УДК 620.179.16
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-АКУСТИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛН ЛЭМБА ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ТОЛЩИНЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕГО СЛОЯ
Д. В. Перов
Рассмотрен вопрос об эффективности возбуждения волн Лэмба при реализации одного из возможных вариантов электромагнитно-акустического (ЭМА) преобразования, особенностью которого является взаимодействие индуцированных в плоскопараллельном слое вихревых токов с неоднородным магнитным полем постоянного тока, также протекающего в этом слое. Получены простые соотношения между коэффициентами ЭМА преобразования в двух предельных случаях: когда толщина электропроводящей части слоя или много больше или много меньше глубины скин-слоя.
В работе [1] был рассмотрен способ электромагнитно-акустического (ЭМА) преобразования, главной отличительной особенностью которого является возбуждение магнитного поля постоянным током, протекающим в проводящей среде. Это дает принципиальную возможность отказаться от громоздких источников внешнего магнитного поля, что позволяет расширить область применения ЭМА преобразования, в том числе и для неразрушающего контроля.
Аналитические выражения для расчета полей упругих смещений и механических напряжений, соответствующих волнам Лэмба, возбуждаемых при помощи предложенного способа ЭМА преобразования, приведенные в [1], получены с использованием тензорной функции Грина для упругого слоя со свободными границами [2]. Такой способ решения позволяет строго решить задачу о возбуждении нормальных волн в плоскопараллельном упругом слое при воздействии пространственно-неоднородных объемных и поверхностных сил любой физической природы.
На основании выполненных расчетов для заданных геометрических, акустических и электромагнитных параметров слоя в работе [1] проведены вычисления коэффициентов ЭМА преобразования для мод волн Лэмба 50 и а0 [3]. Однако подобные численные расчеты сопряжены с использованием чрезвычайно громоздких формул и вычислительных процедур, что затрудняет их применение на практике и требует значительных затрат машинного времени, даже при использовании современных персональных компьютеров.
В данной работе приведен вывод простых формул, связывающих коэффициенты ЭМА преобразования в двух предельных случаях: когда толщина электропроводящей части слоя или много больше или много меньше глубины скин-слоя. Их использование позволяет значительно уменьшить требуемое время вычислений при анализе эффективности возбуждения волн Лэмба для различных значений толщины электропроводящей части слоя и глубины скин-слоя.
Кратко напомним постановку задачи, рассмотренной в [1]. Рассмотрим систему из двух плоскопараллельных слоев. Среду считаем изотропной относительно акустических и электромагнитных параметров. Введем декартову систему координат луг, как это показано на рис. 1 а. Пусть ех, еу, ег — орты данной системы координат. Слои имеют неограниченные размеры по координатам х и у. Полагаем, что оба слоя имеют тождественные акустические параметры: плотность р, скорости распространения продольных и поперечных волн в неограниченной упругой среде — Са и С, соответственно. Затухание акустических волн полагается пренебрежимо малым.
Суммарная толщина системы из двух слоев равна й, а толщина электропроводящей части — 8. В дальнейшем будем называть слоем всю систему, состоящую из двух частей. Над верхней границей слоя (г = <Ц2) на высоте Н располагаются две параллельные полоски шириной а, расстояние между центрами которых равно Ь. По полоскам протекает противоположно направленный электрический ток 1еш, где г — время; со — угловая частота.
Рис. 1. Геометрия задачи: а — система координат и основные геометрические параметры задачи; 6 — расположение ЭМ А преобразователя и мест присоединения проводников постоянного тока к пластине конечных размеров;« — распределение поля постоянного электрического тока в пластине конечных размеров.
Естественно, что на практике слой ограничен в направлениях координатных осей Ох и Оу, то есть представляет собой пластину. Очевидно, что при этом проводники, расположенные над ее поверхностью, также имеют конечные размеры. На рис. 1 б показано расположение ЭМА преоб-
разователя в виде катушки прямоугольного сечения над поверхностью пластины.
Кроме того, здесь черным цветом показаны места присоединения проводников постоянного тока, который условно показан в виде тонкой стрелки, к электропроводящей части пластины. Жирные стрелки на рис. 16 указывают направление распространения акустических волн, генерированных в результате ЭМА преобразования.
Электропроводящая часть слоя также характеризуется электромагнитными параметрами: удельной электропроводностью а и относительной магнитной проницаемостью ц. Считаем, что они постоянны и не зависят от переменного поля.
Через электропроводящую часть слоя в направлении оси Оу протекает постоянный электрический ток, под действием которого в электропроводящей части слоя возникает неоднородное магнитное поле.
На рис. le стрелками показано распределение плотности постоянного электрического тока в пластине конечных размеров при а = 5,97 • 107 См/м и jj, = 1. Длина стрелки пропорциональна величине плотности тока. Замкнутые линии на рисунке — эквипотенциальные линии электрического поля. Прямоугольник в центре рисунка соответствует характерным размерам ЭМА преобразователя. Черным цветом здесь также показаны места присоединения проводников постоянного тока.
Согласно рис. le, если ширину электродов, проводящих постоянный ток, выбрать большой по сравнению с размерами ЭМА преобразователя в направлении распространения волны, то распределение постоянного тока в проводящей среде под преобразователем является практически однородным. В последующих расчетах будем использовать плотность постоянного тока j0 под серединой ЭМА преобразователя.
При взаимодействии неоднородного магнитного поля, наведенного в электропроводящей части слоя, с индуцированными там же вихревыми токами возникает пространственно-неоднородное поле сил Лоренца, которое возбуждает упругие волны в слое. При ц = 1 силы Лоренца будут единственным источником ЭМА преобразования. Если же |i > 1, то возникают и другие объемные и поверхностные силы магнитного происхождения [4], которые, однако, могут быть рассмотрены отдельно от силы Лоренца [4—6].
Таким образом, задача сводится к решению векторного уравнения движения изотропной упругой среды
(kL + 2(iL)graddivU - |i£rotrotU + pco2U = -F, (1)
где XL, (iL — коэффициенты Ламе; U = U(x, z) = Uxex + Uzez — вектор смещения частиц слоя; F = F(x, z) = Fxex + F,ez — вектор плотности объемных сил.
Решения уравнения (1) при заданных граничных условиях вида: t.vzU//2 = iJz^d/2 = о, lj2=da = Xj2^¡n = 0, где l¡j — компоненты тензора упругих напряжений имеют, согласно использованным в работе [1] обозначениям, следующий вид:
UXs(x, z) = AXs(z)Qs(x), (2)
U¡s(x,z)=A2pWx), (3)
UXa(x,z) = AXama(x), (4)
U2a(x, z) = 4a(z)Qa(x), (5)
где AXs(z), A, (z), AXa(z), Azp) — множители, зависящие только от акусти-
ческих параметров слоя, индексы s и а здесь и далее относятся соответственно к симметричным и антисимметричным волнам Лэмба;
Пф(х) = е'к-«х jYs/a(Ç) e~ik-"-И"" * JУф(Ç) (6)
X
d/2
Ysla(0 = (7)
<4 2-8
Ç и Ç — переменные интегрирования по координатам х и z; индексы типа s/a здесь и далее обозначают, что в этих формулах необходимо одновременно использовать или левые или правые индексы, относящиеся к соответствующим членам выражения;
0.Д) = 2к1г kd> ch |] sh [kd> - [к] + ^ ) ch [kds sh (kti Ç); (8)
е.©=(ki+< )ch (к f)ch к - ch k f)сь к ч- (9)
Здесь kds/a = д/ у] - k)¡a; к,ф = ^ у,2 - иу„ = со/С„; у, = о/С,; Cd =
= л/ (V + 2(J.L)/p; с, = л/м-ь/р; л = СО/СрЛ, где СрА — фазовая скорость
некоторой моды волн Лэмба.
Объемная плотность z-компоненты силы Лоренца Fz определяется соотношением [1]
Fz = Fz(x, z) = р [z -1 + (к, г) sin sin j ^eikxdk, (10)
где
_ («q + \xk)e u > + (д-\хк)еУг '
_ 2сйЦ2Цо°(/о ГГт.—•-
р=---—-; <7 = д/ а: +грр.0стсй —комплексное волновое число.
ка
Используя выражения (10)и(11)и интегрируя по переменной преобразуем формулу (7) к виду:
¥ф(0 = Р/**(*)» ш^зш^^Лл, (12)
где
<//2-5 ^
Рассмотрим выражение для комплексного волнового числа Его можно переписать, используя известное соотношение для глубины скин-
слоя [7] 8Й =
? 2/ —£— в виде: д = к2 +—. Поскольку пространствен-
"V соо|а.|10 V 5.5*
ный период ЭМА преобразователя Ь выбирается равным половине длины той волны Лэмба, которую необходимо возбудить [1, 8] (Ь = Л/2 = = пСрН/(й), то можно приближенно считать, что максимальное значение волнового числа к равно к = 2л/Л = со¡СрН.
Далее будем полагать, что для любого к выполняется условие: Л » Ъ5к (это равносильно кЪ$к « 1 или 1<?1 » к) и, следовательно,
1<?1= Л/ ®О|1|10
_ л/~2
(14)
то есть комплексное волновое число зависит только от частоты и электродинамических параметров электропроводящей части слоя.
В качестве иллюстрации к выражению (14) рассмотрим соотношения между длиной волны Лэмба и скин-глубиной для слоя с такими же акустическими параметрами, какие были использованы при выполнении численных расчетов в [1]: Са = 7,96 км/с; С, = 3,92 км/с; р = 2,2 • 103 кг/м3. Эти параметры соответствуют ситталу. Толщина слоя полагается равной 1 мм.
10
1
2
3
4
5
6
7 /, МГц
Рис. 2. Зависимости длины волны А для мод волн Лэмба и глубины скин-слоя 6,* от частоты:
1 — длина волны моды л0; 2 — длина волны моды а„; 3 — глубина скин-слоя. Масштаб по оси ординат логарифмический.
На рис. 2 представлены графики, показывающие зависимости значений длин волн Л от частоты для нулевой симметричной 50 и нулевой антисимметричной а0 мод волн Лэмба [3]. Для сравнения на том же рисунке показана зависимость глубины скин-слоя от частоты, при вычислении которой электродинамические параметры электропроводящей части слоя полагались равными: а = 5,97 ■ 107 См/м; р. = 1. Согласно рис. 2, в диапазоне частот от 1 до 8 МГц, соотношение А » 8Й безусловно выполняется. Следовательно, для использованных расчетных параметров формула (14) верна.
Поскольку очевидно, что к^ ~ к\ к, ~ к, то справедливы и такие соотношен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.