Ф
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ' «<ai "J íít í ,Г
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 143,Л* 3 - 1 ■'Ша.йО'П'Лма -.i» лГ.1 ¡s-'.'iww •
июнь, 2005 1» хггх'к -¡-я\ .-¡Инг. г-.С-^т. ч". Г, f "> rftíftq и -í
к «t.-'Лй • >ЧР /««•.» -згг.;-« ' V«/-
•щ> **ч;/ ! • Фи?--r'ss í > , i '-f .
JT . ,£>- • „,<: -.r .. >-i,¡a-.qii> -q1"-- w - > •.>■• ... -о» акт
...odo- '-.'i'« . ■>'•"74 í -|'Зя**.Ь fíKi:.í!-V!b Тл' -vr^c-ir fuir ■ .i •
П
плоо.■:">
© 2005 r. JI.С. Кузьменков*, С.Г. Максимов*
ОБ ОБОБЩЕННОМ КООРДИНАТНО-ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Получено однопараметрическое семейство (д,р)-представлений квантовой механики, которому в качестве частных случаев принадлежат функция распределения Вигне-ра и функция распределения, полученная нами ранее. Решения уравнений эволюции микроскопических классической и квантовой функций распределения найдены в виде континуальных интегралов по траекториям в фазовом пространстве. Показано, что при варьировании канонических переменных в функции Грина квантового уравнения Лиувилля в форме интеграла по траекториям необходимо использовать полное приращение функционала действия, в то время как в функции Грина классического уравнения Лиувилля достаточно только линейной части приращения. Соответствие между
, классической и квантовой схемами устанавливается лишь при определенном выборе значения параметра семейства представлений. Это значение соответствует найденной нами функции распределения.
Ключевые слова: (д,р)-представления, уравнение Лиувилля, континуальный интеграл.
1. ВВЕДЕНИЕ " 4
Согласно постулатам канонического квантования алгебре Ли динамических функций вида A(q, p,t) (q € Ш3, р € Ш3, s - число степеней свободы) ставится в соответствие алгебра Ли эрмитовых операторов А в гильбертовом пространстве, так что скобки Пуассона {, } переходят в коммутаторы ^ [, ]. Однако при сопоставлении операторов динамическим функциям возникает неоднозначность, связанная с некоммутативностью канонически-сопряженных динамических переменных. Как правило, эту неоднозначность устраняют, постулируя дополнительную процедуру упорядочения операторов координат и импульсов в операторной функции A(q, р, t) (принцип соответствия Вейля, 9Р-,Р9-квантованияи др. [1]).
Принцип соответствия Вейля устанавливает однозначную связь между эрмитовым оператором и классической динамической функцией посредством интеграла Фурье:
" ' A(q,p) ^ A(q,p) = j / (1)
'Московский государственный университет, Москва, Россия. E-mail: lsk@phys.msu.ru
* Instituto Tecnológico de Morelia, Morelia, Michoacán, México. ííjmís í ч- 'i д ;
E-mail: sgmaximov@yahoo.com.mx , a> , ¡
4 Теоретическая и математическая физика, т. 143, Л"» 3, 2005 г.
401
402 л. С. КУЗЬМЕНКОВ, С. Г. МАКСИМОВ
где uq = E¿=1U»9¿-
Однако этот принцип, как и правила qp- и pg-квантования, не обеспечивает отображения алгебраической операции С = {А, В} для любых динамических функций А, В и С в операцию С — jr [Л, В] для соответствующих операторов из ¿2- Коммутаторы произвольных операторов также не переходят в классические скобки Пуассона. Алгебре коммутаторов квантово-механических операторов в представлении Вейля соответствует не алгебра скобок Пуассона динамических функций, а алгебра экзотических скобок Мойала [2], [3], которые в классическом пределе h —► 0 переходят в скобки Пуассона:
{А,В}М=1-(А*В-В*А) = А~ = {А, В} + 0(h2), (2)
где А* В - произведение Мойала (или *-произведение), которое имеет вид
W Л t. . " А*В = Аех: , ч
Можно не ставить вопроса об упорядочении операторов координат и импульсов в операторных функциях, так что соотношение (1) не будет больше служить определением квантовых операторов на основе заданных классических динамических функций A(q,p). Оно может рассматриваться в качестве особого представления квантовой механики, в котором квантово-механические уравнения движения допускают наибольшую аналогию с классическими. Коммутаторы операторов в этом случае будут переходить в скобки Мойала (2) для соответствующих "динамических функций". Такая функция координат и импульсов A (q, р), фигурирующая в (1), или представление Вигнера оператора А, может быть выражена через его ядро:
- АМЯ,Р)= Jdat(q-U/2)\Á\q+a2)eipt/h, • (3)
и является действительной, если соответствующий оператор Á эрмитов. Квантовое среднее от оператора А может быть выражено в представлении Вигнера в форме статистического среднего с функцией Вигнера fw(Q,p) [4]: , ...
| ' ' ' (Л) =tr (pÁ) = J d"q J d3pAw(q,p)fw(q,p),
\ = ¡ d^{q-(il2)\p{t)\q+il2)e^l\ ^
где p - матрица плотности фон Неймана. Эволюция функции Вигнера описывается уравнением
dtfw + {#w, /w}m = 0,
которое в пределе h 0 переходит в классическое уравнение Лиувилля. Функция Гамильтона Н\v здесь также является представлением Вигнера гамильтониана Н.
ОБ ОБОБЩЕННОМ КООРДИНАТНО-ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 403
Альтернативный способ введения функции распределения в квантовой механике рассматривался нами в работах [5]- [8]. Он основан на непосредственном квантовании классической микроскопической функции распределения, представляющей собой произведение плотности вероятности обнаружить систему в точке р € К3 импульсного пространства и плотности вероятности обнаружить систему в точке д € К3 координатного пространства: -,.,;<• ;К."..' * ^.¿¿-к ; Г-1 '
^у-"1-'': "оУг,- ... - • ...-»■..';'•
где * ^ _ > т ............... ^ ^ ^
<} . ., 3 г ,13,, .Г.;
¿ = 1 . .. у ,<„ - - V
а и - канонические переменные. В соответствии с этим квантовая операторная функция распределения будет иметь вид произведения операторов п(р) и п(д):
' ::Л"»-/ / "'; / У;: ™
Здесь оператор /(д,р) не является эрмитовым, а соответствующая функция распределения /(д,р, = Ьг(/(д,р)р^)) является комплексной. Для ядра оператора (5) находим
(я'\ня,р)\я") = (я'\р)(р\я)(я\я"), \ (6)
а квантовое среднее от этого оператора имеет вид г'? - •
¡{д,р,1) = i¿У ¿у (я'\р)ш(я\я")(я"\№\я') = (р\я)(я\т\р). (7)
Функция Вигнера /\у(<7,Р, £) и функция /(д,р, ¿) "нормированы", как и классическая функция распределения:
1<13д(13рЫя,Р^) = 1<1"дс13р/(д,р,г) = 1 (8)
(строго говоря, интегралы в (8) не могут служить определениями норм функций и /), и имеют правильный классический предел при Л —> 0. Вместе с тем функция /\у(<7,Р, 0 не является положительно-определенной, а /(д,р, ¿), призванная задавать состояние системы наряду с волновой функцией, не является вещественной. Могут быть построены и другие, отличающиеся от рассмотренных выше функции распределения. Мы видим, что без решения задачи об отыскании семейства функций распределения, которому принадлежат функции /\у(<7, р, £) и/(д, р, без вывода и решения уравнений эволюции для семейства, анализа решений нельзя определить принципы отбора наиболее преимущественных распределений.
дема lb
¡ДПАПЛАЛ
404
л. с. кузьменков, с. г. максимов
В данной работе выводится обобщенная форма различных (q, р)-представлений квантовой механики, зависящая от произвольного параметра х € К. Функция распределения Вигнера /w(<7,P, t) и функция f(q,p, t) (7) входят в нее как частные случаи при значениях параметра х = 1/2 и х = 0, соответственно. Эволюция функции распределения fx(q,p, t) в обобщенном (q, р)-представлении находится в форме континуального интеграла. Показывается, что при варьировании канонических переменных q и р в классической функции Грина достаточно линейной части приращения функционала действия, а в квантовой функции Грина необходимо использовать полное его приращение. Существует единственное (q,p)-представление квантовой механики, в котором функционалы действия в функции Грина квантового уравнения Лиувилля соответствуют классической вариационной схеме. Это представление соответствует значению параметра \ = 0. Другое возможное представление, соответствующее х = 1> является дуальным представлению х — 0 и поэтому не рассматривается как самостоятельное.
2. ОБОБЩЕННОЕ (q, р)-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Наиболее общий вид "вигнероподобных" функций распределения можно вывести из следующих соображенией. Классическая микроскопическая функция распределения для динамической системы с s степенями свободы имеет вид произведения плотностей вероятности (4). Функция (4), с одной стороны, является динамической функцией, так как зависит от координат q(t) и импульсов частиц p{t), а с другой стороны, является полевой функцией переменных q и р. Формулу (4) можно представить в виде интеграла Фурье:, ^ iTiKi .Ч1;, iv -VH f.-j- .-linrjVH' ■ "^¡.«s (iiW.-» - и '■ ;>ivr
-J
ifi'КТД K"f ,iv(p-p(t))
d3ud3v
J gjj*-™ j
d3u
(2тr)«
2S exp{iav(p - p(t))}x
0iu(q-q(t)) _
(2тг)
хехр{г[(1-а>(р-р(0) + (1-^)и(9-д(0)]}ехр{г^(9-^))}, (9)
где an 0 - произвольные числа. Будем рассматривать квантовое обобщение формулы (9), при котором q(t) и р(£) в правой части заменяются на соответствующие операторы:
f(Q,p) = J
dsudsv ,. , -|2j exp {iav(p-p)/h}x
(2тг К)*
х ехр{г[(1 - а)у(р-р) + (1 - Р)и(д - /Л> ехр{^и(9 - д)/П}. (10)
Поскольку согласно тождеству Вейля справедливо соотношение
ехр{1(1 - а)у(р - р)/Н +{(1 - - ¿¡)/Ь} = «— " '
= ехр{-г'(1 - а)(1 - /3)ьи/2/г} ехр{г'(1 - а)ь(р-р)/Н) ехр{г(1 - ¡3)и^ - 9)/Л},
формула (10) дает операторное обобщение функции распределения в произвольном (<?>р)-представлении: , • • иг .«.к>:„у -
ё3и d3v
:(Ч,Р) = J
(2тт h)
2s
e-ixvu/beiv(p-p)/heiu(q-q)/h
(11)
Ol
где х = (1 приводит к параметра Найдем
(ч"\Мя,
Интеграл: жить Im х
а .1¡.'ЛИ
а вычисляв деления в i
РАСПР
Уравне] степенями этой функ] Шрединге]
Здесь [Я]
.ЙЫ'В)
a f(q,p,k
уравнения полному с
об обобщенном координатно-импульсном представлении 405
где х = (1 — а)(1 - /?)/2. Требование эрмитовости оператора (11) (/+ = /х) сразу же приводит к значению х = 1/2, и мы получаем функцию Вигнера }х=\/2 = Значение параметра х = 0 соответствует функции распределения (5), /х=о =/• ' '::
Найдем ядро оператора /х в обобщенном (</, ^-представлении. Имеем
(<г\Шр)Ю = 1 ^^ ... ... ....
= I I¿Яр,емр-р')/пемд-д')/п{д„|р')(р'|д') =
= (¿)7е"/ (^ - ~ - **>/»>• <12>
Интеграл в правой части (12) расходится при 1т х ф 0. Таким образом, следует положить 1ш х = 0. Тогда из уравнения (12) нахо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.