Естественные науки
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, . . комплексный . . и . . ^ХЧКШОШЛЬЦЫ.У. . анализ
Султыгов М.Д., кандидат физико-математических наук, профессор Ингушского государственного университета
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕЙЛОРА
ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ДВУХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Устанавливаются точные оценки сумм, содержащих коэффициенты Тейлора для некоторых классов звездно-выпуклых и звездно-спиралеобразных функций в области D с C2. Выделены специальные классы областей D, для которых можно эффективно вычислить dmn (D).
Ключевые слова: двойной степенной ряд, класс звездно-выпуклых функций, класс звездно-спиралеобразных функций, параметрическое представление области, коэффициенты Тейлора.
ON THE EFFICIENCY ESTIMATES OF THE TAYLOR COEFFICIENTS FOR CLASSES OF FUNCTIONS OF TWO COMPLEX VARIABLES
Are accurate estimates of the amounts that contains the coefficients of the Taylor for some classes of star-convex and star-spiral functions in a domain D с C2. Special classes D, which can efficiently calculate the d (D ).
mn V, /
Key words: double power series, the class of star-convex functions, the class of star-spiral functions, parametric representation of the sphere, the coefficients of the Taylor.
Всякая функция f (w, z), голоморфная в области D с C2, может быть представлена в этой области как в виде двойного степенного ряда
f (w, z) = Y°° amnwmzn
J V ' / L-lm,n=0 mn
так и в виде диагонального ряда
œ m
f (w, z) = £(£wm-V )
m=0 n=0
Определение 1. [3] Классом Шура SD назовем множество всех голоморфных в области D с C2 функций f (w, z) таких, что \f(w, z)| < 1, a Sd (0) = {f (w, z)s Sd : f ( 0) = о} с Sd .
Определение 2. Классом МЭ (А,В),1 < В < А < 1 [3,6] назовем множество всех голоморфных в области Э с С2 функций /("н, г) (классом звездно-выпукло-однолистных) представимых рядом
/ (н, г ) = 1+ Х
т+п=1 тп
(1)
и удовлетворяющих условию:
(г) = 1 + А0( н, г) / (н, г ) 1 + В0( н, г )
, 0(V, г) е (0)
(2)
Теорема 1. [7] Если функция / (н, г) = XЩ^Ет=0 """г") е М (А, В)
то имеют место оценки:
Лт (Э) = 8ПР X
т I I2 I |2(ш-п) | |2п Т2
а н
п=0 ш-п,п | | I
|г|2п < 4 (А, В),
(3)
Вт (Э) = ъыр
X
а нт-пгп
п=0 т-п ,п
< А» (А, В)
(4)
для всех ("н, г) е Э с С2, где
К (А, В) =
А - В, т > 0;
■1Пт=+2[А-( - 1)В], А -тВ > т -1,т > 2;
т!
1 1
А - В
А - 2В < 1, т > 2;
т
т
(т - 2 )!
П т2 [А-(( - 1)В ] , А - тВ < т -1, т = 3.
(5)
Обычно в виде следствий из оценок данных сумм получают оценки коэффициентов Тейлора |атп (/ : Э)| для областей Э.
Следствие 1. Если / (н, г) = XШ п=0 а„1пн'пгп ^ МЭ (А, В), то для |атп (/ : Э)| имеют место оценки:
а„
А - В
(/ : О)'
п ш:;+'[ а-и - 1)в]
т > 0;
(т + п)тп (/ : Э)
А - В
(т + п)^тп (/ : Э)
П П А-(/ - 1)В]
А -(т + п)В > т + п -1, т + п > 2; А - 2В < 1, т + п < 2;
(6)
(т + п)(т + п-2)тп (/ : Э)
,А -(т + п)< т + п -1,т + п < 3.
В оценках коэффициентов Тейлора (6) входит величина ётп (Э) = Бир(|н\Ш \г\")длявсех (н>, г) е Э с С2. Для конкретного вида области Э важно уметь вычислить ётп (Э). С целью получения эффективных оценок коэффициентов Тейлора возникает вопрос о выделении специальных классов областей Э, для которых можно эффективно вычислить ёшп (Э) . Пусть Д -та область Э, граница которой дважды непрерывно
дифференцируема и аналитически выпукла извне. Как доказал А.А.Темляков [1], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде:
н
= г (г), г = г2 (г), 0< г< 1, где г (0) = 0, гх (1) < ю, г1(г)> 0,
(0 < г < 1) и г2 (г) = Я2ехр
Т -ё1п г (г)
-г и '
, г2 (1) = 0. Такое параметрическое представ-
ление области Д позволяет эффективно вычислить ёшп (Д ) . Действительно, в этом случае, как легко установить, при ш + п > 0
ётп (А )= г1Ш
ш
V
ш + п
' ш
к ш + п_
считая 0 = 1.
Заметим так же, что если область Э - бицилиндр ||н\ < Я1,|г| < Щ} , то очевидно, что ёшп (Э) = Щ • Щ. Итак, в случае тех областей Э, границы которых дважды непрерывно
дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также в случае бицилиндра оценки коэффициентов Тейлора (6) являются эффективными.
Следствие 2. Для функций / ( и \ = XI, „-о а«>"Ц!"'2" е ^и (х г х)' 1+х
0 <х< 1, N =
1-х
имеют место оценки тейлоровских коэффициентов:
\а„.
(В )|
< \
т + п +1
ё (В)
тп \ /
\т + п| +1
т + п > 1,а = 1
ётп (В) '
|т + п| +1
оГ\\т + п\ = 1,V-1,0 <о< 1
(7)
ётп (I: В)
о
V(V +1),|т + Л > V-1,0 < о < 1.
Замечание. Оценки коэффициентов Тейлора в (7) более точны, чем оценки коэффициентов Тейлора, полученных ранее при о = 1.
Определение 3. Будем говорить, что голоморфная в В функция g(w, z), g(0) = 1 принадлежит классу, ЫВ(А, В), если существует функция /(z) класса МВ(А, В) такая, что в В:
Ке ^ > о
I ( z )
(8)
Иногда будем называть функцию gz) е ЫВ (А, В) «близкой» к соответствующей функции I (м>, z) е МВ (А, В).
Теорема 2. ЕслиI (w, z) = 1 + ^^ amnwmzn е ЫВ (А, В) то при т + п е 2+
*- (В )<(тттт)Г П;:'[А- >)В ]+^ I1+£ И» к^П'А-((- Ц.
Следствие 3. Для функций I (w, z) = ^ сто оценки коэффициентов Тейлора:
а wmzn е (А, В) т + п е 2+ имеют мет п=0 тп В V ' / +
а„
(I: В)
п|+1
<
(( + п + О) (В)
П [А Ч/- 1)В]
1=2
(I
т + п\ +
\""п\ 1 1 I
о*. (В )1'+1 и^г П[ А-(( - 1)В]!
Исследуем теперь класс голоморфных функций М8В (1, А, о, ст) [4], о е 2+, | А|<^/2 ,
0< ст < 1 (класс звездно-спиралеобразных функций) который при ст = 1 совпадает с классом функций, удовлетворяющих условию
> оео^'А ,
I(z)
то есть М$В (1, А, о, ст) = М$В (1, А, о) [8].
Теорема 3. [5] Функция / (1, г) голоморфная в области Б пространства С2 будет принадлежать классу М8Б (1, Л, а, с) тогда и только тогда, когда имеет место равенство
еЛ
V(г) _[1 + (2а-1)И(г)]+ м (9)
I (г ) 1 + И( г )
для некоторой голоморфной в Б функции И (г), И (0) = 0, | И(г)| < с и для всех точек Б . Введем следующее обозначение:
т+п-
р 2(р-а)е гЯео$Л+ У
»т+п-р = П —-^--(10)
У=0 У + 1
Теорема 4. Если функция I (11, г) = Е ^=0(Е Г=01 "г") е (1, Л, а, с) то при т+п>р
Ат+п (Б) п-р (11)
В + (Б) < и +
т+п V / ' т+п-р
Следствие 4. Если функция
1 (w, г) = ЕI п=0 атг1тгп еМб (р Л а) , то при т+п>р т + п ^
тп
1а_ (I : Б))<
^т+п-р
а (б)
тп \ /
Следствие 5. Если функция
1 (^ г) = Е п=0 атп1тгп еМБ (1, Л, а), то при т+п>1
тп
1а_ (I: Б)|<
^т+п-1
а (б)
тп \ '
Следствие 6. При да+и>1 для I (1, г) = Е1п-0 атп1тгп еМ£Б (1, Л, 0) коэффициенты Тейлора имеют оценку
тп
(I:Б )< Т7БТ П
/ т+п-1
|а, .............."
2е г'Лсо5 Л + ]
атп (бу=0 у -1
Следствие 7. Для функций I (1, г) = Етп=0 атп1тгп еМ£Б (1,0, а) справедливы неравенства
\а
'mn
П7Т0 "la), m + n > 0
При р = 1, о = А = 0 последняя оценка тейлоровских коэффициентов ранее получена в
1. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных //Доклады академии наук СССР.-1958. - Т. - 120. - №5.
2. Баврин И.И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций. - М. - 1976. - 99 с.
3. Goel R.M., Mehrok B.S. On the coefficients of a sub-class of starlike functions: // Indian J. pure appl. Math., vol. 12(5), 1981, pp. 634-647.
4. Patil D.A. On coefficient bounds of p-valent X- spiral functions of order a : // Indian J. pure appl., Math., vol. 10, No 7, 1979, pp. 842-853
5. Michiwaki Y. Note on Some coefficients in a starlike functions two complex variables: // Res.Rep.Nagaoka Tech.Coll. 1 No 2, 1963, pp. 151-153.
6. Султыгов М.Д. Об одном подклассе класса MD функций двух комплексных переменных. Деп. в ВИНИТИ 24.02.82. № 838 -82,14 стр.
7. Султыгов М.Д. Звездно-выпуклые функции многих комплексных переменных в пространстве Рейнхардта. // Сб. ИнгГУ. - Нальчик.-2004. - №2, - С. 333 - 362.
8. Султыгов М.Д. Классы спиралеобразных функций двух комплексных переменных. // Сб. научных трудов ИнгГУ. - Магас. - 2002. - № 1. - С.486 - 501.
9. Султыгов М.Д. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных. // III МНПК «Инфотехнологии в гуманитарном образовании». -Пятигорск. - 2010. - ПГЛУ. -
10. Султыгов М.Д. Об экстремальных функциях для некоторых классов голоморфных функций в пространстве С2. // Сб. научных трудов ИнгГУ.-№11.- Ростов-на-Дону.- «Южный изд. дом». - 2014, - С.332-343.
[2,5].
Литература
С.66-78.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.