ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 105-112
УДК 519.633
ОБ ЭФФЕКТИВНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ С ТОЧЕЧНОЙ МАССОЙ1)
© 2015 г. С. Е. Холодовский
(672039 Чита, ул. Александро-Заводская, 30, ЗабГУ) e-mail: ho147@yandex.ru Поступила в редакцию 28.02.2013 г. Переработанный вариант 30.06.2014 г.
Рассмотрена задача Коши для уравнения о движении струны с точечной массой. Методом свертывания разложений Фурье решение задачи выражено в виде однократных квадратур через решение классической задачи Коши без точечной массы при сохранении уравнения и начальных функций. Приведен пример решения задачи в конечном виде, для которого построены графики струны в окрестности точечной массы с постоянным шагом по времени. Библ. 14. Фиг. 1.
Ключевые слова: неограниченная струна, волновое уравнение, точечная масса на струне, метод свертывания разложений Фурье, графики движения струны с точечной массой.
Исследование колебаний нагруженных балок, пролетов железнодорожных мостов, крыльев самолетов и т.д. в математических моделях сводится к задачам о движении струны, нагруженной сосредоточенными массами. При решении задач о движении струн с точечными массами, как правило, применяются методы рядов Фурье, преобразований Фурье, численное моделирование, асимптотические методы, методы теории усреднения (см. [1]—[12]). При этом одной из центральных является задача нахождения спектра собственных частот, а также их асимптотических оценок (см. [5]—[12]).
В данной статье выведены формулы, выражающие в однократных квадратурах решение задачи Коши о движении струны с точечной массой через решение аналогичной классической задачи без точечной массы, что позволяет доводить решение задач до численных расчетов. Для вывода указанных формул рассмотрен более широкий класс задач, включающий задачи о струне с точечной массой. Для данного класса задач посредством метода свертывания разложений Фурье выведены общие формулы, выражающие решение задач с обобщенными условиями сопряжения через решение аналогичных задач без условий сопряжения. Полученные формулы справедливы также для задач о движении струны с точечной массой. Следует отметить, что непосредственно указанный метод к задаче о струне с точечной массой неприменим.
Рассмотрим сначала в цилиндре Б = (х е Я) х (у е Q с Ят), состоящем из двух полуцилиндров Б1(х < 0) и Б2(х > 0), для функций и(х, у) в Б^ общую задачу с условиями сопряжения вида
DOI: 10.7868/S0044466915010111
ВВЕДЕНИЕ
1. ВЫВОД ОБЩИХ ФОРМУЛ
2
дxu1 + Lu1 = 0, Мыцз = 0, дU + LU2 = H(x,y), Mu2\s = h(x,y),
(2)
(1)
1) Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Феде рации (код проекта 2014/255 НИР 2603.14).
X = 0: и2 = ыь дхЩ - дхщ = 2д2хщ, (3)
Y
где дX = д"/Эх", y = (y1,..., ym) е Q, S = dD, у = const > 0, L и M — произвольные линейные дифференциальные операторы по переменным y (операторы L и M не содержат производных по х и коэффициенты при производных не зависят от х), причем эти операторы такие, что аналогичная классическая задача в цилиндре D без условий сопряжения вида
„2 Г0, х < 0, Г0, х < 0,
dXf + Lf =Г ' . . Mfs =1' ' (4)
|Д(х,y), x > 0, [h(x,y), x > 0,
корректна. Условия задач (1)—(4) однородны при х < 0, что не умаляет общности.
С помощью метода свертывания разложений Фурье (см. [13], [14]) выразим решение задачи (1)—(3) через решениеf (х, у) задачи (4). Для вывода общих формул рассмотрим частные (модельные) случаи этих задач, допускающие применение метода Фурье по переменным вдоль плоскости сопряжения х = 0 (3), т.е. когда возможны соответствующие разложения Фурье заданных функций как функций от переменной у. Отметим, что класс задач (1)—(3) включает задачи, для которых метод Фурье в указанном смысле неприменим. К таким задачам относится задача о движении струны с точечной массой.
В качестве указанной модельной задачи рассмотрим простейший случай задач (1)—(3) на плоскости с декартовыми координатами х, у для оператора Лапласа:
Au1 = 0, х < 0, Ди2 = H(x,y), х > 0, (5)
с условиями сопряжения (3), где y е R, А = д- + д2y. Выразим решение этой задачи через решение соответствующей классической задачи (4) на плоскости х, у вида
0, х < 0, . . 2 2
А/ = \' ' п \/\ = 0(1), х2 + у2 ^. (6)
|Д(х,у), х > 0, 11
Предположим сначала, что функция/(0, у) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье/(X), т.е.
да
/(0,у) = ,X)йX, g(у,X) = /(Х^пХу + /¡(X)со8Ху. (7)
0
Отсюда функция/(х, у) при х < 0, где она удовлетворяет уравнению Лапласа (6), представима в виде
ад
/(х,у) = |в*xg(y,X)йХ, х < 0 (8)
0
(интеграл справа и функция /(х, у) слева являются решением задачи Дирихле в полуплоскости вида Аы = 0 при х < 0, И|х=0 = /(0, у), т.е. равенство (8) справедливо). Представляя решение задачи (5), (3) в виде
ад
и1 = ^а1вXxgdX, х < 0, (9)
0
ад
и2 = /(х,у) + |а2в XxgdX, х > 0, (10)
0
из условий сопряжения (3) с учетом (8) находим а1 = у(Х + у)"1, а2 = —1 + у(Х + у)"1. Тогда функции (9), (10) примут вид
^Хх
^-^dX, х < 0, (11)
X + у
0
^-Хх
е—^Х, х > 0, (12)
Х + у о '
где функция g(y, X) определена в (7). Из разложения (8) следует формула
да да .
^Хх
е~угД(х - г,У)йг = х < 0, у > 0.
•>Х + у
о о
Отсюда решение (11), (12) задачи (5), (3) непосредственно выражается через решение/(х, у) классической задачи (6) без разложений Фурье в виде
ад
и- = у |е~11Д(х - г,У)йг, х < 0, (13)
о
ад
«2 = Д(х, у) -Д(-х, у) + у |е(-х - г, у)йг, х > 0. (14)
о
Отметим, что выражения справа (13), (14) являются операторами, действующими на функцию /(х, у) по одной переменной х (переменная у является свободной).
Теорема. Если функция/(х, у) является решением корректной задачи (4) и удовлетворяет вместе с производными, входящими в задачу (4), условию
\/(х,у)| = 0(еах), х ^-да, 0 < а < у, (15)
то задача (1)—(3) корректна и ее решение строится по формулам (13), (14).
Доказательство. Представим решение задачи (1)—(3) в виде (13), (14), где/(х, у) — некоторая функция, удовлетворяющая условию (15). Отсюда интегралы (13), (14) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз. Функции (13), (14) тождественно удовлетворяют условиям сопряжения (3), что проверяется непосредственно. Подставляя функцию и1(х, у) (13) в
уравнение (1), для функции В(х, у) = д /(х, у) + Ь/(х, у) получим уравнение I е уг^(х - г, у)йг = 0
•)о
рх
или I еу)йг = 0 для Vх < 0. Отсюда F(x, у) = 0 при х < 0, т.е. функция/(х, у) удовлетворяет
уравнению (4) при х < 0. С учетом этого уравнения, подставляя функцию и2(х, у) (14) в уравнение (2), для функции /(х, у) получим уравнение (4) при х > 0, при этом учитывается, что если /(х, у) — решение уравнения д / + Ь/ = 0 при х < 0, то /(—х, у) — решение этого уравнения при х > 0. Рассуждая аналогично для функции ¥0(х, у) = М/(х, у), получим, что функция/(х, у) удовлетворяет граничному условию (4).
Таким образом, в формулах (13), (14) для функции /(х, у) получили задачу (4), которая по предположению является корректной. Из равенств (13), (14) функции и1 однозначно определяются по функции /(х, у). Обратно, функция /(х, у) однозначно определяется по функциям и.
Дх,у) = щ(х,у) + -дх«1(х,у), х < 0, У
Дх,у) = «2(х,у) + -ду)к=_х, х > 0,
У
что устанавливается непосредственно. Следовательно, задача (1)—(3) корректна и ее решение имеет вид (13), (14).
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТРУНЕ Рассмотрим задачу типа (1)—(3) в полуплоскости Б, х е Я, t > 0:
д 1щ - д2и- = 0, и-1, =о = 0, д,иц,=о = 0, х < 0, (16)
дщ2-дЩ2 = 0, щ=0 =ф(х), дщ-ц=0 =у(х), х > 0, (17)
х = 0 : «2 = и- дх«2 - дхи- = тд и (18)
где ф(х) е С2(Я+), у(х) е С Данная задача описывает свободное движение неограниченной струны с массой т в точке х = 0 при начальном возмущении ф(х) и начальной скорости у(х), где 1 — время (см. [1, с. 147]) (во втором условии (18) сила инерции массы с учетом уравнения (16)
имеет вид mди = mдXu]). Решение задачи (16)—(18) строится по общим формулам (13), (14) (что также проверяется непосредственно):
и1(х,0 = у |е 11Л(х - г,X < 0,
(19)
и2(х, ^ = Л(х, 0 - Л(-х, о + У Iе уг/(-X - г, Ойг, X > 0,
(20)
где у = 2/т, /(х, 1) — решение классической задачи Коши (4):
д- дЛ = 0, - да < х < да,
[0, X < 0, д [0, X < 0,
[ф^), X > 0, ' ''=0 [ф^), X > 0,
которое определяется формулой Даламбера. Отсюда для широкого класса начальных функций ф(х) и у(х) функции и¡(х, 1) строятся в конечном виде.
Из формул (19), (20) в предельном случае, когда масса т ^ да, находим и1 = 0, и2 = /(х, 1) —/(—х, 1), что соответствует классическому случаю движения полуограниченной струны 0 < х < да с неподвижным концом и^^ = 0. В другом предельном случае при т ^ 0 из формул (19), (20) получаем и1 = и2 = /(х, 1), что соответствует движению струны без сосредоточенной массы в точке х = 0. Отсюда формулы (19), (20) описывают движение струны в промежуточных случаях от закрепленной точки х = 0 до отсутствия массы в этой точке.
Рассмотрим задачу (16)—(18) с начальными функциями вида
) гад, x -(«,Ь), ^) = 0,
^ [0, X й (а,Ь), ^
(21)
где а > 0, Н(х) > 0. Далее полагаем 3а > Ь, т.е. для момента времени 1 = а, когда обратная волна Н(х + 1) доходит до точки х = 0 с массой, носители этой волны и прямой волны Н(х — 1) не пересекаются. Пусть время 1 > а, т.е. точка с массой начинает движение. При этом решение задачи строится по формулам (19), (20), где
Н^ + t), а - t < X < Ь - t,
Л X, t) =•,
{Н^ - О, а + I < X < Ь + t,
/(х, 1) = 0 — в остальных точках х. Отсюда функции и2 при х > 0 содержит в качестве слагаемого прямую волну Н(х — 1) при а + 1 < х < Ь + 1, которая двигается вправо и не пересекает точку х = 0. Далее слагаемое Н(х — 1) в и2 будем опускать. Для моментов времени а < 1 < (а + Ь)/2, (а + Ь)/2 < < 1 < Ь и 1 > Ь функции u¡ (19), (20) в точках, в которых они отличны от нуля, приводятся соответственно к виду
и1 = Ф^ + 0, а -1 < X < 0, и2 =
щ = Ф^ + 0, а -1 < X < 0,
и2 =
б^О, 0 < X < t - а, Н (X + 0, t - а < X < Ь —1,
б^,0, 0 < X < Ь -1, Р( t - X), Ь -1 < X < t - а
и
щ =
Ф(X + 0, а -1 < X < Ь
-1 < X < 0,
е ^+С
и2 =
у^-О
е с,
Р
0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.