ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 45-49
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 517.978.4
ОБ "ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ" ДВУХ ЗАДАЧ УКЛОНЕНИЯ СО МНОГИМИ УБЕГАЮЩИМИ* © 2014 г. Н. Н. Петров, К. А. Щелчков
Ижевск, Удмуртский государственный ун-т Поступила в редакцию 19.02.14 г., после доработки 11.07.14 г.
Рассматривается задача простого преследования с участием группы преследователей и группы убегающих при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью всех убегающих, так и участники, максимальные скорости которых строго меньше максимальной скорости убегающих. Цель группы преследователей состоит в том, чтобы "переловить" всех убегающих. Цель группы убегающих — помешать этому, т.е. предоставить возможность по крайней мере одному из убегающих уклониться от встречи. Показано, что если в игре, в которой все участники обладают равными возможностями, происходит уклонение от встречи хотя бы одного убегающего на бесконечном промежутке времени, то добавление любого числа преследователей с меньшими возможностями приводит к тому, что хотя бы один из убегающих уклонится от встречи на любом конечном промежутке времени.
БО1: 10.7868/80002338814060092
Введение. Естественным обобщением игр преследования—убегания двух лиц [1—6] являются задачи конфликтного взаимодействия группы преследователей с одним или несколькими убегающими [7—10]. Эти игры интересны с теоретической точки зрения, так как не могут быть решены при помощи теории игр для двух лиц. Одна из причин этого состоит в том, что объединение множеств достижимости всех преследователей и объединение целевых множеств представляют собой множества, не являющиеся выпуклыми и, более того, не являющиеся связными. В [11] доказана возможность уклонения одного убегающего от любого числа преследователей при условии, что все участники обладают простым движением и максимальная по норме скорость убегающего больше максимальной по норме скорости любого преследователя. Обобщением данной статьи на достаточно широкий класс задач является работа [12]. В [13] получены достаточные условия разрешимости задачи уклонения группы убегающих от группы преследователей при условии, что все участники обладают простым движением с равными максимальными по норме скоростями. Обобщению результатов данной работы на линейные стационарные и линейные нестационарные дифференциальные игры с равными возможностями всех участников посвящены работы [14, 15]. Задача уклонения от группы преследователей в различных других постановках рассматривалась в [16—19].
Данная статья посвящена конфликтному взаимодействию группы преследователей и группы убегающих при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью всех убегающих, так и участники, максимальные скорости которых строго меньше максимальной скорости убегающих. Доказано, что если в игре с равными скоростями происходит уклонение от встречи хотя бы одного убегающего на бесконечном промежутке, то при добавлении преследователей с меньшими скоростями уклонение хотя бы одного убегающего происходит на любом конечном отрезке времени.
Результаты примыкают к исследованиям [20, 21].
1. Постановка задачи. В пространстве Як, к > 2, рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Р1,Рп и т убегающих Еъ Ет с законами движения и начальными условиями (при г = 0):
X = Щ, |Ы| < «» У1 = V], |И| < 1,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00195; 14-01-31176) и Минобрнауки России в рамках базовой части.
x (0) = x-, yj (0) = y0,
где xt, yj e Rk — фазовые переменные, uh Vj e Rk — управляющие воздействия, ai = 1 для всех i = 1, l, l < n и at < 1 для всех i = l + 1, п. Здесь и всюду далее i = 1, п, j = 1, m, в качестве нормы рассматривается евклидова норма. Обозначим через Z0q = (x°,..., x^,y°, ..., ym) вектор начальных позиций, A1q = (A{, ...; Aq).
Под разбиением а промежутка [0,<») будем понимать последовательность {xq }^=0, не имеющую конечных точек сгущения и такую, что 0 = т0 < т1 < т2 < ... < тq < ... Под разбиением а отрезка
[0,T] будем понимать совокупность попарно различных чисел {0, T, тq е (0, T), q = 1, r}, занумерованных в порядке возрастания.
Определение 1. Кусочно-программной стратегией Qp убегающего Ep, заданной на [0, да) ([0, T]), называется пара (a, Qi), где а — разбиение [0, да)([0, T]), а Ql — семейство отображений crp, r = 0,1, ..., ставящих в соответствие величинам
(tr,xi(tr),yj(tr), min min\\xt(t) - yj(t)||)
t e [0,tr] i
измеримую функцию vrp, определенную на [tr, tr+1) и такую, что ||iP(t)|| < 1 для всех t е [tr, tr+1).
Аналогично определяются кусочно-программные стратегии Si преследователей р. Игру, в которой участвуют преследователи р и убегающие Em, обозначим Г(1, m, Z!0), а в которой участвуют преследователи Р1п и убегающие Em, — через Г(п, m, Z0n).
Определение 2. В игре Г(1,m,Z!0) происходит уклонение от встречи на [0,да)([0,T]), если существуют кусочно-программные стратегии Q1 убегающих E1, такие, что для любых траекторий x11 (t) преследователей Р/ найдется номер s, что ys(t) Ф xt(t) для всех i и всех t е [0, да)([0, T]).
Пусть T > 0. Рассмотрим вспомогательную антагонистическую игру Г(1, m, T, Zl0) между нарядом преследователей Р/ и нарядом убегающих E1m в классе кусочно-программных стратегий с функцией выигрыша
m
H(S[, Qm) = X min min I|x;.(t) - yy.(t)||.
t £[0'T] i
Определение 3. Ситуация (S(,Q1m) называется ситуацией равновесия в игре Г(1,m,T,Z0), если для любых кусочно-программных стратегий U{ преследователей Р/ и для любых кусочно-
rrm г- T^m
программных стратегий V1 убегающих E1 справедливо неравенство
H(S[ ,V1m) < H(S, Qm) < H(U1, Qm). 2. Вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть в игре Г(1, m, Zl0) происходит уклонение от встречи на [0, да). Тогда для любого T > 0 существуют 8(T) > 0, разбиение а отрезка [0, T], кусочно-программные стратегии Qm убега-
T^m г- / l m\
ющих E1 , такие, что для любого Z = (x1, y1 ), удовлетворяющего неравенствам
||xi - x°| < 5(T), ||y; - y°|| < 5(T), в игре Г(/, m, T, Z) справедливо неравенство
inf H(Ui,Qm) > 0.
u[
Доказательство. Пусть T > 0. Из условия леммы и известных результатов работы [22] следует, что в игре r(l, m, T, Z!0) существует цена игры V(Z0, T), причем V(Z0, T) > 0. Пусть (S(, Q1") —
ситуация равновесия в игре Г(/, m, T, Z0), ст — разбиение, отвечающее данной ситуации равновесия. Тогда
О < V(Zl0, T) = H(S1, Qm) < H(U1, q"). (2.1)
В силу непрерывности функции V(Z!0,T) по Z0 ([22]) существует S^T) > О, такое, что для всех Z, таких, что ||x - x°|| < 51(T),||jy- - yj|| < S^T), выполнено неравенство V(Z, Т) > 0. Из неравенства (2.1) и теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от начальных данных следует, что существует S2(T) > 0, такое, что
m
У min min |\Щ) - у7(t)|| > 0.5V(Z0, T) > 0 (2.2)
7=1' e[0'T ] -
для всех Z, таких, что ||x(- - x°|| < 52(T), ||yj - y_0|| < 82CT), где x(t) = xt(t, x, щ(t)), yj(t) = yj(t, yj, v0) - траектории игроков Ph Ej в ситуации (U1l, Qm). Отметим, что неравенство (2.2) справедливо для всех ситуаций (Ui, Q1m). Полагая 5(T) = min{51(T), S2(T)}, получаем требуемое. Лемма доказана.
Определение 4. Кусочно-программная стратегия Qj = (а,Qi) убегающего Ej, заданная на [0,T], называется кусочно-постоянной кусочно-программной стратегией, если на каждом промежутке [ts, ts+1) функция vj является кусочно-постоянной.
Лемма 2. Пусть в игре Г(1, m, Zl0) происходит уклонение от встречи на [0, <»). Тогда для любого T > 0 существуют 8(T) > 0, разбиение а отрезка [0,T], кусочно-постоянные кусочно-программные
Öm г т^т г 7 / l m\
1 убегающих E1 , такие, что для любого Z = (xb y1 ), удовлетворяющего неравенствам
|| X - < S(T), II yj - y°|| < 5(T), в игре Г(1, m, T, Z) справедливо неравенство
inf H(U1,Ql") > 0. (2.3)
u1
Справедливость данной леммы следует из леммы 1 и условия того, что для любой измеримой функции, заданной на отрезке [т1, т2], существует сходящаяся к ней последовательность кусочно-постоянных функций.
3. "Эквивалентность" двух задач уклонения.
Теорема. Пусть в игре Г(1,m,Z0) происходит уклонение от встречи на [0,«). Тогда в игре Г(п, m, Z0n) происходит уклонение от встречи на любом отрезке [0, T ].
Доказательство. 1°. Возьмем T > 0. В силу леммы 2 существуют 8(T) > 0, разбиение а отрезка [0, T], кусочно-постоянные кусочно-программные стратегии Qm убегающих Em, такие, что для любого Z = (X, ym), удовлетворяющего неравенствам
||x - X°|| < S(T), ||yj - y°|| < 5(T),
в игре Г(1, m, T, Z) справедливо неравенство (2.3) Пусть разбиение а имеет вид а = {0 = = t0 < t1 < ... < tr < tr+1 = T}. Считаем, что разбиение а выбрано так, что на каждом промежутке [ts, ts+1)(s = 0,..., r) функции vj постоянны.
2°. Покажем, что можно считать, что (г) ют у, д, для которых у) (г) = у) для г е [гд, tq+1) и
= 1 для всех г е [0, Т]. Предположим, что существу-V) < 1. Пусть р — целое неотрицательное число, та-
кое, что г)+1 = г9 + р5(Т)/2 + т, где 0 < т < 5(Т)/2. Определим числа т1 = (1 + |Х)|)5(Т)/4, т2 = (1 + |Х)|)х/2. Задаем функцию V)(г) следующим образом. Если V) = 0, то полагаем
?( = и, X е [X* + ц5(Т)/2, X* + ц5(Т)/2 + 5(Т)/4),
1 -Р1, X е[К + ц5(Т)/2 + 5(Т)/4,Хч + (ц + 1 )5(Т)/2)
для всех ц = 0, р - 1;
( ГР1, X е [X* + р5( Т)/2, X* + р5(Т)/2 + т/2), У/(х) _ 1
1 -Р1, X е [X* + р5(Т)/2 + т/2, X* +1),
где^ — произвольный единичный вектор. Если V* Ф 0, то полагаем р1 = V*/ V* , ц = 0,р -1,
У (X) =
ръ X е [X* + ц5(Т)/2, X* + ц5(Т)/2 + Т1), -р1, X е [X* + ц5(Т)/2 + ть X* + (ц + 1 )5(Т)/2)
р1, X е [X* + р5( Т)/2, X* + р5(Т)/2 + т2), -р1, X е [X* + р5(Т)/2 + т2, X* +1).
Тогда получаем, что — кусочно постоянная на [X*, Xг+1) функция, Ц^;©! = 1 для всех
X е [X*, Xг+l) и, кроме того, У/^*+1) = у^^, \\yjif) - У/(!)\ < 5(Т)/2 для всех X е [X*, Xг+l), где
X
у/(x) = у/(x*) + (X - x*)vq, у/(x) = у/(x*) + | V*т.
Поэтому, заменив при определении стратегии О/ функцию ч* на промежутке [X*, Xг+1) фу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.