ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 6, с. 1007-1017
УДК 519.626
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ КООРДИНАТ1
© 2011 г. М. С. Близорукова, В. И. Максимов
(620219 Екатеринбург, ул. Ковалевской, 16, Ин-т матем. и механ. УрО РАН) e-mail: msb@imm.uran.ru; maksimov@imm.uran.ru Поступила в редакцию 20.04.2009 г.
Рассматривается задача динамического восстановления входных воздействий, а также неиз-меряемой части фазовых координат. Указывается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения задачи, основанный на теории динамического обращения. Библ. 9.
Ключевые слова: динамические обратные задачи, восстановление возмущений.
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений *!(t) = fi(t, xx{t), x2(t)) + f2(t, xi(t), x2(t))u(t),
x2(t) = f3(t, xi(t), x2(t)) + f (t, xi(t), x2(t))u(t) , (1.1)
t e T = [ t0^' , x1(t0) = x10 , x2(t0) = x20 ,
где x1 e R 1, x2 e R 2 (n1 + n2 = n), x(t) = {x1(t), x2(t)} e R — фазовый вектор, зависящий от меня-
n
ющегося во времени входного воздействия u = u(t) e R . Векторные функции/1(-), ./з(-) отображают декартово произведение T х R 1 х R 2, соответственно, в R 1, R 2, а матричные функции /2(-),/4(-) — в пространства (n1 х N)- и (n2 х ^-мерных матриц. Функцииjj(-), j e [1 : 4], удовлетворяют условиям Липшица по совокупности аргументов:
|f( 1 Уъ Z1) - f( t2, У2, Z2) < С [ f ](| t1 - t2 + y1 - + |Z1 - ) ,
c[fj] = const, j e[ 1 : 4].
Здесь и далее символом |-| обозначается евклидова норма вектора и соответствующая ей норма матрицы, а символом (■, ■) — скалярное произведение в конечномерном евклидовом пространстве. Для того чтобы была видна размерность соответствующего евклидова пространства, вместо
|-| пишем также |- |8, если речь идет о пространстве R8.
Рассматриваемая задача состоит в следующем. Решение системы x(-) = {x1(-),x2(-)},x(-) = x(-; t0,
n
x10, x20, u(-)) зависит от неизвестного входа u(-), u(-) e UT. Символ UT = {u(-) e L2(T; R ) : u(t) e P
n
при п.в. t e T} означает множество допустимых входов, Pс R — заданное выпуклое, ограниченное и замкнутое множество. Как решение x(-), так и вход u(-) неизвестны. В дискретные, достаточно частые моменты времени e А = [х,}m= 0 измеряется часть координат вектора x(x;), а
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00378), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН "Математическая теория управления", Программы поддержки ведущих научных школ России НШ 5443.2008.1 и Урало-Сибирского интеграционного проекта.
именно координата х1(х;). Результаты измерения — векторы ^ е К 1 — удовлетворяют неравенствам
■ - Х1 (т,)| „1 < к. (1.2)
Здесь величина к е (0, 1) характеризует погрешность измерения. Задача состоит в построении устойчивого к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритма, который в режиме "реального времени" по результатам измерения величин х1(х,) формирует некоторые
приближения (•) и неизвестных функций х2(-) и «(•), т.е. формирует такие функции (•)
и vk(•), что равномерное отклонение (•) от х2(-) и среднеквадратичное отклонение от «(•) являются сколь угодно малыми при достаточной малости погрешности к.
Сформулированная выше задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем. Опишем кратко схему решения рассматриваемой задачи, следуя подходу, развитому в работах [1]—[7] (указаны только монографии и обзорные статьи). В соответствии с этим походом задача приближенного вычисления пары {«(•), х2(-)} (задача реконструкции) заменяется новой задачей, а именно задачей управления по принципу обратной связи некоторой вспомогательной системой (называемой моделью). В дальнейшем фазовую траекторию модели мы обозначаем
символом wk(•) = {(•), (•)}, а управление в модели — символом ик (•) = {ик(0, ^(-)}. Последнее определяется некоторым законом обратной связи: </,(•; £,(•), wк(•)). Процесс управления моделью организуется таким образом, чтобы при подходящем согласовании ряда параметров какой-либо
набор элементов из пятерки {£,к(-), ик (•), ж\ (•), (•)} являлся решением задачи. Например,
пара {ж>к (•)}, где величины ык(:) (управление) и ж\ (•) (часть фазовых координат модели) являются вспомогательными характеристиками.
Таким образом, согласно методике [1]—[7], сначала вводится вспомогательная динамическая система М (модель), которая функционирует на временном интервале Т и является управляемой системой, имеющей неизвестный (подлежащий формированию) вход (управление) ик (•) и выход (фазовую траекторию) wk(•). Затем указывается алгоритм решения, т.е. организуется процесс синхронного управления системами (1.1) и М(на промежутке Т). Последний разбивается на конечное число (т — 1) шагов. Во время реализации /-го шага, осуществляемого на промежутке времени 5,- = [т,-, т,- +1), выполняются следующие операции. Сначала, в момент времени т , в соответствии с выбранным правилом <к вычисляется функция
Цк( 0 = < к ™ (то Х--, ™(т1)), г е [т„т, +1).
Затем (вплоть до момента т ^ +1) на вход модели подается управление ик = Цк(1), т^ < t < т ^ +1. Результатом работы алгоритма на /-м шаге является пара "управление—фазовая траектория модели": {^(0, wk(t)}, t е [т ,-, т i +1). Таким образом, решение рассматриваемой задачи сводится к "правильному" выбору модели М и закона управления ею < к.
Итак, решение задачи реконструкции, по существу, равносильно решению следующих двух задач:
а) задача подходящего выбора вспомогательной системы (модели М),
б) задача выбора закона формирования управления в модели < к.
Заметим, что при решении этих задач важную роль играет ряд факторов, например априорная информация о структуре системы (1.1) (вид уравнения, свойства его решения и т.д.), свойства множества допустимых управлений ит{:) и т.д.
В работе [1] был предложен один из путей реализации указанной схемы. Рассматриваемая система описывалась обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением
Х(г) = Л(г, х(г)) + /(г, х(г))и(г), г е [о, 3],
х(о) = х0, х е , и е К*, ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 51 № 6 2011
с управлением и(-) е {«(•) : u(t) е Pпри п.в. t е [0, &]}. Предполагалось, что в моменты времени т,-
h
измеряются с ошибкой h все координаты системы (| — x(x)\q < h). В качестве модели была взята система, описываемая линейным дифференциальным уравнением
wh(t) = / (X, %Ч) + /2(х, tf) vh(t), t е 5„ wh(0) =
Управление vh(t) в модели вычислялось по правилу
v (t) = arg min {2 (w (x;) - ¡,/2(x;-, ^ ) v). + a| Vn : v е P}, t е 5,-.
Основной результат работы [1] состоял в обосновании того факта, что при походящем согласовании параметра а, информационной погрешности h и шага временной сетки 5 = max;(x; — т,_ 1)
n
имеет место сходимость (в метрике пространства L2([0, &]; [ )) управлений vh(^) к некоторому управлению u0(-), порождающему x(0 (x(0 — измеряемое с ошибкой решение уравнения (1.1)).
Исследование задач восстановления входов систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (с позиций подхода [1]), можно найти в [2]—[9]. В частности, в [8] для системы вида (1.1) был предложен алгоритм решения рассматриваемой нами задачи, который опирался на так назыаемый динамический вариант метода сглаживающего функционала. В данной работе для решения той же задачи мы применим алгоритм, основанный на предложенном в работе [9] динамическом варианте метода невязки.
2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Пусть E1 и E2 — ограниченные подмножества пространств [ 1 и [ 2 соответственно, такие, что реализация траектории системы (1.1) {x1(t), x2(t)} лежит в E1 х E2 при всех t из T, т.е.
{xi(t),Х2(t)} е Ei х E2 Vt е T.
Символами E[, E2 обозначим у-окрестности множеств E1 и E2 соответственно, где у — некоторое
h
(достаточно большое) фиксированное положительное число такое, что все векторы заведомо принадлежат E} при всех h е (0, 1) и всех i. Предположим, что
sup{/1 (t, x2) + /2(t, xb x2)Un, : (t, Xi, X2, и) е Г} < Ki,
SUP{ /3 (t, x 1, X2) + /4 (t, x 1, X2) Un2 : (t, Xi, X2, и )еГ}< K2, (2.1)
sup{|/з(t, Xi, X2) + /4(t, Xi, X2)/+ (t, Xi, X2)(и -/i(t, Xi, X2))|n2 : (t, Xi, X2, и) е Г} < K3,
где
Г = {(t,Xi,X2, и) : t е T, x, е E{,X2 е EY2, и е P}.
В дальнейшем будем полагать, что выполнено
Условие 1. Размерность управления u не превосходит размерности координаты x2 (N < n2) и
при всех t е T, x1 е [ 1, x2 е [ 2 матрица f2(t, x1, x2) имеет ранг, равный N.
Заметим, что при этом условии первое уравнение системы (1.1) может быть формально разрешено относительно u(t):
и(t) = /+(t, Xi(t), X2(t))(Xi(t) -/i(t, Xi(t), X2(t))), t е T,
где /2+ (t, x1, x2) — матрица, псевдообратная к f2(t, x1, x2). Кроме того, справедлива следующая
Лемма 1 (см. [8]). Матрица-функция /2+ (•) на T х E} х E^ удовлетворяет условию Липшица (с константой c[/2+ ]).
Перейдем к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи. Для каждого к е (0, 1) выберем равномерное разбиение отрезка Т:
к, тк
= 3.
Дк = {тк, ,} , = о, тк, , + 1 = тк, I + 5, 5 = 5(к) е (1 ), тк, о = то Модель М зададим управляемой системой вида
■ к/к >о(г) = и, ,
Щ (г) = /1(т, %^(т,)) + /2(тй %^2к(т;-)) Vк,
>2 (г) = /з(т
%,, >2 (т,)) + /4(т %,, >2 (т ,))/2 (т„ %,, (т,))[и,' -/1 (т, %,", (т,))], г е 5, = [т,, т, +1), , е [о : т - 1 ], т = тк, т, = тк,,, с начальным состоянием
>о(го) = > (го) = хш, >2к(го) = х2о.
(2.2)
Здесь ик е
и V е
1 — управления, тройка {> (0, > (0, >2" (0} е К 1 х К 1 х
— состав-
ляет фазовую траекторию модели ^к(0, wк = {> , }, > = {>о , }. После этого указываем закон выбора управлений (•) = {ик(0, ^0)} в модели, где ык(:) — некоторое вспомогательное управление, управление в дальнейшем будет служить приближением неизвестного входа «(•). Этот закон отождествляется с функцией <к, ставящей в соответствие каждому набору
З(0О = (тк,,-, %к , %1 , ™к(т,-))), / е [1 : тк - 1], пару векторов
{ик, V} = <к(?(°(•)).
При этом
к , к(1) и, = {и, ,
к(«1), и, }
ик(к) = -*1 (>к(к)(т,) - %к(к))
Vо = о,
8, к е [1 : „1], = \ а^ шт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.