АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 8, с. 643-651
УДК 524.387-423.4+521.135
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ ЗВЕЗДЫ В ТЕСНОЙ ДВОЙНОЙ СИСТЕМЕ
© 2014 г. А. А. Медведева1*, С А. Гасанов2
1Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
2Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия Поступила в редакцию 07.11.2013 г.; принята в печать 23.12.2013 г.
Рассмотрена задача о движении вращающейся звезды в тесной двойной системе с консервативным обменом масс. В отличие от известной модели Пачинского—Хуанга, использована новая модель, определяющая относительное движение звезды в тесных двойных системах по эллиптической орбите. В эллиптическом движении звезды учитываются взаимное притяжение звезд, реактивные силы, сила притяжения звезд перетекающей струей и возмущения от вращательного движения звезды-аккретора. Определены изменения большой полуоси, эксцентриситета и угловой скорости вращения орбиты звезды-аккретора в зависимости от параметра д — отношения масс звезд. Полученные результаты применены к звездной системе БР Аш^ае.
DOI: 10.7868/80004629914080040
1. ВВЕДЕНИЕ
В результате исследований движений звезд при консервативном обмене массой в тесной двойной системе (ТДС) была получена упрощенная зависимость большой полуоси а круговой относительной орбиты звезды-аккретора от постоянной скорости увеличения массы принимающей звезды М2 в виде [1,2]
a = 2aM2
1
1
M1 M2
(1)
Зависимость (1) Пачинского—Хуанга часто используется в исследованиях ТДС с консервативным обменом массой: M\ + M2 = M = const. Вывод этой формулы основан на предположении, что уравнения движения звезд с переменными массами допускают интеграл момента количества движения. Как показано в работе [3], в задаче двух тел с консервативным обменом массой существует только квазиинтеграл, но не интеграл момента количества движения. Следовательно, использование формулы (1) в данной задаче некорректно. Соотношение (1) справедливо только для частного случая уравнения Мещерского — для задачи Мещерского—Леви-Чивиты [3]. Последняя представляет собой замкнутую механическую систему, поэтому в ней существуют интегралы количества
E-mail: gasanov@sai.msu.ru
движения и момента количества движения. Однако использование модели Мещерского—Леви-Чивиты для изучения движений звезд в ТДС с консервативным обменом массой недопустимо. Это связано с тем, что истинные реактивные силы в ТДС имеют совершенно другой вид, нежели в модели Мещерского—Леви-Чивиты.
С целью создания корректной модели описания движений звезд по круговым орбитам в тесных двойных системах в работе [3] предложена новая модель движения. Для получения правильной зависимости рассматривается общий случай уравнений Мещерского. С помощью классического метода Лагранжа — вариации произвольных постоянных — для оскулирующей большой полуоси относительной орбиты звезд в работе [3] получено дифференциальное уравнение, которым следует заменить соотношение (1). В указанной работе изучается только идеализированный консервативный режим перетекания вещества между компонентами. Все изучаемые движения считаются плоскими. Результаты численных расчетов приведены в виде диаграмм и рисунков.
В работе [4] предложена новая модель, пригодная для описания эллиптических орбит звезд в ТДС. Учитываются реактивные силы, а также силы притяжения между звездами и струей перетекающего вещества. Рассмотрена возможность обмена массой при наличии аккреционного диска. Эту модель в дальнейшем будем именовать именем ее автора — моделью Лукьянова.
В работе [5] для определения относительного движения звезд в ТДС используется численное интегрирование уравнений движения с учетом реактивных сил и сил притяжения звезд перетекающей струей вещества. Проведенные вычисления эллиптических орбит в ТДС показывают, что влияние реактивной силы на эволюцию орбиты может быть различным: а) если звезда-аккретор имеет меньшую массу и небольшие размеры, а аккреционный диск отсутствует, то эксцентриситет увеличивается, б) если же звезда-аккретор имеет большую массу и большие размеры, то реактивная сила создает тормозящий эффект, и эксцентриситет уменьшается, стремясь к нулю. При больших значениях отношения масс звезд q = М2/М1 эксцентриситет всегда уменьшается. Также было рассмотрено поступательное движение звезд в реально существующей двойной системе BF Auгigae.
Наконец, в работе [6] рассмотрена задача о движении звезды-аккретора в ТДС в случае эллиптической орбиты без учета притяжения звезды струей и реактивной силы, вызываемой перетекающим со струей веществом звезды-донора.
В настоящей работе рассматривается задача о движении вращающейся звезды в ТДС с консервативным обменом масс. В эллиптическом движении звезды учитываются взаимное притяжение звезд, реактивные силы, сила притяжения звезд перетекающей струей и возмущения от вращательного движения звезды-аккретора. Определяются изменения большой полуоси, эксцентриситета и угловой скорости вращения орбиты звезды-аккретора в зависимости от параметра q — отношения масс звезд.
2. ОГРАНИЧЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ
Для определения движения перетекающих частиц вещества будем использовать ограниченную эллиптическую задачу трех тел, уравнения движения которой во вращающейся и пульсирующей барицентрической системе координат Шап-нера (Шайбнера-Петра-Нехвила-Рейн) имеют вид
[7, 8]
d2x dy dv2 dv
dU_ ^ dx '
(2)
d2y dx д U dv2 dv ^ dy '
cPz
dv2
dU
где ось x всегда направлена на звезду-аккретор S2, v — истинная аномалия, а р = 1/(1 + ecos v) —
безразмерный радиус положения звезды S2 относительно Sl. В системе уравнений (2) и представляет собой функцию Якоби в ограниченной эллиптической задаче трех тел:
U = ^(х2 + у2 - ez2 cos v) +
(3)
о / 1 — m m\ p2 , 2
+ V -+ — - тг(3 + m — m).
Г1 Г2) 2
Здесь г1 и г2 — расстояния от частицы перетекающей струи соответственно до центров масс первой и второй звезд:
г\ = у/(х + рт,)2 + у2 + z2, г2 = л/ (х + рт — р)2 + у2 + z2,
(4)
где 1 — т = М1/М и т = М2/М — относительные массы звезд, М = М1 + М2 — суммарная масса звезд, р = а(1 — е2) — фокальный параметр, а и е — большая полуось и эксцентриситет, соответственно. Кроме того, полагаем, что движение перетекающей частицы вещества (струи) происходит в плоскости г = 0.
Истечение вещества со звезды-донора происходит через окрестность внутренней особой точки Эйлера L1, абсцисса хь которой заключена в пределах —рт < хь < р — рт и определяется численно как корень нелинейного уравнения ди/дх = 0 при у = 0 и г = 0, т.е. уравнения
(1 — m)(x + pm)
p
д/ (х +рт)2
m(x + pm — p) \J(x +pm — p)2^j
(5)
0.
Полости Роша в эллиптической ограниченной задаче трех тел определяются при помощи уравнений кривых минимальной энергии [8]:
x2 + y2 — ez2 cos v + 2p
+ (6)
ri T2
— p2(3 + m2 — m) = C (1 + e cos v),
где C — аналог постоянной Якоби.
Будем считать, что принимающая звезда имеет форму шара
P 2
(х + рт -р)2 + у2 + z2 = —у,
р
(7)
радиус Р которой в процессе перетекания вещества изменяется согласно зависимости
о
о
Истечение вещества со звезды-донора начинается по достижении уровня энергии частиц, превышающего уровень энергии в особой точке Эйлера Ll. Как показано в работе [8], истечение вещества через окрестность точки L1 носит пульсирующий характер и происходит в окрестности апоастра. Скорость истечения У0(у) частиц массы со звезды Б1 всегда направлена в сторону звезды Б2 и задается равенствами
Уа(у) = У00У1 (V), (9)
У1(^) = Ша
1аы
р
л/1 + 2есоз V + е2,
где У00 ~ 0.03 — коэффициент, установленный из наблюдений. Окрестность апоастра звезды Б1 п — — va < V < п + va (0 <va < п), в которой происходит истечение массы, определяется по уровню энергии частиц, зависящему от значения аналога постоянной Якоби С [8]. Поэтому среднюю скорость Ус истечения массы со звезды 51 на одном периоде обращения можно определить по формуле
Ус =
1
2тг
П+Ъа
п
IСМ Ро
V1 + е0У ^ 2 ' 1 + е^
где учтено, что при va = п/2
П+Ъа
1
2тг
J л/1 + 2е
сов v + е2 ^ =
= -(1 + е)
п
'л/2 2л/ё4
2 ' 1 + е
2'
Х^0) = хь, х'^0) =
Ус
vV(vo)'
уЫ = 0, у'Ы = 0, х^0) = 0, ^'^0) = 0, ш = ш0, Ш = еопБ^ Р = Р0,
Ч Л ОМ П \ 2
где штрих означает дифференцирование по истинной аномалии v.
Численное интегрирование уравнений (2) в плоскости г = 0 осуществляется на интервале v0 < < v < v0 + т, где значение истинной аномалии v0 + + т определяется моментом попадания частицы на поверхность второй звезды в точке х2 = х^0 + т), у2 = У^0 + т). Если такого момента не существует, то процесс перетекания вещества приводит к образованию аккреционного диска.
С помощью численного интегрирования уравнений (2) при г = 0 определяются также масса установившейся перетекающей струи Б3 и координаты хз, у3 ее центра масс:
'€0+Г
= + (10)
М3 = —тМ,
V с
уз
1
Хз
х^)^, (12)
ъо
-о0 +т
y(v)dv,
ъо
где координаты x(v) и y(v) определяются из уравнений (2) при г = 0, а
2п
Уг = — уйу =
1
2тт
Здесь р0 = а0(1 — е0), где а0, е0 — начальные значения большой полуоси и эксцентриситета орбиты звезды-аккретора, а Е(к), Е(в,к) — полный эллиптический интеграл и эллиптический интеграл второго рода, соответственно.
Все линии тока струи вещества, имеющие разброс как по координатам, так и по времени в течение одного "выброса" вещества за период обращения звезд, будем аппроксимировать одной траекторией, исходящей из особой точки L1. Численное интегрирование дифференциальных уравнений (2) в плоскости г = 0 проводится со следующими начальными условиями:
= (11)
2п
0
1СМ г, \ 2 ,
—(1 + есову) ау = рз
1СМ
рз
1 +
2
— средняя угловая скорость орбитального движения.
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО движения ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗВЕЗДЫ
Пусть N = {х, у, 0} и Wo = {х', у', 0} — соответственно векторы положения и скорости (в барицентрической системе координат хуг) частицы струи в момент ее попадания на поверхность звезды Б2 в точке N. По отношению к звезде Б2 положение точки N характеризуется вектором И,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.