Автоматика и телемеханика, № 5, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. А.Ю. АЛЕКСАНДРОВ, д-р физ.-мат. наук (alex43102006@yandex.ru), А.В. ПЛАТОНОВ, канд. физ.-мат. наук (al-platon1@yandex.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет)
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ГИБРИДНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ1
Изучаются гибридные многосвязные системы, динамика которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями с переключениями. С помощью метода сравнения определяются условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений рассматриваемых систем при любом законе переключения. Приводятся примеры применения полученных результатов в задачах анализа устойчивости гибридной системы автоматического управления и механической системы с переключаемыми силовыми полями.
1. Введение
Проблема анализа устойчивости решений систем с переключениями является одной из актуальных проблем современной теории управления [1—5]. Система с переключениями представляет собой гибридную динамическую систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент времени, какая из подсистем является активной. Системы такого рода широко применяются при моделировании механических, энергетических, электроэнергетических систем и технологических процессов [1-4].
Во многих прикладных задачах при проектировании управляемых систем требуется обеспечить их устойчивость для любых допустимых законов переключения [1, 2]. Подобная ситуация естественным образом возникает в случаях, когда закон переключения или неизвестен или слишком сложен, чтобы его можно было бы учесть при анализе устойчивости.
Основным методом исследования устойчивости нелинейных систем с переключениями является прямой метод Ляпунова. Чтобы с его помощью доказать асимптотическую устойчивость, равномерную относительно закона переключения, достаточно построить общую функцию Ляпунова для множества подсистем, соответствующих рассматриваемой системе [1, 2]. Такой подход
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (НИР № 9.38.674.2013) и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 13-01-00347-я и № 13-08-00948-я).
успешно применялся во многих работах (см., например, [1-7]). Однако проблема существования общей функции Ляпунова не решена в полном объеме даже для семейства линейных автономных подсистем [1]. Данная проблема является особенно трудной для систем высокой размерности (многосвязных или сложных систем).
Следует отметить, что анализу устойчивости сложных систем без переключений посвящено большое количество работ (см. [8-11] и цитируемую там литературу). В [12] была поставлена задача исследования динамики моделей, содержащих связанные подсистемы, и предложен общий подход к ее решению. В [12, 13] этот подход применялся для изучения устойчивости, колебаний, бифуркаций и стабилизации некоторых классов таких моделей.
В настоящей статье рассматриваются гибридные многосвязные системы, динамика которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями с переключениями. С помощью метода сравнения [8] определяются условия, при выполнении которых нулевые решения этих систем будут асимптотически устойчивы при любом законе переключения.
2. Постановка задачи
Рассмотрим гибридную многосвязную систему
п
(1) X = (х) + £ б£> (£, х), г = 1,..., п,
3 = 1
описывающую взаимодействие п подсистем. Здесь х € , х = (хт,... ...,х^)т; а = а(£) — кусочно-постоянная функция, задающая закон переключения, а(£) : [0, +гс>) — Q = {1,...,Ж}; элементы векторов Е(в)(хг) яв-
ляются непрерывными при хг € И™1 однородными функциями порядка ^г ^ 1; векторные функции И,^^, х) непрерывны в области £ ^ 0 и ||х|| < А (0 < А ^ ||-|| — евклидова норма вектора) и удовлетворяют условиям
jt, x)
< j ||Xj- f- , cj ^ 0, ajj > 0;
i, j = 1,..., n; s = 1,..., N. Предполагаем, что функция a(i) на любом ограниченном промежутке имеет конечное число точек разрыва (non Zeno switching law [1, 3]). Такие законы переключения будем называть допустимыми. В каждый момент времени динамика системы (1) определяется одной из подсистем семейства
n
Xj = F(s)(x ) + Rjs)(t, x), i = 1,...,n, s = 1,..., N. j=i
Таким образом, переключения между различными режимами не меняют порядки однородности ßi взаимодействующих подсистем и степени влияния ajj одних подсистем на другие. Подобная ситуация имеет место, например, в случае, когда компоненты векторных функций F(s)(xj) и Rj^t, x)
представляют собой однородные формы относительно фазовых координат, а переключения происходят в коэффициентах этих форм.
Из предположений, сделанных относительно правых частей системы (1), следует, что она имеет нулевое решение. Определим условия, при выполнении которых это решение будет асимптотически устойчивым при любом допустимом законе переключения.
Отметим, что в [6] исследовалась задача об асимптотической устойчивости гибридной сложной системы с независимыми режимами переключений всех подсистем и всех функций взаимосвязи между подсистемами. С помощью метода векторных функций Ляпунова для такой гибридной системы строилась система сравнения без переключений, учитывающая всевозможные структурные вариации, возникающие при смене режимов функционирования. Асимптотическая устойчивость нулевого решения построенной в [6] системы сравнения обеспечивает аналогичное динамическое свойство в исходной гибридной сложной системе при произвольных независимых переключениях всех подсистем и всех взаимосвязей. Однако на практике могут встречаться и такие ситуации, когда переключения в отдельных элементах сложной системы не являются независимыми. Например, если влияние первой подсистемы на вторую и третью складывается из двух составляющих, одна из которых является управляющим сигналом, формируемым на основе измерения специальным датчиком вектора состояния первой подсистемы, то отказ этого датчика будет вызывать одновременное переключение функций влияния первой подсистемы на вторую и третью. Такие сочетания, когда в одной функции влияния управление используется, а в другой не используется, оказываются недопустимыми, а сочетания, когда в обеих функциях влияния управление одновременно присутствует либо не присутствует, — допустимыми. Будем далее считать, что в общем случае в гибридной сложной системе все такие допустимые сочетания переключений элементов перенумерованы числами в = , и рассмотрим задачу об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1). Так как недопустимые сочетания переключений исключены из рассмотрения, то полученные в [6] условия асимптотической устойчивости нулевого решения в некоторых случаях могут быть уточнены.
3. Достаточные условия асимптотической устойчивости
Для каждого г € {1,... ,п} рассмотрим соответствующее семейство изолированных подсистем
(2) X = ^(х*), в = 1,...,Ы.
Сделаем следующие предположения.
Предположение 1. При всех г = 1,... ,п и в = 1,..., N нулевые решения подсистем (2) асимптотически устойчивы.
Предположение 2. При каждом г €{1,...,п} для соответствующего семейства (2) удалось построить общую функцию Ляпунова )
в виде непрерывно дифференцируемой положительно определенной положительно однородной функции порядка ^г + 1, 1г > 0, такую, что функции (д-иг(хг)/дхг)т Е(5)(хг), в = 1,..., N, отрицательно определены.
Замечание 1. Известно [14, 15], что если нулевое решение в-й подсистемы из (2) асимптотически устойчиво, то для нее существует своя частная положительно однородная порядка 7г + 1 функция Ляпунова, причем в качестве 7г можно выбрать любое положительное число. В [5] получены достаточные условия, при выполнении которых для совокупности (2) можно построить общую функцию Ляпунова в виде линейной комбинации частных функций, найденных для каждой в-й подсистемы из (2) в отдельности.
Построим для сложной системы (1) гибридную систему сравнения, при этом чтобы получить для каждого фиксированного режима функционирования соответствующую систему сравнения, используем способ, предложенный
в [6].
Если выполнено предположение 2, то согласно свойствам однородных функций (см. [14]) при всех хг € Ят* будут справедливы оценки:
(3)
дхг
Й1г ||хгр+1 ^ -¿(хг) ^ Й2г ||хгр+1 ,
т
^ азг ||х
где а1г, а2г, а3г, а^ — положительные постоянные, г = 1,... ,п, в = 1,..., N.
Построим векторную функцию Ляпунова v(x) = (-1(х1),...,-га(хга))т. Дифференцируя компоненты этой функции в силу системы (1), получаем при £ ^ 0 и ||х|| < А неравенства
\ъ
дщ дхг
^(хг) < -а4г
М
хг
|7г+Мг
Цц < ^(х))^ (v(x))
г = 1,
Здесь
(V) = /(^+1) + ^ ^+1),
= аИ а-Мг/(7г + 1) ьг = а4г а2г ,
3 = 1
лИ = а „И а-аИ/(СИ+1) ^Ч? — г сг
сг3 а13
а1 а-
=
Таким образом, система (4)
-г7./(7. + 1) -7г/(7г + 1) , если ^^ ^ 0, -7./(7. + 1) -7г/(7г + 1) , если ^^ < 0.
и
С(ст)(и),
где и = (иь ..., и„)т, сМ(и) = (£(ст)(и),... ,5Пст)(и))т, 5(ст)(и) = ^(и^и), является системой сравнения для (1). Значит ([8]), асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (4) в неотрицательном ортанте Я+ влечет за собой асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1).
п
Система (4) представляет собой гибридную систему, переключения в которой происходят между подсистемами семейства
(5) и = СМ(и), 8 = 1,...,Ж.
Исследуем далее устойчивость нулевого решения системы сравнения (4). Как отмечалось в разделе 1, чтобы доказать асимптотическую устойчивость, равномерную относительно закона переключения, достаточно построить для семейства подсистем (5) общую функцию Ляпунова, удовлетворяющую требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Для получения условий существования такой функции воспользуемся подходом, предложенным в [16].
В соответствии с этим подходом рассмотрим вспомогательные системы неравенств:
(6) агзК ^ при тах =0, г,] = 1,... ,п,
п
(7) + < 0, г = 1,..., п, 8 = 1,..., N.
3=1
Будем считать, что выполнено следующее предположение.
Предположение 3. Системы (6) и (7) имеют положительные решения.
п
Замечание 2. Условие существования положительных чисел К-1,..., К удовлетворяющих неравенствам (6), означает, что порядки пра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.