ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 1-2, с. 27-37
= ЯДРА
ОБ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИХ ФАКТОРАХ
СФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР
2015 г. Н. В. Гнездилов1),2), Э. Е. Саперштейн1)*, С. В. Толоконников1),3)
Поступила в редакцию 10.06.2014 г.
В рамках самосогласованной теории конечных ферми-систем, с использованием метода энергетического функционала плотности Фаянса, рассчитаны полные одночастичные спектроскопические факторы для семи дважды магических ядер (40Са, 48Са, 56№, 78№, 1008п, 132Бп, 208РЬ) и цепочки полумагических четных изотопов свинца 188-212 РЬ. Спектроскопический фактор выражается через Z-фактор — вычет одночастичной функции Грина в одночастичном полюсе. Вычисленный в данной работе полный Z-фактор содержит в себе как эффекты связи с фононами (СФ), так и объемный Z-фактор, который вызван зависимостью массового оператора от энергии, не связанной с поверхностными фононами. Объемный Z-фактор имеет тот же порядок величины, что и вклад СФ. Объемный эффект слабо зависит от рассматриваемого ядра и одночастичного состояния Л. Фононный вклад в полный спектроскопический фактор, напротив, меняется от состояния к состоянию и от ядра к ядру.
DOI: 10.7868/80044002715010092
1. ВВЕДЕНИЕ
В подходах, использующих идеологию и терминологию модели оболочек, важной характеристикой низколежащих состояний нечетных ядер является так называемый одночастичный спектроскопический фактор, который определяет вес одночастичной компоненты в рассматриваемом состоянии [ 1 ]. Особенно прозрачна картина в дважды магических ядрах, в которых отсутствует спаривание, поэтому нет необходимости описывать ядерные состояния на языке боголюбовских квазичастиц и интерпретация рассматриваемых состояний как одночастичных имеет наибольшие основания.
В теории ядра, основанной на методах теории многих тел, см., например, [2, 3], одночастичный спектроскопический фактор Б\ в состоянии |Л) = \и,1,],ш) определяется диагональным матричным элементом Б\ = Zлл так называемого Z-фактора — вычета одночастичной функции Грина С(г1, г2; е) в точке е = ел, где ел — соответствующая одночастичная энергия:
''Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия.
2)Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", Москва, Россия.
3)Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный, Россия.
E-mail: saper@mbslab.kiae.ru
£(гь г2; е) — массовый оператор, который входит в уравнение Дайсона:
С = Со + Со'ЕС, (2)
где Со = (е - ек)-1, ек = к2/2ш. В (1) и (2) мы используем обозначение для массового оператора, принятое в теории конечных ферми-систем (ТКФС)[4].
Обычно при вычислении спектроскопического фактора, см. [3] или недавние работы [5, 6], предполагается, что зависимость массового оператора от энергии возникает исключительно благодаря связи частиц с низколежащими поверхностными колебаниями — "фононами". Этот вклад в спектроскопические факторы был рассчитан и нами в рамках самосогласованной ТКФС [7, 8] в работе [9], посвященной в основном расчету одночастичных спектров магических ядер. Однако в самосогласованной ТКФС изначально учитывается также зависимость массового оператора от энергии, которая не связана с поверхностью ядра и обусловлена вкладом объемных колебаний типа гигантских резонансов и других возбуждений нуль-звуковой природы. Соответствующий Z-фактор, назовем его объемным, примерно равен Z-фактору для ядерной материи. Как мы увидим, объемный вклад в полный Z-фактор (1) того же порядка, что и вклад эффектов связи с фононами (СФ). Объемный эффект слабо зависит от рассматриваемого ядра и от состояния Л, в то время как вклад СФ сильно меняется от состояния к состоянию и от ядра к ядру. В частности, он в среднем увеличивается при
переходе от магических ядер, где главный эффект СФ обусловлен фононом 3-, к немагическим, в которых доминирует вклад фонона 2+.
В разд. 2 кратко изложен квазичастичный ла-гранжев формализм [7], позволяющий рассчитать объемную часть 2-фактора. Затем показано, как этот подход связан с методом энергетического функционала плотности (ЭФП) Фаянса и др. [10— 12], который мы используем в расчетах. Раздел 3 посвящен краткому описанию метода расчета вкладов СФ в 2-фактор. Результаты расчетов представлены в разд. 4. В разд. 4.1 рассмотрены семь магических ядер от 40 Са до 208РЬ, а в разд. 4.2 — цепочка полумагических изотопов свинца. Наконец, раздел 5 содержит обсуждение результатов и заключение.
2. ОТ КВАЗИЧАСТИЧНОГО ЛАГРАНЖИАНА К ФУНКЦИОНАЛУ ЭНЕРГИИ
Развитая в [7] самосогласованная ТКФС стартует с квазичастичного массового оператора £д, который, по определению [4], совпадает с точным массовым оператором £ вблизи поверхности Ферми. В смешанном координатно-импульсном представлении оператор £д(г, к2; е) зависит линейно от квадрата импульса к2 и энергии е [4, 7]:
£д(г, к2; е) = (3)
= £о(г) +
1
2тер
к£!(г)к + £2(г)-
йгф*х(г)фл(г) (1 - £2(г)) = ¿АЛ'
По определению,
дек
£2(г) = ер
о д£(г,к2; е)
де
(7)
где нижний индекс "0" означает, что все переменные взяты на поверхности Ферми. Таким образом, компонента Х2 определяет 2-фактор (1):
2(г) = (1 - Х2(г)/е°)
0 л-1
(8)
а обратная эффективная масса у поверхности Ферми равна:
(1 + £1(г)/еР)
т
ш*(г) (1 - Е2(г)/4) '
(9)
В соответствии с (6) и (7) величину, обратную числителю этого выражения, называют "к-массой", а знаменатель — "_Е-массой".
Часто удобно использовать функции
Фл(г) = 2-1/2(г)фл(г), (10)
имеющие обычную нормировку. Они подчиняются уравнению
Нд Фл = елфл, (11)
где оператор
к2
Н = 21/2(г)
2т
где ер = (кр)2/2т — энергия Ферми ядерной материи (соответственно кр — импульс Ферми ядерной материи). Изотопические индексы в (3) и в большинстве нижеследующих соотношений для краткости опущены.
Для учета эффектов зависимости массового оператора от энергии удобно использовать лагран-жев формализм. Именно этот путь выбран в [7], при этом квазичастичный лагранжиан Ьд [Фл, Фл] был сконструирован так, чтобы соответствующие уравнения Лагранжа приводили к уравнению движения для функций Фл(г,£) = фл(г)ехр(гел£), диагонализующих квазичастичную функцию Грина Од = (е — ек — £д)-1. Используя квазичастичный массовый оператор (3), получаем
ад-^оУ£1(г)У + £2(г)|)^= (4)
= елфл,
причем функции фл ортонормированы с весом:
+
1
2тер
к£1(г)к
+ £о(г) + 21/2(г)
(12)
имеет смысл квазичастичного гамильтониана.
Чтобы получить уравнения (4) для квазичастичных волновых функций фл в магических ядрах, которые не являются сверхтекучими, плотность лагранжиана Сд, Ьд = / йгСч(г), должна зависеть от трех плотностей ^(г), г = 0,1,2. Первые две являются аналогами плотностей р(г) и т(г), использующихся в методе Скирма—Хартри—Фока (СХФ) [13], тогда как плотность ^2(г) — новый ингредиент самосогласованной теории. Явный вид плотностей следующий:
Ыг) = V Плф*л (г)фл (г),
(13)
Ыг) = —
2тер
^плУф*л (г)Щл(г), (14)
(5)
"2(г) = \ ^ПХ£\Ф1{г)Ф\{т), (15)
ер
где ел и пл — квазичастичные энергии и числа заполнения, пл = (0,1).
0
0
е
1
Лагранжиан взаимодействия Ь'д построен так, чтобы его вариации по плотностям щ давали компоненты £••:
ÖL
5]. =_£
5vi '
(16)
В [7] был предложен квазичастичный лагранжиан, квадратичный по плотностям V и содержащий член с плотностью и0 в третьей степени, чтобы учесть зависимость от плотности главной компоненты эффективного взаимодействия квазичастиц
Лоо (ri, Г2)
öL'q
ÖVo(ri)ÖVo (Г2)'
Был сделан еще один шаг по упрощению "малой" части лагранжиана, содержащей плотности v1 и ^2, — удержание только тех членов, в которых эти плотности входят в первой степени. Тем самым был выбран квазичастичный лагранжиан простейшего вида, учитывающий эффекты зависимости массового оператора от энергии:
С'а = -С0 ( T^OÄqo^O + ~~ Vq +
J_
6 Po'
r)
Как легко видеть, она не содержит плотности v2: "1
Eint — C0
Y 3
+ Aoi^o^i + 7—v0 6 Po
и переходит в СХФ-функционал энергии при замене vo(r) ^ p(r), vi (r) ^ т(r).
Обычная плотность р(г), нормированная на полное число частиц, пропорциональна плотности щ:
Рт(г) = (1 - £2(г)) ^(г) = (г))-1ит0 (г), (23) где т = и, р.
Чтобы не вводить много новых параметров, в [7] было выбрано ЛО1 = Л02 = 0. Тогда, очевидно, компоненты массового оператора £1 и £2 не зависят от т и являются функцией суммарной плотности
vn + v0 :
(17)
£2 (r) —
ÖLn
V (r)
CoAo2V+(r)
(24)
Переписав соотношение (23) для р+ = рп + рр и используя (24), можно найти явную зависимость Z-фактора от нормированной обычным способом плотности:
гт(г) =- 2 =. (25)
(18)
+ ÂoiVoVi + Âo2VoV^ ,
где только амплитуда Aoo — оператор конечного радиуса:
Âoo(ri, r2) — Âoo(1 + r^Ai)ö(ri, r2). (19)
Константа Co — (dn/deF)_i — n2/mkF в (18) — стандартный для ТКФС размерный фактор (обратная плотность состояний на поверхности Ферми).
Амплитуды Хгк в (18) и (19) — изотопические матрицы:
Aifc — Хгк + КкТiT2. (20)
Полная энергия взаимодействия находится для лагранжиана L'q по каноническим правилам:
Eint — J Eint(r)dr — (21)
ÖL
1 + ^1 - 4С0Л02Р+(г)/е£
При подстановке
VI (г) = Zт (Р+ (г))рт (г) (26)
в (22) получаем довольно сложную зависимость функционала энергии от плотности, значительно более сложную, чем в функционалах СХФ, главная часть которых, отвечающая вкладу центральных сил, имеет очень простой вид:
2
(27)
ар2
где а, а, а — параметры.
Усложнение функционала ТКФС (22) по сравнению с (27) — результат учета зависимости квазичастичного массового оператора от энергии, и трудно себе представить, чтобы она могла быть предложена в качестве "анзаца". Связь между плотностью v1(г) и плотностью кинетической энергии метода СХФ т(г) более сложная и содержит градиенты плотности Р(г) [7]:
VI (г) = Z (г)гт (г) + (28)
1 (Ш - / р+
+
4meF dp+
->Xoo{v20-r2p(Vvo)2)+ (22)
Параметры лагранжиана (18) были найдены в [7] на основе анализа полных энергий связи, радиусов и одночастичных спектров магических ядер от 40Ca до 208Pb. Найденные значения Aoi = 0.31 и A02 = —0.25 отвечают следующим значениям характеристик ядерной материи: m0 = 0.95m и Z0 = = 0.8. Последнее значение хорошо согласуется с тем, что было найдено в [14,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.