Автоматика и телемеханика, № 6, 2012
Стохастические системы, системы массового обслуживания
© 2012 г. Ю.В. ЦЫГАНОВА, канд. физ.-мат. наук (Ульяновский государственный университет), М.В. КУЛИКОВА, канд. физ.-мат. наук (Технический университет г. Лиссабона, Португалия)
ОБ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ1
Построен численно устойчивый по отношению к ошибкам машинного округления алгоритм адаптивной калмановской фильтрации с целью решения задачи параметрической идентификации линейных стационарных стохастических дискретных систем. Решение поставленной задачи осуществляется в пространстве состояний. Предложенный алгоритм сформулирован в терминах ортогонального квадратно-корневого ковариационного фильтра, что позволяет избежать применения стандартной реализации фильтра Калмана.
1. Введение
Рассматривается задача построения численно устойчивых методов адаптивной калмановской фильтрации с целью решения задачи параметрической идентификации линейных стационарных стохастических систем в дискретном времени. Проблема идентификации математических моделей является одной из основных проблем теории и практики автоматического управления. При практической реализации часто используются градиентные методы оптимизации или методы ньютоновского типа, которые требуют, в свою очередь, вычисления градиентов функционалов качества идентификации и, возможно, элементов информационной матрицы Фишера [1-4 и др.]. Нахождение указанных величин и разработка численно устойчивых методов их вычисления для практического использования представляет определённую проблему и заслуживает отдельного рассмотрения.
Методы вычисления, предложенные ранее, основаны на применении стандартной реализации фильтра Калмана (КФ), которая не устойчива по отношению к ошибкам округления (см., например, обсуждение в [5-7] и многие
1 Второй автор благодарит португальский фонд науки и технологии (Fundagao para a Ciencia e a Tecnologia) при софинансировании европейского фонда FEDER за оказанную финансовую поддержку (грант No. SFRH/BPD/64397/2009).
другие). Влияние ошибок округления и их накопление настолько велико, что зачастую приводит к неправдоподобным оценкам и тем самым ставит под сомнение любые полученные результаты, сводя на нет всю предыдущую и последующую работу экспериментатора.
Отметим, что уже с момента открытия техники калмановской фильтрации в начале 1960-х гг. развитие численно устойчивых реализаций является одним из важнейших направлений в данной области исследований. Основная проблема стандартной реализации КФ заключается в возможной потере (из-за ошибок округления) ковариационной матрицей ошибки оценивания Рг своего специального вида: симметричности и положительной определённости. Последнее свойство наиболее сложно проверить на практике. Чтобы избежать подобного недостатка, вскоре был разработан класс квадратно-корневых методов фильтрации, который основан на обновлении разностного уравнения Риккати в терминах треугольных матриц (полученных из матрицы ковариа-ции с помощью разложения Холецкого, например, Рг = , где - нижняя треугольная матрица). До середины 1970-х гг. было разработано достаточно большое количество алгоритмов этого типа; см. [8-10] и многие другие. Было показано, что квадратно-корневые алгоритмы КФ позволяют обрабатывать данные с двойной точностью, однако их вычислительная сложность чуть выше, чем у стандартной реализации фильтра. Из класса квадратно-корневых методов следует также выделить иО-фильтр Бирмана, который является их модификацией [11]. Он предполагает разложение матрицы ковариации в виде Рг = итОгиг, т.е. на нижнюю треугольную, диагональную и верхнюю треугольную. Класс иО-реализаций Бирмана обеспечивает такую же точность вычислений, как и все квадратно-корневые методы, но при этом позволяет сократить затраты машинного времени и избавляет от необходимости использовать операцию извлечения квадратного корня.
Другим важным этапом в развитии эффективных алгоритмов КФ явилась разработка быстрых алгоритмов фильтрации Чандрасекара2. Алгоритмы данного типа были направлены на решение ещё одной важной задачи - сокращение вычислительной сложности КФ. Хорошо известно, что обновление матрицы ковариации Рг в соответствии с разностным уравнением Риккати требует 0(п3) операций, где п - размерность вектора состояния системы [7]. Это условие верно как для стационарных систем, так и нестационарных. Однако исследования показали, что в случае стационарных систем (и в ряде других важных случаев) сложность алгоритма может быть существенно сокращена, а именно, до 0(п2а), где а - ранг матрицы 5Р0 = Р\ — Р0; см. подробно в [12-15]. Таким образом, суть быстрых алгоритмов фильтрации заключается в обновлении на каждом шаге рекурсии матриц 5Рг = Рг+\ — Рг вместо Рг. Для стационарных систем ранг 5Рг зачастую существенно меньше, чем ранг полной матрицы ковариации Рг. Подобная переформулировка уже не требует обновления разностного уравнения Риккати и основана на обновлении уравнения Чандрасекара, что и дало название данному классу алгоритмов.
2 От англ.: fast Chandrasekhar-type algorithms. Полное название данных методов Chandrasekhar-Kailath-Morf-Sidhu алгоритмы [7].
2* 35
В настоящей работе будут рассмотрены самые современные и перспективные реализации дискретного КФ, которые являются наиболее предпочтительными к использованию на практике. Это класс ортогональных квадратно-корневых алгоритмов фильтрации (ОККФ-алгоритмы)3. Суть этих методов заключается в формировании блочной матрицы A, содержащей в себе всю необходимую для данного этапа фильтрации информацию, и последующем её приведении к требуемому нижнему или верхнему треугольному виду, т.е. весь алгоритм фильтрации записывается одним уравнением вида: QA = = R (см., например, [16]). Подобная переформулировка даёт ряд преимуществ. Во-первых, как и все квадратно-корневые методы, ОККФ-алгоритмы позволяют обрабатывать данные с двойной точностью. Во-вторых, дополнительно используют численно устойчивые ортогональные преобразования на каждом шаге рекурсии. В-третьих, использование ортогональных преобразований также позволяет гарантировать сохранение специального верхнего/нижнего треугольного вида матриц, являющихся квадратными корнями St матриц ковариации Pt. Стандартные квадратно-корневые алгоритмы не обладают этим свойством. В-четвертых, обобщенные ОККФ-алгоритмы позволяют избежать ресурсоемких и менее устойчивых к ошибкам округления операций обращения матриц, которые неизменно присутствуют в стандартной реализации КФ. В теории калмановской фильтрации подобный эффект достигается с помощью дополнительной модификации стандартного КФ, позволяющего поэлементную обработку вектора наблюдений. Тот же принцип рекуррентного обращения матриц используется в алгоритмах для решения линейных задач методом наименьших квадратов [17]. И наконец, необходимо отметить, что на современном этапе развития предпочтение отдается алгоритмам, ориентированным на параллельные вычисления. ОККФ-алгоритмы относятся к этому типу в силу своей простой и компактной записи этапов фильтрации; см., например, [18] и др. В своей книге Т. Кайлат и соавторы пишут [7, с. 428]:
«Подобные ортогональные реализации фильтра часто намного проще описать и реализовать (как на программном, так и на физическом уровне), чем систему явных уравнений (КФ). Эти реализации становятся основными методами во многих приложениях»4.
В настоящее время интенсивно разрабатываются методы решения задачи H^-оценивания. Стоит отметить, что для построения алгоритмов H^-фильтрации отбираются самые перспективные идеи, разработанные ранее для реализации дискретного КФ, т.е. для решения задачи H2-оценивания. Современные H^-алгоритмы основаны на синтезе двух основных направлений: класса ОККФ алгоритмов, рассматриваемых в данной работе, и класса быстрых КФ алгоритмов. Таким образом, в них комбинируются [19]: 1) устойчивость по отношению к ошибкам округления и удобство записи алгоритма, в том числе ориентированность на параллельные вычисления, которые присущи всем ОККФ методам, и 2) существенное сокращение вычислительной сложности алгоритма, которая характерна для быстрых реализаций КФ.
3 От англ.: array square-root algorithms for Kalman filtering.
4 Перевод авторов.
Вместе с тем в отечественной научной литературе эти современные направления освещены не достаточно широко.
Целью настоящей работы является построение численно устойчивых (по отношению к ошибкам округления) алгоритмов для вычисления градиентов функционалов качества идентификации и элементов информационной матрицы Фишера. Задачу параметрической идентификации системы будем решать методами максимума правдоподобия и наименьших квадратов. Решение осуществляется в терминах ортогонального квадратно-корневого ковариационного фильтра. В данной работе предполагается, что неизвестные системные параметры, подлежащие оцениванию, могут входить в любые матрицы-параметры математической модели и начальные условия в различных комбинациях. Следует отметить, что здесь не решается близкая задача - неробаст-ность КФ к малым ошибкам в задании параметров и их влияние на качество полученных оценок; см., например, [20]. Эта проблема остаётся актуальной и требует отдельного глубокого изучения.
2. Постановка задачи
Рассмотрим источник данных в виде стохастической линейной дискретной системы
(1) хт = Ф(в)хг + Ф(в)и + Г(в)тг,
(2) ъ+1 = И (в)х+ + ь+г, I = 0,...,Ы — I,
где хг - п-мерный вектор состояния системы, иг - детерминированный г-мер-ный вектор управления, - т-мерный вектор измерения, {то,тг,...} и {ь1 ,ь2,...} - ^-мерная и т-мерная последовательности нормально распределённых случайных векторов с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационными матрицами Q(в) ^ 0 и Я(в) > 0 соответственно. При этом выполняется следующее условие:
(3)
Е
■к Ьк
[
т „т
Q(в) 0 0 Е(в)
5кз
где 5к] - символ Кронекера.
Последовательности также не зависят от случайного начального со-
стояния системы хо с математическим ожиданием Хо(в) и ковариационной матрицей Ро(в) > 0. Предположим, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.