научная статья по теме ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВРЕМЕНИ ТЕПЛОВОЙ РЕЛАКСАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 113 ФЕДОРОВ В.А., ОБУХОВ В.А., МОГУЛКИН А.И. РАСЧЕТНАЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДОВ ИОННО-ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ Энергетика

Текст научной статьи на тему «ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВРЕМЕНИ ТЕПЛОВОЙ РЕЛАКСАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 113 ФЕДОРОВ В.А., ОБУХОВ В.А., МОГУЛКИН А.И. РАСЧЕТНАЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДОВ ИОННО-ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ»

№ 1

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА

2015

УДК 536.24

ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВРЕМЕНИ ТЕПЛОВОЙ РЕЛАКСАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

© 2015 г. Ю.А. КИРСАНОВ12, А.Ю. КИРСАНОВ3

1 Исследовательский центр проблем энергетики Казанского научного центра Российской академии

наук, г. Казань

2 Казанский государственный энергетический университет, г. Казань

3 Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева (КАИ),

г. Казань E-mail: akirsanov@list.ru

Рассмотрены уравнения теплопроводности для медленно и быстро протекающих процессов. Указана причина низкой точности описания быстро протекающих процессов дифференциальным уравнением теплопроводности параболического типа, состоящая в пренебрежении явлением тепловой релаксации. Отмечено отсутствие единой точки зрения у исследователей по вопросу определения характерной скорости переноса и времени тепловой релаксации. Рассмотрены методы измерения времени тепловой релаксации твердых тел. На основе литературных данных показано, что тепловая релаксация может проявляться в процессах, длительность которых измеряется секундами и более. Дано аналитическое решение гиперболической задачи одномерного твердого тела при граничных условиях третьего рода. Уточнен физический смысл скорости переноса в формуле для тепловой релаксации. Даны рекомендации по измерению времени тепловой релаксации твердого тела.

Ключевые слова: гиперболическая теплопроводность, твердое тело, затухающие термические колебания, время релаксации, измерение.

ABOUT MEASURING THE THERMAL RELAXATION TIME OF SOLID BODY

Yu.A. KIRSANOV1,2, A.Yu. KIRSANOV3

1 Research Center far Power Engineering Problems of Kazan Scientific Center Russian Academy of Sciences,

Kazan, Russia

2 Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia 3 Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Russia E-mail: akirsanov@list.ru

Thermal conducting equations for slowly and quickly proceeding processes were observed. It is specified the reason of low accuracy of quickly proceeding processes description by the parabolic type differential thermal equation that is consisting in disregard the phenomenon of a thermal relaxation. Absence of the uniform point of view among researchers concerning definition of characteristic thermal transient speed and a thermal relaxation time was noticed. Measurement methods of a thermal relaxation time for solid bodies were observed. On the basis of literature data was shown that the thermal relaxation can be man-

ifested in processes with time duration value of seconds and more. The analytical solution of the hyperbolic problem of an one-dimensional solid body was given at boundary conditions of the third kind. The physical sense of the transient speed in a formula for a thermal relaxation time was specified. Recommendations on the thermal relaxation time measurement of solid bodies are given.

Key words: hyperbolic thermal conductivity, solid body, fading thermal oscillations, relaxation time, measurement.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что гипотеза Фурье о связи плотности теплового потока q с градиентом температуры T

q = -X grad T

применима в условиях медленно протекающих тепловых процессов в телах относительно небольших размеров, когда скорость распространения внутренней энергии без значительной погрешности может рассматриваться как бесконечно большая. В сочетании с уравнением баланса тепла элементарного объема тела формула Фурье преобразуется в дифференциальное уравнение теплопроводности параболического типа

рс dT = div (A gradT), дт

которое в одномерной постановке при постоянных свойствах тела принимает вид:

7Г = a Й, (

дт дх

где a = Х/р с — коэффициент температуропроводности, м2/с; А,, р и c — теплопроводность, Вт/м • К, плотность, кг/м3, и удельная теплоемкость, Дж/кг • К; т и х — время, с, и координата, м.

В кратковременно протекающих процессах решения задач с уравнением (1) дают заметные погрешности, обусловленные пренебрежением ограниченностью скорости распространения внутренней энергии и термических волн. Впервые на конечность скорости переноса импульса обратил внимание Дж. Максвелл [1], а массообмена — А.В. Лыков [2, 3]. В теории теплопроводности эта заслуга принадлежит Каттанео [4, 5] и Вернотту [6], которые модифицировали формулу Фурье, добавив в нее инерционный член:

q = -XgradT - тг dq/дт.

Согласно формуле Каттанео—Вернотта процесс передачи кванта энергии на микроуровне от элемента объема тела к соседним элементам происходит с задержкой во времени относительно момента получения кванта. За время этой задержки тг, называемой временем релаксации, происходит сокращение потока энергии на величину тr dq/дт. Поэтому величина тг является мерой инерции теплового потока. С учетом тепловой инерции, т.е. тг dq/дт, дифференциальное уравнение (1) преобразуется в уравнение гиперболического типа:

т д2т + дт a д2т

т r—- +--= a—-. (2)

r дт2 дт дх2

В зависимости от значения тг температура точек тела, согласно (2), может изменяться во времени по той или иной закономерности. Так, при тг = 0 температура из-

Рис. 1. Изменение во времени относительной избыточной температуры тела на расстоянии 6,3 мм от холодной поверхности [8]: 1 — расчет по уравнению (1); 2 — результат измерений

меняется по экспоненциальному закону, как предписывает уравнение (1). При тг ^ 0 температура точек тела может испытывать колебания во времени.

Значение времени релаксации предложено определять по соотношению [3]

В литературе пока нет единого мнения относительно ответа на вопрос: что понимать под величиной w,т — скорость переноса внутренней энергии (скорость звука) или скорость распространения температурных волн? В работах [2, 3, 7] под понимается скорость переноса внутренней энергии, измеряемой сотнями и тысячами метров за секунду, и время релаксации тел измеряется микро- и наносекундами: тг ~10 нс у алюминия и тг ~ 0,1 мкс у азота [3, 7]. Другие авторы под м>т понимают скорость распространения температурных волн, которая измеряется долями миллиметра в секунду. В этом случае время релаксации на несколько порядков превышает указанные выше значения. Согласно этой трактовке величины w,т, в пористых телах из песка, стекла, в тканях животных время релаксации составляет десятки секунд, а в пакетах из текстиля — 1.. .100 с [8-10].

Чтобы объяснить большие расхождения в значениях времени релаксации, принято считать, что в телах с однородной структурой под w,т следует понимать скорость звука, а в телах с неоднородной структурой — скорость распространения температурных волн.

Цель данной статьи заключается, во-первых, в решении вопроса о природе величины w,т путем сопоставления литературных данных об опытной зависимости от времени температуры определенных точек тела с аналитическим решением краевой задачи гиперболической теплопроводности того же тела. Другой целью является выработка рекомендаций для опытного измерения величины тг.

Методы измерения времени релаксации

Метод измерения тг предполагает регистрацию температуры в определенных точках исследуемого тела при внезапном изменении граничных условий: первого рода — путем контакта тела с горячей или холодной поверхностью [8, 9], второго рода — путем импульсного теплового воздействия на одну из его поверхностей [11], третьего рода — путем погружения в среду с температурой, отличной от начальной температуры тела [12, 13].

е

2 г

Ах/хг

0

0,2

0,4

Т/Тг

Рис. 2. Изменение во времени относительной температуры тыльной стороны диска после облучения передней стороны высокоинтенсивным тепловым импульсом длительностью Дт = тг/2 [11]

Выбор метода зависит от предполагаемого значения времени релаксации и метрологических характеристик средств измерения. При больших значениях тг удовлетворительную точность в его оценке дает метод с граничными условиями первого рода. Метод предполагает наличие внешнего тела, обладающего большой теплоемкостью и постоянной температурой. На рис. 1 показан полученный опытным путем график изменения во времени температуры внутренней точки тела, охлаждаемого путем контакта с холодной поверхностью. В работах [8, 9] за wx принята скорость распространения температурной волны A x/ Ах, где A x — расстояние точки до поверхности, Ат — запаздывание начала роста температуры точки. Для обработанного мяса ("processed meat"), характеризуемого коэффициентом температуропроводности a = 1,4 • 10-7 м2/с, по формуле (3) было найдено: тг = 15,5 с.

Метод с граничными условиями второго рода в виде импульса теплового воздействия (рис. 2) реализуется с помощью лазера. Этот метод наиболее требователен к чув-

1

Рис. 3. Изменение во времени относительной температуры цилиндра при В1 = 1 [13]

а — For = 1; б — For = 10: 1 — на оси; 2 — на поверхности; 3 — средняя по радиусу; 4 — среда; сплошные линии — расчет аналитическим методом; пунктир — численным методом

Корни характеристического уравнения (11) и периоды гармоник по формуле (4) при Б1 = 2 и К),. = 3,237

Гармоника

Пластина Цилиндр Шар

Ц тпЛг Ц ТпЛг Ц тпЛг

1 1,076874 3,356827 1,599449 2,217243 2,028758 1,737842

2 3,643597 0,96131 4,290958 0,815615 4,91318 0,711967

3 6,578334 0,531372 7,288389 0,479525 7,978666 0,437986

4 9,62956 0,362828 10,36583 0,337038 11,08554 0,315142

5 @01,12,7223@ 0,274577 13,47188 0,259293 14,20744 0,245864

6 15,83361 0,220604 16,59103 0,21053 17,33638 0,201476

7 18,95468 0,184271 19,71721 0,177143 20,46917 0,170634

8 22,08148 0,158173 22,84756 0,152869 23,60428 0,147967

9 25,2119 0,138531 25,98062 0,134432 26,74092 0,130609

10 28,34478 0,123218 29,11549 0,119956 29,87859 0,116892

ствительности, инерционности и временной разрешающей способности аппаратуры, регистрирующей температуру. Как и предыдущий, этот метод позволяет определять время релаксации по (3) и временной задержке Ат начала роста температуры точки или поверхности тела, отстоящей на известном расстоянии от облучаемой поверхности, в предположении, что w,т является скоростью распространения температурной волны.

На рис. 3 показаны графики изменения относительной температуры точек тела по уравнени

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком