МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 539.3;534.134
© 2013 г. А. О. ВАТУЛЬЯН, А. А. ЛЯПИН ОБ ОБРАТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ЗАДАЧАХ ПОРОУПРУГОСТИ
Представлены общие подходы к исследованию обратных коэффициентных задач пороупругости на основе модифицированной модели Био. Построено обобщенное соотношение взаимности и сформулирован итерационный процесс для нахождения неизвестных коэффициентов. В качестве примера рассмотрена задача об установившихся продольных колебаниях неоднородной пороупругой слоистой среды, сформулированы интегральные уравнения для прямой и обратной задач. Приведены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению упругого модуля и модуля Био для различных законов изменения.
Ключевые слова: пороупругость, колебания, реконструкция неоднородных характеристик.
1. Введение. Изучением пороупругих сред ученые начали заниматься относительно недавно. Первые работы в данной области принадлежат М.А. Био [1]. Модель Био сегодня является одной из наиболее популярных моделей для описания пороупругой среды. Основными неизвестными в ней являются векторы смещений твердой и жидкой фаз.
Другой популярной моделью для описания пороупругой среды, насыщенной жидкостью, является модель, предложенная С. Коуином и Дж. Нунзиато. Первым шагом к этой модели стала их совместная работа [2], в которой авторами была рассмотрена линейная упругая среда с пустотами. Теория, предложенная в этой работе, существенно отличается от классической линейной теории тем, что объемная доля пор в соответствующем объеме принимается за кинематически независимую переменную. Устоявшийся вид модели, а также очень важная связь ее с моделью классической термоупругости, представлены в работе С. Коуина и Д. Чандрасэкхараиа [3]. В рамках данной модели также выполнено достаточное количество работ, посвященных исследованию колебаний легких конструкций из пористых материалов [4], исследованию колебаний пластин [5], исследованию процессов деформаций костных тканей, а также некоторых мягких тканей — хрящей, связок, сухожилий [6], методу граничного элемента в задачах пороупругости [7].
Настоящая работа посвящена модели неоднородной пороупругости, для которой коэффициенты являются функциями кооординат. При этом основное внимание уделено вопросу определения некоторых коэффициентов по данным частотного зондирования путем решения некоторых коэффициентных обратных задач.
2. Общая модель движения пороупругой среды. Рассмотрим установившиеся колебания ограниченного неоднородного пороупругого тела, занимающего объем V, ограниченного поверхностью Б. Колебания вызываются поверхностной нагрузкой, распределенной на поверхности Ба и потоками жидкости по поверхности Бк, граница Би жестко защемлена, а на поверхности Бр задано поровое давление.
Для описания движения данной среды в режиме установившихся колебаний рассмотрим модифицированную модель с учетом высокочастотных слагаемых [8]:
V-CT упр + ю2(р£-р f Г) • u-ЩЛ-Г] • p) + fs = 0
2 (2.1)
V^ (K •Vp) + p + iœ( Л-Г) ••£ + ff = 0 R
при этом определяющие соотношения имеют вид:
с = с упр - Лр, с упр = C ■■£, 0 = 9-1Л ••£--! p (2.2)
ф R
Г = -¿юрf К, Л = Л -Г, K = -mK ■ [-¿юЕ - Kmf ю2]-1, mf = т— (2.3)
Ф
где а — обобщенный тензор напряжений, © — объемное расширение жидкой фракции, 0 — объемное расширение твердой фракции, C — тензор модулей упругости, A — тензор модулей Био, K — тензор коэффициентов проницаемости среды, p, p f — плотность среды и плотность жидкости соответственно, ю — частота колебаний среды, u — вектор смещений среды, p — давление жидкости в порах, ф — пористость среды, R — гидростатическая константа, fs — вектор массовых сил в скелете, ff — источники давления в жидкости.
Граничные условия имеют вид
n ■ а = h, x e SCT; q = -n ■ K ■ Vp, x e Sh; u = 0, x e Su; p = p0, x e Sp (2.4)
где q — поток жидкости в порах на границе Sh.
Для определения различных коэффициентов системы требуется знать некоторую дополнительную априорную информацию на границе тела. Такой информацией могут служить значения амплитуд функций смещений uk или давления p в некотором диапазоне частот ю е [ю;, юг].
Одним из этапов при решении обратных задач для определения коэффициентов дифференциальных уравнений является вывод соответствующих нелинейных операторных уравнений, связывающих известные и определяемые характеристики. Есть несколько путей для вывода таких уравнений, одним из которых является основанный на базе обобщенного соотношения взаимности для данной среды [9].
3. Обобщенное соотношение взаимности. В обратных задачах неизвестными являются не только компоненты физических полей-смещений и давления в порах, но и физические характеристики среды. Для этой ситуации возможна формулировка обобщенного соотношения взаимности, основанная на общих для линейной механики принципах, которое возможно получить из основных уравнений. Для этого рассмотрим два состояния среды, являющихся решениями основной краевой задачи (2.1)— (2.4). Будем различать эти состояния с помощью верхнего индекса. Тогда система (2.1) для обоих состояний в компонентах примет вид
(c^b - a£m)/%+(p(m)®2 -pimvrimvm+fm)=0
(m)2 (3 1)
(Kjj + m^ p{m) + ¿•юЛ(m)u(m) + f(m) = 0, m = 1, 2 R
где обозначено ^Ij = - Г j.
Умножим первое уравнение первой системы в (3.1) на u(2), а первое уравнение второй системы на u(1), вычтем результаты и проинтегрируем по объему тела V. Аналогично поступим со вторыми уравнениями системы (3.1), но домножая их на p(1) и p(2) соответственно. Тогда, используя формулу Гаусса—Остроградского для преобразования объемных интегралов в поверхностные, получим соотношение взаимности для пороупругой среды
f (Л(2) - Л(1) -p(2) - h(2)pm))dS + J
S
I ( j - j^ - (Af - ÀiïW2^ + p(1) j -
+
V
(_(2) _(2)r(2) _(1) + P(1)r(1)y 2 (2W1) + ( к(2) K-(lk n(l) n(2) + (32)
- (P -Pf Г ii -P +Pf Г ii )® ui ui + (Kij - Kij )P,j P,i + (3.2)
Л(1)2 ф(2)2 ^
+ Î&
R(l) r(2) y
p(1)p(2) + f.(1)u(2) - f.(2)u(1) + f(1)p(2) - f(1)p(2))dV = 0
Эту форму соотношения взаимности можно использовать для построения итерационных процессов и получения соответствующих интегральных уравнений для определения поправок для искомых коэффициентов.
Для примера далее рассмотрим задачу об установившихся колебаниях пороупругого неоднородного по толщине слоя.
4. Постановка задачи о колебаниях пороупругого неоднородного слоя. Рассмотрим плоскую деформацию трансверсально-изотропного неоднородного пороупругого слоя, занимающего область (х^ е (-да, +да),хз е [0,Н]}, под действием системы нагрузок на верхней грани в режиме установившихся колебаний.
Исходя из уравнений (2.1), систему уравнений для описания колебаний можно представить в виде
СПМ1,11 + (С13И3Д1 + (С55[И13 + Мзд]),з - Апрд + (р-р/Гп)ю2М1 = 0
(С1зМ1Д + СззЩз)з + С55(М131 + М3Д1) - (ААзз р)з + (р-р/Гзз)ю2«з = 0 (4.1)
ф 2
Кцр.п + (КззР,з),з + гга(АпМ1д + А33М33) + гю^- р = 0
К
Граничные условия задачи запишем в форме
Озз(хь Н) = ^(хО, С1з(х1, Н) = /2(^1), д3(х1, Н) = Т^) (4
и1(х1,0) = мз(х1,0) = q3(x1,0) = 0, х1 е [-да, +да]
Отметим, что порядки материальных констант (и функций), входящих в систему (4.1), весьма сильно (на несколько порядков) различаются между собой. Введем следующие безразмерные параметры и функции:
х = 5Н, ик = икН, р = Р • Р*, к2 =Р^2Н!, р . © = ^^
^ 7 к к ^ ^ша^ ^тах
С33 С33
*©=сш^ у4©=Ссзшшах2, у5©=cшx), у7(6)=сШт
Сзз С33 С33 С33
(4.3)
V у (6) = ^ г у (х), , у (6) = КШх), «(6) =
р ~ к37х V р я(х)*3Т
АМ)н СзТ
Пу© =
р
С учетом обозначений (4.3) система уравнений (4.1) представима в виде
YxUi.li + у^и3,31 + (у+ изД]),з - (р1Р)д + к2(1 - = 0
(У у^д + у 4и з,з),з + У5(и1,31 + и3,11) - (взР).з + к2(1 - Vз)Uз = 0 (4.4)
;к5Р + M-1p.11 + (мзР.з),з + 1к(ти1,1 + Пзи з,з) = 0
Применим к (4.4) и соответствующим граничным условиям интегральное преобразование Фурье по переменной . Для решения краевой задачи для преобразованной по Фурье системы использован метод стрельбы. Решая ее на некоторой сетке изменения параметра а1 е [а;, аг] и далее обращая интегральное преобразование Фурье, находим исходные компоненты физических полей.
5. Толщинные колебания. Особый интерес с точки зрения исследования обратной задачи представляет исследование преобразованной по Фурье системы (4.4) при а1 = 0, характеризующей толщинные колебания. В этом случае система (4.4) приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(У 5ии),з +к2(1 -^1 = 0
(у4Ц!,3),3 - ф3л,3 + к2(1 - v3)U3 = 0, ;к5Р + (Ц3РР3),3 +;кпзЦ/з,з = 0
Изучим более детально краевую задачу для (5.1). Первое уравнение относительно и1 отделяется, и далее основное внимание уделим системе относительно из, Р с граничными условиями
из(0) = Р '(0) = 0, Р '(1) = 0, у4из,з(1) = Г (5.2)
Ее решение при известных законах изменения физических характеристик построено при помощи метода стрельбы.
6. Идентификация свойств неоднородного пороупругого слоя. Исследование задачи о реконструкции характеристик пороупругого слоя обладает своей спецификой по сравнению с задачей об упругом слое [11].
Рассмотрим две задачи об определении безразмерного упругого модуля у 4 и модуля Био рз неоднородного пороупругого слоя в режиме толщинных колебаний. Для описания колебаний среды воспользуемся системой уравнений (5.1). Пусть известны значения перемещений среды на верхней границе в некотором диапазоне частот:
;'к5Р + (|3Р,3),3 + 1кцзизз = 0
(у4из,з),з -рз^з + к2(1 -vзЦ/з = 0
и(0) = рз(0) = 0, Рз(1) = 0, у 4из,з(1) = Г .
и(1 к) = /(к): ке [к, , к ]
При выводе соотношения взаимности (3.2) рассматривалось два состояния среды. Проведем линеаризацию задачи в окрестности некоторого начального состояния для обезразмеренного соотношения взаимности:
и(1) = и0, и(2) = и 0 +ЕИ1; Р(1) = Р0, Р(2) = Р0 + еР1 (6.2)
1.10 -
1.08 -
1.06 -
1.04 -
1.02
1.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Фиг. 1
Для первой и второй задач примем соответственно
(1) 0 (2) 0,1 У 4 = У 4, У 4 = У 4 + £У 4
в31) =Р0, в32) = в0 + БР3
(6.3)
(6.4)
где у 4 и в0 — есть некоторые начальные приближения безразмерных модулей у 4 и вз, а и0 и P0 — им отвечающие решения системы, е — формальный параметр. Под
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.