ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1530-1544
УДК 519.63
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНДЕКСА
© 2015 г. С. В. Гайдомак
(664033 Иркутск, ул. Лермонтова 134, ИДСТУСО РАН) e-mail: gaidamak@icc.ru Поступила в редакцию 03.09.2014 г.
Исследуется линейная дифференциально-алгебраическая система уравнений в частных производных первого порядка с произвольным индексом. Понятие индекса системы определяется максимальной в области определения степенью элементарных делителей, соответствующих нулевым и бесконечным корням характеристического многочлена матричного пучка, построенного по коэффициентам дифференциально-алгебраической системы. Численное решение дифференциально-алгебраических систем высокого индекса до сих пор остается нерешенной проблемой. Настоящая работа направлена на ее решение. Предлагается итерационный алгоритм численного решения, основанный на специальном расщеплении матричного пучка и применении к расщепленной дифференциально-алгебраической системе метода последовательных приближений. Доказывается устойчивость алгоритма. На тестовых примерах демонстрируется его эффективность. Библ. 15. Фиг. 1.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраические системы с частными производными, алгоритм численного решения, случай произвольного индекса.
DOI: 10.7868/S0044466915060058
ВВЕДЕНИЕ
Известно (см., например, [1]), что решение линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных зависит от начально-краевых условий, правой части системы и от их производных. Максимальный порядок производных исходных данных начально-краевой задачи для такой системы на единицу меньше ее индекса (см. [1], [2]). Поэтому любая разностная схема, например, трехточечная, схема первого порядка (см. [3]) или сплайн-кол-локационная разностная схема высокого порядка (см. [4]), записанная для дифференциально-алгебраической системы, каждый параметр индекса которой превосходит единицу, будет содержать в своем решении разностные производные. В некоторых частных случаях, в силу структуры матричных коэффициентов, решение разностной схемы может зависеть от разностных производных только вблизи границ области определения. В этом случае при ее численном решении возникают "пограничные слои ошибок" или точнее слои неразрешимости разностной схемы (см. [1], [2]). При решении системы общего вида "пограничные слои ошибок" заполняют всю область решения (см. [2]). Поэтому при численном решении дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных с высоким индексом подход, основанный на аппроксимации исходной граничной задачи разностной схемой, практически непригоден (см. [2]). Известно, что при решении неэволюционных уравнений эффективны итерационные методы (см., например, [5], [6]). Для численного решения рассмотренных в работе задач также предлагается итерационный алгоритм. Предварительно специальным образом расщепляются коэффициенты системы, а затем к расщепленной системе применяется метод последовательных приближений. Возникающая на каждом итерационном шаге начально-краевая задача аппроксимируется устойчивой неявной сплайн-коллокационной разностной схемой из [4]. В результате строится устойчивая неявная итерационная сплайн-коллокационная разностная схема. Полученная схема при определенных условиях является эффективной и при ее реализации не возникают "пограничные слои ошибок".
1530
При доказательстве теоремы об устойчивости итерационной сплайн-коллокационной разностной схемы применяется та же техника, что и при доказательстве устойчивости сплайн-кол-локационной разностной схемы в [4].
Работа состоит из четырех разделов. В первом из них рассматривается начально-краевая задача для линейной дифференциально-алгебраической системы и формулируются необходимые сведения. В разд. 2 строится итерационная сплайн-коллокационная разностная схема. В разд. 3 доказывается устойчивость предложенного алгоритма и в заключительном разделе анализируются результаты численного решения тестовых задач предложенным методом.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим линейную дифференциально-алгебраическую систему уравнений в частных производных вида
А(х, г)дги + В(х, г)дхи + С(х, г)и = /, (1)
где A(x, 1), B(x, 1) и С(х, 1) — заданные квадратные матрицы-функции порядка п, тождественно вырожденные в области определения У = [х0; X] х [10; Т) с К2;/=/(х, 1) — известная, а и = и(х, 1) — искомая п-мерные вектор-функции, /(х, 1) = (/1(х, 1), /2(х, 1), ..., /п(х, 1))т, и(х, 1) = (и1(х, 1), и2(х, 1), ..., ип(х, 1))т. Предполагаем, что элементы матрицА(х, 1), В(х, 1), С(х, 1) и свободного члена /(х, 1) являются достаточно гладкими в своих областях определения.
В основе исследования системы (1) лежит структурная форма матричного пучка
? (к, х, г) = А (х, г) + кВ(х, г), (2)
где к — некоторый вещественный или комплексный параметр. Дадим определение ж-гладко-эк-вивалентных пучков.
Определение 1 (см. [7]). Два пучка квадратных матриц ?(к, х, 1) и 5? (к, х, 1) = А (х, 1) + к В (х, 1) порядка п с элементами из Сж(У), где к — параметр, называются ж-гладко эквивалентными, если существуют квадратные матрицы Р(х, 1) и 0(х, 1) порядка п, которые не зависят от к и удовлетворяют следующим условиям:
1) элементы Р(х, 1) и 0(х, 1) принадлежат Сж(и);
2) У(х, 1) е и существуют Р-1(х, 1) и 0-1(х, 1);
3) справедливо соотношение Р(х, 1)?(к, х, 1)0(х, 1) = (к, х, 1) У(х, 1) е У.
Известно (см. [7]), что пучок (2) ж-гладко эквивалентен канонической форме, близкой по своей структуре к форме Кронекера регулярного пучка постоянных матриц, при выполнении определенных условий.
Теорема 1 (см. [7]). Пусть выполнены следующие условия:
1) все корни характеристического многочлена ёе1?(к, х, 1) являются вещественными и имеют постоянную кратность в области определения У;
2) старший коэффициент многочлена ёе1?(к, х, 1) относительно параметра к не обращается в нуль ни в одной точке области У;
3) ранги матриц А(х, 1) и В(х, 1) являются постоянными в каждой точке области У и меньше размерности п.
Тогда пучок ?(к, х, 1) является ж-гладко эквивалентным пучку следующего канонического вида:
^ {Е, м(х, г), Ер} + к^ {1(х, г), е, Щ(х, г)}, (3)
где Ей — единичная матрица порядка й; М(х, 1) и Щх, 1) — верхние (правые) треугольные блоки с нулевой диагональю порядка I и р, соответственно; 0? — квадратная нулевая матрица порядка I; J(x, 1) = ё1а§^(х, 1), J2(x, 1), ..., Js(x, 1)} — блочно-диагональная матрица порядка й, в которой Jv(x, 1),
V = 1, 2, ..., ж — невырожденные матрицы порядков соответственно, й = _ 1 dv ; каждый блок Jv
имеет единственное собственное значение 1/к^х, 1) в области определения У; к^х, 1) — собственные значения характеристического многочлена ёе1?(к, х, 1), не обращающиеся в нуль в области У; р = п — й — I.
Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 потребовать выполнение следующего равенства: гапк(В(х, 1)) = = ёе§(ёе1?(к, х, 1)) или равенства гапк(А(х, 1)) = ёе§(ёе1 ? (к, х, 1)), где ? (к, х, 1) = кА(х, 1) + В(х, 1),
1532
ГАЙДОМАК
тогда пучок ^(Х, х, 1) будет «-гладко эквивалентен пучку (3), в котором ^х, 1) = О; или М(х, 1) = Ор, соответственно. В этом случае будем говорить, что пучок ^(Х, х, 1) удовлетворяет критерию "ранг-степень" (см. [8]).
Далее будем предполагать, что пучок матриц-функций ^(Х, х, 1) системы (1) удовлетворяет условиям теоремы 1.
Индекс пучка ^(Х, х, 1) (или индекс системы (1)) определим парой (кь 0), где к1 — максимальная степень в области определения У элементарных делителей пучка (2), соответствующих его нулевым и бесконечным корням. Параметр к1 характеризует регулярное ядро пучка (2). Второй параметр указывает на отсутствие сингулярной составляющей. Он равен нулю, поскольку пучок (2) в рамках настоящей работы предполагается регулярным в каждой точке области У.
При задании начально-краевых условий для системы (1) будем учитывать направления характеристических кривых, которые в данном случае находят из уравнения ёе^хЛ — (В) = 0. Поскольку в настоящей работе будут рассматриваться системы только с положительным направлением характеристических кривых, то начально-краевые условия будем задавать на левой и нижней границе прямоугольной области У:
и (х0, г) = г), и(х, ) = ф(х), (4)
где вектор-функции и ф(х) предполагаются достаточно гладкими в своих областях определения. Считаем, что начально-краевые условия (4) согласованы в точке (х0, 10) до необходимого порядка.
Цель настоящей работы состоит в разработке устойчивой во всей области определения итерационной разностной схемы высокого порядка аппроксимации для численного решения начально-краевой задачи (1), (4).
2. ИТЕРАЦИОННАЯ СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИОННАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА
По сделанному выше предположению пучок (2) удовлетворяет условиям теоремы 1. В этом случае найдутся матрицы Р(х, 1) и 0(х, 1) из определения 1, которые преобразуют пучок (2) к канонической форме (3). Тогда пучок (2) можно расщепить на два составляющих его пучка:
^(X, х, г) = х, г) + х, г),
(X, х, г) = л,(х, г) + ХВ,(х, г), ^(X, х, г) = л2(х, г) + ХВ2(х, г),
где
Р(х, г)л,(х, г)о(х, г) = ^{Ел, О, Ер}, Р(х, г)В,(х, г)0(х, г) = ^{1(х, г), Е, ®р}, Р(х, г)Л2(х, г)о(х, г) = ^ {О* М(х, г), Ор}, Р(х, гВ(х, г)о(х, г) = с^ {О* О, Щх, г)}.
В (5) пучок ^1(Х, х, 1) имеет индекс (1, 0), а пучок ^2(Х, х, 1) является сингулярным и не имеет регулярного ядра.
Согласно расщеплению пучка (2) запишем систему (1) в следующем виде:
Л,(х, г)д,и + В,(х, г)Зхи + с(х, г)и = /- л2(х, г)д(и - В2(х, г)дхи. (6)
Применяя к системе (6) метод последовательных приближений, получаем рекуррентные соотношения
Л,(х, г)д,ик +1 + В,(х, г)дхик +1 + с(х, г)ик +1 = gk, (7)
где
^^ = У, к = 0,
к \ - Л2 (х, г)д,ик - В2(х, г)ди, к = 1, 2, 3, ....
Каждое равенство из (7) представляет собой линейную дифференциально-алгебраическую систему уравнений в частных производных индекса (1, 0) с начально-краевыми условиями
и (Х, ) _ |Ф(х), к = 0
^ +1 (Х' '0Л = I 0, к = 1, 2, 3,...,
(8)
ик + 1 (х0, ^) =
у(Х), к = 0, ,0, к = 1, 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.