2 к г' "" 2к J
ь ь
Функции ¥к(г) имеют вид, аналогичный ик(г), где следует заменить Хк^) на Ук(&"). Функции Хк(5), ф0(^), Ук(в) определяются соотношениями (2.16) и (2.17) с заменой в них
Л0 (г) на фд(г), фд(5) на ср0 (?), С4(г) на Хк(г), Х^) на Л^), Ук(г) на Ук(г), Ук(*) на Б^). Здесь коэффициенты с1, с1 могут быть любыми, поэтому для однозначности решения потребуем,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.