ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 179-184
УДК 519.644.7
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛАПЛАСИАН
© 2015 г. А. К. Пономаренко
(199034С.-Петербург, Университетская наб., 7-9, СПбГУ) e-mail: akpsb@yandex.ru Поступила в редакцию 01.07.2014 г.
Для интегралов по пространству n измерений и по гиперкубу построены две кубатурные формулы степени девять, инвариантные относительно группы гипероктаэдра. Кубатурные суммы этих формул содержат оператор Лапласа. Приведены примеры, в которых даны в виде таблиц приближенные значения параметров формул. Библ. 8.
Ключевые слова: п-мерная инвариантная кубатурная формула, группа ОпО, гипероктаэдр, гиперкуб, лапласиан, базисные инвариантные формы группы ОпО.
Б01: 10.7868/80044466915020155
Понятие инвариантной кубатурной формулы было введено С.Л. Соболевым в [1]. В книге [2] и ряде статей (см. список литературы в [2]) И.П. Мысовских продолжил рассмотрение теории формул этого типа. Построению и исследованию инвариантных кубатурных формул посвящены работы многих авторов. Обширная библиография на эту тему имеется в [2]—[5]. Отметим, в частности, [3]-[8].
В настоящей работе построены две новые инвариантные кубатурные формулы со сравнительно небольшим числом узлов (меньшим, чем в [6]). Кроме того, сделана попытка включить в кубатурные суммы формул частные производные подынтегральной функции в виде оператора Лапласа.
Для интегралов
I(f) = \p (r)f(x) dx, If = fx) dx,
где
n \ 1/2 2
х = (Х1, ..., х„), г = I
V = 1 у
р(г) — неотрицательная весовая функция такая, что существуют моменты
да
|гр ( г )dг,
Vk =
где к = 0, 1, ..., V,) > 0, ^ = {х| — 1 < Х] < 1,] = 1, ..., и} — гиперкуб, рассматриваются кубатурные формулы, инвариантные относительно группы ОпО всех ортогональных преобразований гипероктаэдра Оп (выпуклой оболочки 2и точек (±1, 0, ..., 0), (0, ±1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±1)) в себя и точные для любого алгебраического многочлена относительно х1, ..., хп не выше девятой степени. Кубатурные суммы этих формул содержат оператор Лапласа функции / в начале координат.
Rn
Kn
о
Первая из рассматриваемых формул имеет вид
2 2п 4п(п -1) 24с" 2"
ДО - ЛАД О) + £ Л/^/( а/0)) + ¥ £ /(Г)) + Як (в)) + е£п 1)), 4 < п. (1)
1 = 11 1 1 1
Здесь использованы следующие обозначения:
= -Д= (1 1,о,..., 0), 5 = 0, 1,...,
4s +1
s + 1
g(t) - 1 (1 - t, t, 0, •.., 0), Ä(ß) = (ß, ß,V 1 - 2ß2, 0, •.., 0),
л/212 - 21 + 1
a, j = 1, 2, r, Л, e — радиусы сфер с центрами в точке 0(0, ..., 0), A, A, j = 1, 2, F, H, E — коэффи-
п g2
циенты, t, ß — параметры, А = V — — оператор Лапласа.
^=1 дх2
В формуле (1) суммирование распространяется на все элементы группы 0п0-орбит точек, указанных в круглых скобках после знака функции f
Для нахождения радиусов орбит, коэффициентов формулы и параметров t, t0 = ß2 применяется модификация теоремы С.Л. Соболева об инвариантных кубатурных формулах (см. [1], [2, теорема 1.7]) для формул, содержащих в кубатурных суммах производные, согласно которой формула (1) должна быть точна для многочленов ak2, к = 0, 1, ..., 4, а4а2, к = 0, 1, 2, а4, аба2, к = 0, 1, а8, где
п
Z2 _ 2 2 2 2 2 xj , а4 - Vxjxk, •■■, а2п = х1 х2 "• хп
1 = 1 1 < к
суть базисные инвариантные формы группы ОпО. Это требование для формулы (1) приводит к системе уравнений
VAj + F1 + H1 + E1 - m0,
j -1
2
A1 + VAya] + F1 r + HR2 + E1 e2 - m1,
j - 1
2
22 22 22 22
VA1jaj + F1 r + H1R + E1 e 2 - mk, k - 2, 3, 4,
j - 1
aF1r2k + zH1R2k + 1E1e2k - mk+3, k - 2, 3, 4, (2)
2 -
2 r 8 2TT „8 (- - 1)2 r, 8
а F1 r + z H1R + ---E1 e - m8,
4-2
Г2
yHxR2k + -O-!Exe2k - mk + 6, k - 3, 4, 6-
W - 1 г 8
-"-гE1e - mn 4 п
2
относительно 13 неизвестныхA1 = 2nA, Aj1 = 2nAj, a, j = 1, 2, F1 = 4n(n — 1)F, H1 = 24Cn H, E1 = 2nE,
2
r, R, e, t, t0. Здесь z = t0(2 — 3t0), y = t0 (1 - 2t0),
ms = JP(r)a(x)dx, s = 0, 1, ..., 4,
m.
5 = Jp(r)a4(x)a2(x)dx, s = 0, 1, 2, m8 = J"p(r)a4(x)dx,
ms + 9 = J"p (r )a6 (x)a2(x) dx, s = 0, 1, mu = Jp (r)a8 (x) dx
Rn Rn
суть соответствующие моменты для интеграла I(f).
Решение этой системы, зависящее от свободного параметра e, имеет вид
^ = m1 -Ana2 - A12а2 - F1 r2 - H1R2 - E1 e , a1 =
( Л1/4
(X4 — a2a2
Va2 - aoa2y
a2 — корень уравнения
2 ч 2 2 2 2
8 „a^a,-a0a4) 6 a2a4-2a2a3 + a0a4 4 a3a4-a2a4 a + 2 3V 2-::a9 + ——-—-—4a + ——4-—4 = 0,
2 3 a0a3 — a2
23
a0 a3 — a 2
23 a0a3 - a2
Л — a2 - a0a2 /( _ л
Aii = 4 t~ , Ai2 = a0-Aii,
44
(ai - a2)
= mk-Fir2k-HiR2k-Eie2k, к = 0, 1, ..., 4,
t = 0.511 - , a = ija, a = s2(R2 - r')
1 + a1'
r4 (R211 - t2 )
s=
(n - 2)(n - 3)(m8 - z2H1 R8) - 6n(n - 1)m11 (л^ГКл-3) ,
E = 24n m1 1
1 ^,3 8 Cn - 1e
„ R2t1 -12 2 R2t2 -13 , F1 = -:—--V , r = 23
ar4(R2 - r2)
R '1 -12
t1 = m5 -
12n m11 12n m11
^ t2 = m6--^ t3 = m7 -
12n2m1
(n - 2)(n - 3)e
H1 =
t2 - r t1 2
(n - 2)(n - 3)e2 (n - 2)(m - 3У
2 2(n - 3)mw - 4nmu
R4 z (R2 - r2)
, s3 = (n - 3)m9e - 4nm11, R = e
_ 3 + S1 ±J(S1 - 9)(S1 - 1) „ _ d^2(t2 - r\)(n - 1)(R2 - r2)
4s1
-, s1 = Re
R
R
R
n
n
3
0
3
Вычисления показали, что для (1) существуют вещественные значения радиусов орбит и коэффициентов при п = 4, 5, ... для весовых функций
р(г) = {г°( 1 -^ 0 < '< (3)
10, 1 < г,
р (г) = га в~г, (4)
2
р(г) = гав~г , (5)
при соответствующих значениях параметров а, е.
Приведем примеры приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (1).
1. Для весовой функции (5), п = 4, а = 0 и е = 1.8:
а1 = 4.568485477023е - 01, А = 1.864892609112е - 01,
а2 = 2.086964463866е + 00, А1 = 5.323828648451 е - 01,
г = 1.649584792194е + 00, А2 = 2.583755767663е - 02,
Я = 2.799769575772е + 00, Г = 7.861452617396е - 02,
I = 4.044605617304е - 01, Н = 2.055887732548е - 03,
^ = 1.747666131018е - 01, Е = 8.956115889002е - 02.
2. Для весовой функции (5), п = 10, а = —1 и е = 4.47:
а1 = 7.695393134953е - 01, А = 4.345382241714е + 00,
а2 = 1.914421128754е + 00, А1 = 3.696805524186е + 00,
г = 1.915355459400е + 00, А2 = 8.720759141515 е + 05,
Я = 1.916910184781е + 00, Г = -7.766518268492е + 04,
I = 3.337094904244е - 02, Н = 3.652090779107е + 03,
?0 = 1.583552437209е - 03, Е = 4.078897498370е - 04.
Для интеграла
11 = (/) = ]/(*) dx,
по гиперкубу рассматриваемая формула имеет вещественные значения параметров при п = 5, 6, ... (просчитано до п = 200).
Пример параметров формулы (1) для куба при п = 15, е = 2.58:
а1 = 1.527265936985 е + 00, А = 2.928436602944е + 01,
а2 = 3.116694324386е + 00, А1 = 1.363104360085е + 03,
г = 1.781923485984е + 00, А2 = 5.142090500563е - 01,
Я = 1.7930072427175е + 00, Г =-1.733399351530 е + 03,
I = 4.750336193014е - 01, Н = 1.316376176451 е + 02,
?0 = 4.941081155082е - 01, Е = 3.183628395650е - 01.
К
П
2 2n 4n(n - 1) 24C„ 16C„
S 0)\ , J7 V f¿„rr¿¿\\ , trV fí VUÍÜW . Z?V /i < n
Рассмотрим далее формулу
2 2n
Д О -AА/(O) + £ag0)) + F £ /( rg(t)) + H£/(Лй(в)) + E£/(eg3), 4 < n. (6) j = ii i i i Здесь, как и выше, O — начало координат, a, j = 1, 2, r, e — радиусы сфер с центрами в точке 0(0, ..., 0), A, Aj, j = 1, 2, F, H, E — коэффициенты, t, p — параметры, А — оператор Лапласа.
Как и ранее, будут использоваться обозначения A1 = 2nA, a у = 2nAj, j = 1, 2, F1 = 4n(n — 1)F, H1 = 24 C3 H, а также E1 = 16 C*n E.
Система, аналогичная (2), имеет вид
2
£ Aij + Fi + Hi + Ei = fflo,
j = i 2
Ai + £ Aiyay2 + Fir2 + Hi Л2 + Eie2 = mi,
(7)
1 = 1
2
£А1]а2к + ^ г2^ + к + Е1 е2к = тк, к = 2, 3, 4, 1 = 1
а^г2к + гНЯ2к + -= ^к + з, к = 2, 3, 4, 8
G2Fl/ + г2#1Л8 + — Е^8 = т8, 64
>>^1 Я2к + -1- е2к = тк+6, к = 3, 4, 16
1 г 8
—Е1 е = т11.
256 1 11
В решении системы уравнений (7) Аь Ау1, а,] = 1, 2, ?0, а, а, ак, к = 0, 1, ..., 4, F1, г2 имеют те же выражения, что и для формулы (1),
т9е2 - 16т11 2 2 т10 - 16т11 256т11 Н1 = —-11, Я = е —--—, Е1 = -11,
1 2 „6 ' 2 л с 8 '
уе Я т9е - 16т11 е
96т11 96т11 —1, = т6--11,
262 е
2
2 п2 ¿2 - г ¿1 2„ 8
«1 = еЯ —2-2-2-, «2 = т8 - 36тп - г Нг .
(Я - г )(т9е - 16т11)
Проверено, что формула (6) при п = 4, п = 5 имеет вещественные значения параметров для весовых функций (3)—(5) при соответствующем выборе значений параметра е.
Пример приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (6): для весовой функции (3) и и = 5, е = 0.88, а = р = 0:
а1 = 4.646532860659е - 01, А = 2.483751171587е - 03, а2 = 7.608461039524е - 01, А1 = 8.086535877630е - 02, г = 8.294897323229е - 01, А2 = -1.472558212125е - 01, Я = 1.060112734235е + 00, F = 4.178825892043е - 02,
ti = m5---i-, t2 = m6---i-, t3 = m7 - 96mn,
t = 3.026034801043е - 01, Н = 1.804990000089е - 03,
?0 = 2.086796465939е - 01, Е = 2.599444155776е - 02,
Для интеграла 11(/) формулы вида (6) с вещественными параметрами найдены лишь при п = 4. В заключение отметим, что имеются программы на языке С++, вычисляющие для заданной функции /(х) параметры полученных кубатурных формул и сам интеграл !(/).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сиб. матем. журнал. 1962. Т. 3. № 5. С. 769-791.
2. МысовскихИ.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.
3. Лебедев В.И. О квадратурах на сфере // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. № 2. С. 293-306.
4. Салихов Т.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: ФАН, 1986.
5. Коняев С.И. Об одной инвариантной квадратурной формуле седьмого порядка для сферически симметричной весовой функции // Вопр. матем. анализа. Красноярск: ИПЦ КГТУ. 2001. Вып. 4. С. 54-64.
6. Стоянова С.Б. Кубатурная формула девятой степени точности для гиперкуба. Методы вычислений. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ. 2005. Вып. 21. С. 172-179.
7. Пономаренко А.К. О некоторых инвариантных кубатурных формулах седьмой и девятой степени. Материалы X междунар. семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. С. 104-111.
8. Салихов Г.Н., Шарипходжаева Ф. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по поверхности гиперсферы // Докл. АН УзССР, 1974. № 6. С. 6-9.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.