ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, < 4, с. 624-627
УДК 519.624.2
ОБ ОБЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ САМОСОПРЯЖЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2009 г. А. А. Абрамов*, В. И. Ульянова*, Л. Ф. Юхно**
(*119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; **125047 Москва, Миусская пл., 4а, ИММ РАН) e-mail: alalabr@ccas.ru Поступила в редакцию 01.10.2008 г.
Рассматривается общая нелинейная самосопряженная спектральная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предлагается метод сведения такой задачи к задаче для гамильтоновой системы. Приводятся результаты перенесения на такую систему результатов для гамильтоновых систем, полученных авторами ранее. Библ. 3.
Ключевые слова: гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейная спектральная задача, собственные значения.
1. ПОСТАНОВКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ Рассмотрим следующую нелинейную спектральную задачу. Уравнение имеет вид
iM(t)y + 2M(t)y + B(t, X)y = 0, (1)
где a =s t =s b, M : [a, b] —► С" x ", B : [a, b] x (Л1, Л2) —► С" x " (не исключено, что Л1 = или
Л2 = y : [a, b] —- С" при фиксированном X, M(t) непрерывно дифференцируема, B(t, X) непрерывна, M(t) невырожденна при всех t. Граничные условия имеют вид
f (X) y (a) + g (X) y (b) = 0, (2)
где f : (Л1, Л2) —- С" x ", g : (Л1, Л2) —► С" x ", rank||f(X), g(X)|| = n для всех X.
Предполагается, что задача (1), (2) является самосопряженной, т.е. что M(t) = M*(t) для всех t, B(t, X) = B*(t, X) для всех t и X и что граничные условия удовлетворяют требованию
f(X) M-\a) f *(X) = g(X) M- (b )g *(X) (3)
для всех X.
Дополнительно будем предполагать определенную монотонность исходных данных по X, а именно:
B(t, X) не убывает по X для всех t. Это означает, что из неравенства X1 > X2 следует неравенство B(t, X1) > B(t, X2) при всех значениях t. Последнее же неравенство означает, что эрмитова матрица B(t, X1) - B(t, X2) неотрицательно определена;
граничные условия удовлетворяют следующему соотношению:
i{[df (X)/dX]M~\a) f *(X) - [dg(X)IdX]M~\b)g*(X)} s* 0 (4)
для всех значений X. (Нетрудно проверить, что матрица в левой части этого неравенства является эрмитовой, так что неравенство имеет смысл.)
Для простоты изложения будем полагать функции f(X) и g(X) гладкими.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 08-01-00139, 08-01-00069).
ОБ ОБЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ САМОСОПРЯЖЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ
625
Здесь переменная X обозначает спектральный параметр. Значения X, для которых существует нетривиальное решение задачи (1), (2), называются собственными значениями (СЗ) задачи, соответствующие решения у(г) - собственными функциями, число линейно независимых собственных функций, соответствующих какому-либо СЗ, называется кратностью этого СЗ.
Будем предполагать, что каждое СЗ рассматриваемой задачи изолированное.
Приведем способ преобразования этой задачи к задаче для гамильтоновой системы порядка 2п, рассматриваемой на отрезке [а, с], где с = (а + Ь)/2. Полученная после преобразования задача будет удовлетворять всем требованиям, при которых в работах [1]-[3] были исследованы ее свойства.
Сделаем в (1), (2) замену
у(г) = Я(г)г),
где Я : [а, Ь] —► Сп х п, Я(г) непрерывно дифференцируема, ёйЯ(г) Ф 0 для всех г. Умножив полученное из (1) уравнение слева на Я*(г), получим уравнение
iR* (t) M( t) R (t) z'( t) + 2 (R* (t) M (t) R (t))' z + Q (t,X) z = 0,
(5)
где
0 = 2 [Я*МЯ - (Я)*МЯ] + Я*вя.
Уравнение (5) эквивалентно уравнению (1) и удовлетворяет всем указанным выше требованиям.
Выберем функцию Я(г) так, чтобы Я*(г)М(г)Я(г) = S, где 5 - постоянная матрица на [а, Ь], 5 = 5*. Это возможно, так как индексы инерции матрицы М(г) не меняются с изменением г. (Практическое решение этой вспомогательной задачи будет рассмотрено в разд. 2.) В результате получится уравнение
iSz' + Q(t, X)z = 0.
(6)
Введем на отрезке [a, c] следующие функции: Q (t, X) = Q(a + b - t, X), w1(t) = S(z(t) - iz(a + b - t)),
wi( t)
w2(t) = iz(t) - z(a + b - t), w(t) =
где
W2( t)
. Получим на отрезке [a, c] систему 2n уравнений вида JW = A(t, X)w, (7)
A =
s ^Q+Q s 1
Q- Q S1
iS
i Q-Q
-i
2
Q + Q
J =
0 -1 I 0
I - единичная п х п-матрица. Система (7) удовлетворяет всем требованиям, предъявленным к системе (1).
Граничные условия (2) перейдут в условия
Уа (X) ^ (а) = 0, усм> (с) = 0, (8)
где
¥ a (X) = ||( f (X) R (a) + ig(X) R (b)) S~\ - g (X) R (b) - if (X) R (a )||, ¥ c =I, SI,
rank¥a(X) = n для всех X, rank¥c = n. Требование (3) перейдет в условие ¥a(X) J(X) = 0, второе из условий (8) удовлетворяет требованию ycJ¥c* = 0. Требование (4) перейдет в условие (dya(X)/dX) J ¥ * (X) < 0, а ¥c от X не зависит.
626
АБРАМОВ и др.
Таким образом, для нелинейной спектральной задачи (7), (8) выполняются все условия, при которых в [1]-[3] изучались свойства такой задачи. Из этих результатов, в частности для задачи (1), (2), получается эффективный метод вычисления количества СЗ с учетом их кратности, лежащих на интервале (Хх, Х2), если Хх и Х2 не являются СЗ этой задачи; сами СЗ при этом не вычисляются.
В [1] отмечено, что понятие номера СЗ задачи для гамильтоновой системы с граничными условиями, зависящими от спектрального параметра, не вводится (причина этого поясняется в [3]). Для общей самосопряженной спектральной задачи, рассматриваемой в настоящей работе, понятие номера не вводится и в том случае, когда граничные условия не зависят от спектрального параметра. Причина этого в следующем.
Как показано в разд. 1, общая задача приводится к задаче для гамильтоновой системы с помощью замены искомых функций. Эта замена может осуществляться различными способами, так что при этом могут получиться различные задачи для гамильтоновых систем. Эти задачи будут эквивалентны и тем самым будут иметь одни и те же СЗ. Однако номера соответствующих СЗ этих задач, определяемые в соответствии с [1], а также [3], могут не совпадать.
Пример. Рассмотрим задачу
гу' = Ху, 0 ^ г ^ 2п, у(0) - у(2п) = 0, п = 1. (9)
В этой задаче СЗ - все целые числа. Задача (1.9) приводится к задаче для гамильтоновой системы вида
= Х w1,
^ (0) - w2 (0) = 0, w1 (п) - w2(п) = 0. (10)
w1 = Х w2,
Задачу (10) заменой
w1 = м1ео8 тг - м^т тг, w2 = м^т тг + м2ео8 тг,
где т целое, приведем к задаче
-м2 = (Х + т) м,
м1(0) - м2(0) = 0, м1(п) - м2(п) = 0. (11)
и1 = (Х + т) м2,
В соответствии с определением, данным в [1], СЗ Х задачи (10), равное к, имеет номер к, в то время как это же СЗ Х в задаче (11) имеет номер к + т. Переход от задачи (10) к (11) соответствует замене у(г) = ешг(г) в задаче (9). В результате получается задача
гг' = (Х + т)г, г(0) -г(2п) = 0.
Таким образом, здесь для двух эквивалентных задач номера одних и тех же СЗ не совпадают.
По этой причине для общей задачи, рассматриваемой в настоящей работе, не вводится и понятие индекса (см. [3]).
Таким образом, номер СЗ спектральной задачи для гамильтоновой системы определяется только для самой задачи в ее исходной форме, без преобразования к эквивалентной системе.
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
В разд. 1 для приведения уравнения (1) к виду (6) с постояннной матрицей 5 использовалась функция Я(г) такая, что Я*(г)М(г)Я(г) = 5 для всех значений г. В ряде случаев такая функция, определяемая, разумеется, неоднозначно, может быть построена чисто алгебраическими методами. Рассмотрим здесь один способ построения такой функции, несложный при численной реализации методов, упомянутых в разд. 1.
Возьмем какое-либо г0 е [а, Ь]. Составим для вычисления Я(г) задачу Коши, а именно рассмотрим уравнение
Я (г) = -] ыл( г) М (г) Я
ОБ ОБЩЕЙ НЕЛИНЕИНОИ САМОСОПРЯЖЕННОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ 627 с начальным условием
Я (г о) = Яо,
где Я0 - произвольная невырожденная п х п-матрица. Эта задача Коши имеет решение, определенное на всем отрезке [а, Ь], Я(г) невырожденна при всех г, и имеет место равенство
(Я*МЯ)' = (Я') *МЯ + Я*МЯ + Я *МЯ' =
= — Я * М' ММЯ + Я* М' Я -1 Я* МММ Я = 0, 22
что и требовалось.
Если взять Я0 = I, то 5 = М(г0). Если несложно привести матрицу М(г0) преобразованием
Я* М(г0)Я0 к виду, более простому для последующего использования ее при вычислениях, то
естественно взять именно это Я0.
Отметим, что при рассмотренном здесь способе построения Я(г) выражение для 0(г) в уравнении (6) упрощается, а именно становится вида 0 = Я*ВЯ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов A.A. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоно-вых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 1. С. 29-38.
2. Абрамов A.A., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. О некоторых свойствах нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 638-645.
3. Абрамов A.A., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Об индексе краевой задачи для однородной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 3. С. 490-497.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.