МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009
УДК 531.36
© 2009 г. Б.Н. СОКОЛОВ
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Одним из эвристических подходов к учету геометрических ограничений на управляющее воздействие в задачах стабилизации является использование управления типа срезки линейного по фазовым переменным управляющего сигнала по величине ограничений. При этом исходно линейная система с управлением типа срезки становится существенно нелинейной, что сильно затрудняет ее исследование. Во многих работах методом фазовой плоскости анализировалось управление типа сигнатуры линейного по фазовым переменным управляющего сигнала. В [1, 2] исследовалась асимптотическая устойчивость линейных динамических систем с нелинейными управляющими воздействиями специального вида, отличного от рассмотренного ниже. Задача стабилизации механической системы геометрически ограниченным управлением рассмотрена в [3]. Асимптотическая устойчивость произвольной линейной системы с управлением типа срезки исследовалась в [4]. Были получены оценки области притяжения тривиального решения системы. Приведены необходимые и достаточные условия, позволяющие сделать размеры этой области сколь угодно большими. В настоящей работе решена задача обеспечения асимптотической устойчивости механической системы с произвольным числом степеней свободы и покомпонентными геометрическими ограничениями на управление.
Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, геометрически ограниченное управление.
Рассматривается управляемая механическая система с п степенями свободы: М( = и(() (1)
Вектор-функции q, и е Еп; М — постоянная положительно-определенная симметричная матрица масс, компоненты позиционного управления и^, 1) = и* (1) определены формулой
и* (1 i) = -( ки( + к2111) (2)
где ки, к2! — положительные коэффициенты обратной связи. Система (1) с управлением (2) асимптотически устойчива в целом. Допустим, что компоненты и управления и^, () (1) стеснены дополнительно геометрическими ограничениями
\Щ(1ь ¿1 )|< и■, I = 1, 2,..., п (3)
Рассмотрим управление, являющееся срезкой управляющего воздействия (2) по величине геометрических ограничений (3):
, . , [u*(Qi, qt). |"*(QI, qtu ° ut(qt, It) = i 0 0 (4)
I u° signu*(q t, qt), |u* (q, Qt)| > u°
0
Для упрощения записи введем следующие, штрихованные, переменные: u, = ut ut,
qt = u0 q', M = V°MV°, ku = u° k'1t, k2i = u° k'2i, u* = ut u*', где V° диагональная мат-
0
рица с элементами ut на главной диагонали. В новых, штрихованных переменных (штрихи далее опускаем) уравнения (1) и (2) сохраняют свой вид, а соотношения (3), (4) записываются в виде
\ut(q, qt)| < 1 (5)
, ., [ u*(qt, qд, lu*(qt, qi)\<1 „
u(q I, qt) = i (6)
[ signu*(qh qt), |u*(qh q) > 1
Теорема 1. Динамическая система (1) с управлением (6) асимптотически устойчива в целом.
Рассмотрим выпуклую положительную функцию с изолированной точкой минимума S(0, 0) = 0 в начале координат
S(q, q) = 1/2(Mq, q) + £S(q ), t = 1, 2, ... л
r 2 t 1 (7)
) _ [knq/2, |q t| <ku St( qt) = i -1 -1 11 qt| - k-,-/2, |qt| > k-1
Лемма 1. Производная функции (7) в силу системы (1) при управлении (6) не превосходит нуля
S(qt, qd = £ S*(q ,, qi)< 0, t = 1, 2, ...л (8)
ГЯ,(ы,(q, ¿¡¡) + к ы), Ы < к, 1 £*(ы, Яд = ГЛ 11 '' 111> 1,1 1( 1 (9)
Для обоснования оценки (8) рассмотрим следующие области на фазовой плоскости
Р = {(Яд : < -к-1}, Р = {(9, Яд : 19, < к-1}, Р = {(Яд : > к-1} 01 = {(Я, я?,) : ы* > 1}, 02 = {(Яь Яд : И < 1}, 03 = {(Я,, Яд : ы* < 1}
где щ* определено соотношением (2). Из соотношений (6), (9) вытекают следующие значения функций S* (9) в каждой из нижеперечисленных областей Dj :
S* (q i, q) = 0 при (q, q(.) e D\ = (p n Ql) u (p n Q3), так как и,- = - sign q
в D[;
-2 |qf| < S* (qf, qf) < 0 при (qf, qf) e D'2 = (p u p) n Q2, так как в D2 выполнено |щ| < 1, sign qi = - sign qi;
S* (q, ¿if) = -21 < 0 при (q, q;.) e D3 = (p n Ql) u (P n Q3),
так как в D'3 выполнено ul = sign ql = - sign qf;
S* (q, qi) = -k2iq2 < о при (q, qt) e D'4 = p n Q2, так как и, = u* в D'4;
S*(q, qf) = - \q\ + kyqqf < 0 при (q, qf) e D^ = p n (Ql u Q3), так как щ =
= - sign q f в d5 .
Области Dj , i = 1, 2, ..., и, j = 1, 2, ..., 5, покрывают целиком все фазовое пространство, поэтому в каждой его точке выполнено неравенство (8).
В силу невозрастания функции S(q(t), q (t)) (7) существует ее предел при t ^ да.
Лемма 2. Пусть при некотором начальном состоянии (q(t0), q (t0)) системы (1) и управлении (6) выполнено
lim S(q, q) = L > 0 (11)
t ^ <»
Тогда найдутся расходящаяся последовательность моментов t,, i = 1, 2, ... и константа s > 0 такие, что
S(q(tf), q(tf))< -6 (12)
Рассуждая от противного, допустим, что лемма 2 неверна и
lim S(q(t), q(t)) = 0 (13)
t ^
22
при условии (11). Из соотношения (8) и оценок (Mq, q) < m1 q , Si(qi) < k1iqi /2 следует, что при всех t > t0 выполнено
n
1/2£(mq2(t) + ki(q(2(t)) > S(q(t), q(t)) > L (14)
1
где ml — максимальное собственное число матрицы M; Si(qi) определено формулой (7). Рассмотрим множество W = {(qf, qt) : qt = 0} и Dl . Из формул (8)—(10) следует, что
Б(Я, Я) = 0 тогда и только тогда, когда (я, ¿¡¡) е W при всех i. В силу ограниченности траекторий, неположительности и непрерывной зависимости Б*(я, ¿¡¡) (9) от фазовых координат условие Б(?) ^ 0 означает, что для всякого сколь угодно малого
г ^ да
е > 0 найдется такой момент t1, что при всех t > t1 > t0 и всех i выполнено
(я,(г), ?,(г)) е К (15)
К — Е-окрестность множества В силу неравенства (8) при всех t > ^ имеют ме-
где ,, Е сто соотношения
Б(г0) > Б(г) > 1/2(мя(г), я(г)) > 1/2т2я2(г) Здесь m2 — минимальное собственное число матрицы М.
22
Обозначим через ^^ множество индексов i таких, что т1?1 (г1) + к1 Ы (г1) > 2L/n. Из (14) следует, что Ф 0. Покажем, что при условии (16) найдется такой момент t > t1, при котором включение (15) будет нарушено. Проинтегрируем соотношение (1):
(16)
Я (г) (г1) = м 1|ы(х) йт
Отсюда получаем оценку ( г ^ ^
Я(г)(г1), |ы(т)йт = М 1 |ы(т)йт, |ы(т)йт > т- 1| |ы(т)йт
2
Или
9(г) + |я(¿1 )| > 9(г) - Я(¿1 )| > (Я(г) - Я(), е) > т-1
|ы(т)йт
> т1
2
£ I |ы;(т)йт
, , е 1( 11)
где компоненты ei единичного вектора e равны
е I = |ы;(т) йт /
|ы(т)йт
, = 1, 2, ... л
(17)
В области Е управление | « 1, а в области ЖЕ\Д1Е в силу неравенства Ы < б имеет место оценка |ui(t)| > k1¡ |qi | — k2iЕ. Следовательно, существуют такие два числа c > 0 и V > 0, что при достаточно малых е и любом i е Д^(е)) управление ui(t) =
= —(k1iqi + к21Я1) в области К на отрезке ^(е) < t < ^(е) + At, At = cЕ-1 будет удовле-
творять неравенству \u¡(t)\ > v. Поскольку I(t¡) Ф 0 при любом tb правая часть (17) на отрезке t1 < t < t1 + At ограничена снизу функцией m-1 v (t — t1). Из (17) получаем, что
\ q (t1(s) + At)\ + \ q (t1(s))\ > m- 1vc6 1 для любого достаточно малого s. То есть траектория не ограничена в фазовом пространстве. Условие (16) нарушено быть не может. Следовательно, найдутся такой момент t и индекс k, что точка (qk(t), qk (t)) покинет
область Wl. Это противоречит сделанному ранее предположению (13). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть в точке t¡ выполнено S(q(t¡), q(t¡)) < —s. Тогда в окрестности точки t¡ функция S(q(t¡), q(t¡)) допускает оценку
S(q(t), q(t)) < - 6 + C|t- til, С = maxV íf^, + ^q) < да (18)
q, q, Vd q¡ дq ;
Оценка следует из ограниченности условием S(q(t), q (t)) < S(q(t0), q (t0)) фазовых координат q, q и ограниченности q в силу уравнений движения при управлении (6).
Доказательство теоремы 1. Допустим, что теорема 1 неверна и при некотором начальном условии имеет место соотношение (11). Тогда в силу лемм 2 и 3 найдется расходящаяся последовательность моментов t¡ таких, что в окрестности каждого момента t¡ верна оценка (18). Из (18) имеем после интегрирования S(t¡ — 8) — S(t¡ + 8) > s2C-1, где 8 = sC-1. Из этого соотношения совместно с неравенством (8) следует S(t¡) ^ —да при i ^ да, что противоречит условию S(q, q) > 0 (7). Полученное противоречие доказывает теорему 1.
Предположим теперь, что в законе формирования управления (2) соответствующие коэффициенты обратной связи равны между собой: k1i = k:, k2i = k2, i = 1, 2, ..., n. Обозначим v¡ = kxq¡ + k2q¡. Рассмотрим управление
Щ(q¡, q,) = -fi(Vi), i = 1, 2, ..., n (19)
гдеf(v¡), i = 1, 2, ..., n — произвольная гладкая нечетная функция v¡ такая, что
fi(Vi)Vi > 0, fi(Vi0 ^ 0, f'(0)> 0 (20)
Теорема 2. Динамическая система (1) с управлением (19) асимптотически устойчива в целом.
Для доказательства рассмотрим функцию
n
R(q, q) = l1 (Mq, q)/2 + £ (21)
i = 1
г
где ф,-(г) = jf(с;)d;. Согласно свойствам (20) ф,-(г) — четная, монотонно возрастающая
0
в интервале z > 0 положительно определенная функция с единственной точкой минимума ф,(0) = 0 в начале координат. Полная производная R(q, q) в силу системы (1) с
управлением (19) равна R(q, q) = —k2(M f, f) и R(q, q) < 0 при условииf Ф 0. Отсюда следует, что R(q, q) ^ 0 только если f(vt) ^ 0, i = 1, 2, ..., и, что эквивалентно
t ^ да t ^ да
условию k1qi + k2qt ^ 0, i = 1, 2, ..., и. Разлагая/¡(v,) в окрестности нуля в ряд, получаем (Mq)t = -f'(0)(k1 qt + k2q;), t = 1, 2, .л
Эта система асимптотически устойчива в целом, поэтому асимптотически устойчива в целом и система (1) с управлением (19). Теорема 2 доказана.
Автор благодарит В.Ф. Иванову за полезные обсуждения результатов работы и высказанные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 216 с.
2. ЛётовА.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. 483 с.
3. Пятницкий Е.С., Дунская Н.В. Стабилизация механических и электромеханических систем // АиТ. 1988. № 12. С. 40-51.
4. Соколов Б.Н. Стабилизация динамических систем при геометрических ограничениях на управление // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 48-53.
Москва Поступила в редакцию 24.05.2007
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.