АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 6, с. 890-894
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕИИОИ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.222
ОБ АНАЛОГИИ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕИНОГО РАССЕЯНИЯ ЗВУКА
В вязкоИ жидкости и в ИЗОТРОПНОЙ упругоИ среде
© 2008 г. Ю. А. Кобелев
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова 46 E-mail: kobelev@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 5.10.07 г.
В работе получены выражения для скоростей и сил, ответственных за монопольные, дипольные, квадрупольные и ротационные колебания сферической частицы в произвольном звуковом поле, а также в полях плоских волн и волн, рассеянных другими частицами, справедливые как для жидкости, так и для упругой изотропной среды.
PACS: 43.20.Fn
В задачах рассеяния звуковых волн на дискретных неоднородностях, включая границы раздела разных сред, практически не обсуждается влияние вязкости жидкости. Исключением, пожалуй, является работа [1], где показано увеличение за счет вязкости амплитуды поля, рассеянного сферической частицей. Большое количество публикаций последнего времени по фильтрации газожидкостных смесей через пористую среду [2], о прохождении звука через многослойные среды, возбуждении поверхностных волн и т.д. (см., например, [3-5]), также не уделяют достаточного внимания этому вопросу, хотя для низких звуковых частот возможно существенное влияние вязкости жидких прослоек между упругими слоями. Конечно, эти случаи являются исключением, и в большинстве задач рассеяния звука можно не учитывать этот фактор. Но, если воспользоваться известной аналогией между вязкой жидкостью и упругой изотропной средой, то простой заменой волновых чисел звуковых и вязких волн на волновые числа продольных и поперечных волн соответственно можно переходить от задач рассеяния звука в жидкости к рассеянию в твердом теле. Например, матричный формализм описания звуковых волн, развиваемый в работах [3-5] для многослойной упругой среды, можно распространить на многослойную среду с жидкими прослойками. К сожалению, даже классические задачи рассеяния на сферических препятствиях в силу громоздкости математического аппарата дают либо колебания частицы в заданном однородном поле колебательной скорости среды, либо поле излучения при заданной скорости частицы [6, 7]. В работе [8] даже предложен вариационный принцип описания рассеяния на сферических пре-
пятствиях, по мнению ее автора, более доступный для использования результатов в других задачах.
В настоящей работе с помощью традиционного метода, основанного на описании рассеяния с помощью скалярного и векторного потенциалов, даются выражения для амплитуд скоростей и сил от произвольного поля, действующего на частицу, для монопольных, дипольных, квадрупольных и ротационных типов ее колебаний.
Выделим в колебательной скорости V частиц жидкости потенциальную и вихревую компоненты с помощью скалярного у и векторного Ф потенциалов равенством
v = Vy + rot Ф.
(1)
Далее будем рассматривать только гармонические процессы, когда все величины зависят от времени через ехр(гю0, оставляя за амплитудами колебаний прежние названия и обозначения. Уравнения для скалярного и векторного потенциалов записываются в виде:
Ay + к2у = 0, А Ф + q2F = 0,
где
к2 = (ю2/с2)
1 + 4 п + кГ— —
р c2 v 3 vc^ Cp q2 = -'юр/п.
(2)
(3)
К этим уравнениям следует добавить выражение для звукового давления
p = - iюру + ( Z + зП )Ay,
(4)
которое следует из линеаризованного уравнения Навье-Стокса, где р - звуковое давление, р -плотность жидкости, а П - ее коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости, с - адиабатическая скорость звука, к, с^ ср - коэффициенты теплопроводности и теплоемкостей при постоянном объеме и давлении соответственно. Замена величин согласно правилу
2 2 ,2 ,2 «Р. 2 ,2 «Ре
к — ^А-Гё? *» = —; (5)
Р ^ Ре; У^Уе'; Ф^Фе.
где ке, кI - волновые числа продольных и поперечных волн в упругой изотропной среде, ре, А, ц - ее плотность и коэффициенты Ламе соответственно, переводит уравнения (2) для потенциалов у и Ф скорости частиц жидкости в уравнения для потенциалов уе и Фе скорости частиц упругой среды.
Для решения задач рассеяния звука необходимы граничные условия, связывающие колебательные скорости частиц сред на границе, и силы, действующие на границу. Если замена потенциалов согласно (5) через определение скорости (1) дает возможность сразу перейти от скорости частиц в жидкости к скорости частиц в упругой изотропной среде, то для сил это не очевидно и требует пояснений. Воспользовавшись выражениями для тензора а' вязких напряжений, приведенных в [6], можно записать выражение для плотности силы Р, действующей со стороны жидкости на единичную площадку границы, определяемую единичным вектором п± внешней нормали, в виде
Р = Р п± - ^а)кП . (Пк п±) =
к
Для упругой изотропной среды плотность силы дается выражением (формулы для тензора упругости приводятся, например, в [9])
Ре = -7« {А П± Шу Уе + IЮ
+ Ц[ П . ( П±у V е\) + ( П . П±)У V Л }.
(8)
Здесь уе - амплитуда скорости колебаний частиц среды. Если к первому слагаемому в (8) добавить и отнять выражение 2цп± Шу уе = 2цп±Ауе =
= -2ц к2е уеп± и воспользоваться формулами из (5) для продольного и поперечного волновых чисел, то получим выражение для плотности силы, которое следует из (7) после замены в нем величин согласно правилу (5). Таким образом, имеется аналогия между вязкой сжимаемой жидкостью и упругой изотропной средой, как по уравнениям колебаний, так и по граничным условиям. Введение объемных сил, например, гравитационных, как в работе [10], не разрушает эту аналогию.
Запишем выражение для плотности силы (7) в сферической системе координат г, 0, ф с единичными векторами п, п0, пф соответствующих координат, причем выберем п± = -п. Воспользовавшись равенством V V. = V(vn;■) и разложением векторов п. по п, п0, пф, получим
Р = г'юр^
у +4 Г 2-7 +
1 д
V ф
г8Ш0 дф
+ 1д-0 +
008 0
д0 г 8Ш 0
1 д—г дV0
г д0 дг
V 0
10 г
(9)
П0 +
Р + (3П- С 1^уУ
- п[ п . (V v. п±) + V v. ( п . п±)] .
(6)
Р = -г'юр] у^ + ^ [2п±Шуу -
I д
- п.(V V.П±) - (П^V■ ] к
(7)
д^ дг
_ ^ +
1д
V,
г8Ш0 дф
Здесь п., пк - единичные орты в прямоугольной системе координат (], к = 1, 2, 3), V. = уп. - проекция скорости на .-ую координатную ось; по дважды повторяющимися индексами подразумевается суммирование. Исключив из выражения (6) давление, с помощью равенства (4) получим:
Выражение (9) соответствует плотности силы, действующей на сферическую частицу радиуса г, находящуюся в центре системы координат, со стороны окружающей жидкости; для жидкости, находящейся внутри сферы, надо заменить п на -п.
В задачах рассеяния звука на сферических частицах обычно выделяют отдельные типы колебаний частицы. Здесь рассмотрим монопольные, дипольные, квадрупольные и ротационные. Для этого выделим в звуковом поле компоненты скорости и плотности сил, соответствующие этим типам колебаний, представив поля у и Р в виде:
у = V тп + У л + ( у 5 п ) п - 1 у 3 + г [ й п ] + 5 у, (10)
+
д
П
д
П
1
+
P = Pmn + Pd + (Ps n) n -3- Ps + [ Pt n ] + 5 P, (11)
где vm и Pm, Vd и Pd, Vs И Ps, r[Wn] и [PTn] - монопольные, дипольные, квадрупольные и ротационные компоненты скорости и плотности силы соответственно звукового поля, а 5v и 5P - оставшаяся часть полей v и P, W - угловая скорость. Для выделения отдельных компонент проведем усреднение по поверхности сферы выражений (10), (11), обозначив эту операцию ((•)) = 1 jj^ ') sin®d0. Это дает
Vd = < v>, Pd = < P>.
(12)
vm = < vn>, Pm = < Pn>.
(13)
1
1,
dn д0
Э n . „
= n0, ^ = пф sin 0, "ge = -n'
dn0 дпф
—-г— = пфcos 0, —- -
0,
дф д0 д n
-тт-ТГ = -(n sin 0 + n0 cos 0), дф
получим:
Vm = дГ <У , Pm = ¿®P( ^^дГ)^ ' (17)
v d = (ддг + 2)<¥ n + [ n Ф ]>,
Pd = top<yn + [ n Ф ]>,
v ^ОИХ* n[ пФ ]
Ps = 3 i юр
3
1 6 (i д 1- qv(1- Г дГ
(19)
yn -2 [ n Ф ]
W =
2r
3 + дд)<(Фn)n> - í 1 + £]<Ф> r дг) í r дг.
Домножив их скалярно на n, и опять усреднив, найдем
Pt
= - iЮPr -д W.
q д r
(20)
После двойного умножения на п и усреднения
имеем 1 ул + 9 V = <(уи)п), аналогичное равенство
следует из (11). Исключая отсюда ул и Ра, с помощью (12) получим
V, = ^(vn)п -3V"!; Р5 = ^(Рп)п -3-р, (14)
И, наконец, векторное умножение слева на п и усреднение дают
О = 23 <[ nv]), Рт = 2 <[ пР]). (15)
Полный момент от плотности силы Рт равен
N = 4пг3 <[пР]) = уг Рт. (16)
Слагаемые 5у и 5Р из (10) и (11) по определению не дают вклада в полученные компоненты скорости и силы. Подставив в выражения (9) и (12-15) скорость V, записанную через потенциалы, и упростив средние с помощью интегрирования по частям по углам 0 и ф, используя соотношения между единичными векторами:
д п0
Восемь составляющих полей скорости и плотности силы определяются только пятью средними от потенциалов: <у), <уп), <Ф), <[пФ]), <(Фп)п). Выражения (17-20) справедливы как для полей в частице радиуса г, так и для полей, окружающих частицу. В обоих случаях замены величин согласно правилу (5) позволяет совершать переходы от жидкости к упругой среде и наоборот. Запишем эти средние для звуковых полей, наиболее часто встречающихся в теории рассеяния. Это, прежде всего, плоские волны
y = Уоехр [-ik( z + r( nnz))], Ф = Ф0ехр [-iq( z + r( nnz))]. После усреднения (21) получим
<y( z + r (nnz ))> = Q1 (kr)y( z),
<yn> = 3 rQ2(kr)Vy( z), < Ф> = Q1 (qr) Ф (z), <[ n Ф ]> = 1 rQ2 (qr) rot Ф( z),
<( Ф n )n> = 3 Q2( qr) Ф( z).
(21)
(22)
(23)
Операции grad в (22) и rot в (23) здесь и далее выполняются по координатам центра сферы, а функции б1(х) и Q2(x) определяются формулами
Q1(x) = (e'x - e 'x)/2ix,
n ( ) 3dQ1 dQ2 3(n n ) Q2(x) "¿T -dx=-X(Q1- Q2).
(24)
Выражения (22-24) показывают, что при любой величине параметров кг и дг для плоских волн средние выражаются в виде произведения функции от радиуса г на функцию от положения центра сферы. Интересно, что это свойство средних от плоских волн, сохраняющееся для любой раз-
мерности пространства [11], присуще и рассеянным сферической частицей полям, по крайней мере, таким как:
г х) =
Я
Я
ат +— ( 1+ )( ВПх )
х ехр [-1к( Гх - Я)],
Ф* ( Гх ) =
Я
1
(1 + 1дГх)[ БПх ]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.