КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
УДК 681.3.06
ОБ ОДНОМ ДИФФУЗИОННОМ МЕТОДЕ ФИЛЬТРАЦИИ И ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ*
© 2008 г. Г. В. Борисенко, А. М. Денисов, А. С. Крылов
Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова 119992 Москва, Воробьевы горы
E-mail: kryl@cs.msu.su Поступила в редакцию 07.09.2007 г.
ВВЕДЕНИЕ
Диффузионные фильтры активно используются для удаления и ослабления шума на изображениях. В работе [1] рассматривался способ повышения эффективности удаления шума с изображения за счет введения в коэффициент диффузии зависимости от локальной интенсивности. В данной работе рассмотрена аналогичная модификация двух других диффузионных фильтров и приведены изображения, иллюстрирующие обоснованность их применения, в сравнении с не модифицированными аналогами. В заключительной части рассмотрена задача повышения резкости изображения с помощью уравнения диффузии с обратным направлением времени, где коэффициент диффузии также зависит от локальной интенсивности.
Алгоритмы обработки изображений, основанные на уравнении диффузии, применяются для решения различных задач [2-4]. Одним из наиболее популярных применений диффузии является фильтрация шума [5-7], а самым распространенным алгоритмом - свертка исходного изображения с функцией Гаусса. Такой метод является очень эффективным, но одновременно со сглаживанием шума гауссовский фильтр размывает и смещает границы объектов. В работах Перрона и Малика [8-9] авторы использовали специаль-
* Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 08-01-00314 и 06-01-39006-ГФЕН.
ный коэффициент диффузии, зависящий от градиента изображения, с помощью которого замедляли размытие границ объектов. Этот подход был расширен и исследован в последующих работах [10-12] и [1].
В процессе диффузионной фильтрации изображение размывается, становясь все более гладким. При этом необходимо, чтобы контуры объектов в меньшей степени подвергались сглаживанию, по сравнению с шумами. Для усиления процесса сглаживания шумов внесем в коэффициент диффузии зависимость от локальной интенсивности изображения. Будем считать, что, если суммарная интенсивность в некоторой фиксированной окрестности точки мала, то эта точка, вероятнее всего, является шумом и должна размываться. Если же суммарная интенсивность велика, то считаем точку принадлежащей объекту или его границе, размытия которых мы пытаемся избежать.
В данной работе использован коэффициент диффузии, зависящий от интеграла текущей интенсивности локальной окрестности точки [1].
1. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЧЛЕН В КОЭФФИЦИЕНТЕ ДИФФУЗИИ
Пусть в прямоугольной области О = (0, а) х х(0,6) с границей Г = дО определена функция f Е С2(О), задающая монохромное изображение. Тогда линейный диффузионный фильтр, он же гауссовский фильтр, с постоянным коэффициен-
том диффузии О может быть задан следующей задачей:
щ = О2Ди, (х, у) е > 0, д—
— |г = 0,Ь> 0,Г = дП, дп
(1)
(2) (3)
и(х,у, 0) = /(х,у), (х, у) е П.
Взяв решение (и(х, у, Ь) данной задачи при некотором Ь = Т > 0, мы получим сглаженное изображение и(х, у, Т).
Модифицируем коэффициент диффузии, поставив его в зависимость от интеграла по локальной окрестности текущего решения:
О(х,у,Ь; и) =
= (1 + Л2 1о(х,у) -(^,Р, Ь)(з(р) (\> 0) / _ и(в,р,ь)(в,р) е П,
-1/2
(4)
и(в,р,Ь) =
0(в,р) / П.
Тогда задача для данного метода фильтрации будет выглядеть следующим образом:
иг = (1т^ ^1+
+Л2 / —(8,'р,1)(1в(1'р) У-
■1о(х,у) >
' 0(х,у)
(х, у) е П,Ь> 0,
ди дп
|г = 0,Ь> 0,Г = дП,
и(х,у, 0) = /(х, у), (х, у) е П.
(5)
(6) (7)
Рис. 1. Исходное изображение.
Рис. 2. Результат фильтрации с использованием задачи (1)-(3), "объем шума" V = 55.
Рис. 3. Результат фильтрации с использованием Аналогичным образом, рассмотрим диффузион- задачи (5)-(7), Л = 0.1, "объем шума" V = 55. ный фильтр, задаваемый краевой задачей
иг = ёгу(О(1У/ 12)Уи), (х, у) е П,Ь > 0, (8) висимость от интеграла ш локальной окрестнос-
ти текущего изображения:
ди
—|г = 0,Ь> 0,Г = дП, (9)
дп
и(х,у, 0) = /(х, у), (х, у) е П, (10)
где
щ = му^ ^1+
+л2У/|2 / -(в,р,ь)(в(р)-1/2Уи
■ ' 0(х,у) >
'О(ху)
(х, у) е П,Ь> 0,
О(У/12) =
Л/1 + Л2У/12
, (Л> 0). (11)
Модифицируем его, как и предыдущий фильтр, поставив коэффициент диффузии в за-
ди
-Щ|г = 0,Ь> 0,Г = дП, дп
и(х, у, 0) = /(х, у), (х, у) е П.
(12)
(13)
(14)
1
2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ФИЛЬТРОВ
Для сравнения результатов фильтрации воспользуемся методом, предложенным в [1]. Время фильтрации, являющееся основным параметром методов, выбиралось следующим образом:
solution
Рис. 4. Исходное изображение.
:in consists in usm^
1 iht* convolution willi The Gauss ken lis operator ?nd the solution of a iinci
• Устанавливается значение желаемого уровня объема шума.
• Процесс диффузии продолжается до тех пор, пока объем шума в выбранной области на фильтруемом изображении не снизится до требуемого значения.
Численная реализация рассмотренных фильтров была выполнена аналогично [1].
На рисунках приведены изображения, иллюстрирующие работу фильтров. На рис. 1 и 4 представлены исходные изображения и указана область, в которой производится подсчет "объема шума". Далее, рис. 2, 3, 5 и 6 демонстрируют результаты фильтрации исходных изображений. Изображение 2 отфильтровано гауссовским фильтром, а изображение 3 - фильтром, задаваемым задачей (5)-(7), причем "объем шума" на обоих этих изображениях в выбранной области одинаков. Результат фильтрации методом, описываемым задачей (8)-(10), приведен на рис. 5, а результат фильтрации модифицированным методом (12)-(14) - на рис. 6. Аналогично, величина "объема шума" в выбранной области также совпадает для изображений 5 и 6.
Рис. 5. Результат фильтрации с использованием задачи (8)-(11), Л = 0.04, "объем шума" V = 117 .
3. ПОВЫШЕНИЕ РЕЗКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
(the convolution with the Gauss ken lis operator and iht: solution of a line:
Рис. 6. Результат фильтрации с использованием задачи (12)-(14), Л = 0.04, "объем шума" V = 117.
• На оригинале выбирается область G, свободная от полезных объектов, в которой расположено множество шумов, которые необходимо удалить (выделена на рисунке прямоугольником).
• Выполняется подсчет суммарного значения модуля градиента в выбранной области
("объем шума"): V(t) = \Vu(x,t)\dx.
Ja
Причины появления нерезких изображений могут быть самые разные. Это может быть нечеткая фокусировка устройства съемки изображения, малая светочувствительность устройства или недостаточная освещенность объекта съемки. Потеря резкости может быть вызвана также последующей обработкой изображения. Например, применением сглаживания для удаления шумов.
Целью повышения резкости изображения является увеличение разницы между интенсивностью объектов и фона. Один из методов повышения резкости изображений основан на решении краевой задачи диффузии с постоянным коэффициентом диффузии с обратным направлением времени:
ut = D2Au, (x, y) e fi,t <T,
(15)
u\r = 0,t<T,r = dfi, (16)
u(x,y,T) = y(x,y), (x,y) e fi. (17)
Хорошо известно, что задача (15)-(17) является некорректной и может не иметь решения. Для приближенного решения данной задачи можно использовать метод квазиобращения [13].
Пусть в прямоугольной области П = (0, а) х х(0,Ь) с границей Г = дП определена функция р е С2(П), задающая монохромное изображение. Тогда изображение и(х,у,Ь0), полученное в результате решения задачи метода квазиобращения (18)-(20) при Ь = ¿0, будет более резким, чем исходное изображение р(х,у):
ut = -D2Au - aA(D2Au), (x,y) e Q,t> 0,
(18)
= 0, Д-|г = 0,Ь> 0,Г = дП, (19) и(х,у, 0) = <р(х,у), (х, у) е П. (20)
В процессе повышения резкости изображения описанным методом изменение резкости между соседними точками происходит одинаково для всех точек изображения. Однако желательно, чтобы объекты на изображении усиливались в большей степени, нежели фон или шум. По аналогии с прямой задачей, модифицируем коэффициент диффузии, внеся в него зависимость от интеграла по локальной окрестности текущего решения. Данный интеграл будет выступать в роли детектора объектов: те точки, где его значение велико, будем считать принадлежащими объектам и усиливать с большей скоростью.
Коэффициент диффузии в данном случае будет выглядеть следующим образом:
-1/2
1 + X2 u(s,p,t)dsdp
JO(x,y) ,
(21)
Обозначим оператор, входящий в правую часть уравнения,
A(u) = -div^ ^1+ +X2 fa(x,y) u(s,p, t)dsdp) Vu
(22)
Тогда задача, используемая в модифицированном методе повышения резкости, записывается так:
-г = А(и) + аА2(и), (х,у) е П,Ь > 0, (23)
—|г = 0, А(-)|г = 0,Ь> 0,Г = -П, (24) и(х,у, 0) = <р(х,у), (х, у) е П. (25)
4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
При численной реализации данного метода повышения резкости была использована чисто неявная разностная схема, в которой все нелинейные компоненты выбирались зависящими от значений решения на предыдущем слое по времени, а интегральный член был аппроксимирован с использованием кубатурной формулы второго порядка [14-15]. Вычисления проводились методом прогонки. В качестве результата работы фильтра принималась функция, полученная в момент времени, когда максимум градиента текущего решения становился больше или равен удвоенному максимуму градиента исходного изображения. Тем самым фиксировался момент, в который на изображении, ввиду некорректности исходной задачи (15)-(17), начинали появляться значительные осцилляции.
Рис. 7. Исходное изображение.
ть
tuple I
section contains that demonstrate how to use extensions to take ml van l лис
li
Рис. 8. Изображение, фильтрованное с использованием задачи (18)-(20). а = 0.2.
This
sanipl
section contains that demonstrate how to use extensions to take advantage
e a
n
Рис. 9. Изображение, фильтрованное с использованием задачи (23)-(25). Л = 0.01, а = 0.2.
На рис. 7 представлено исходное нерезкое изображение. Результаты повышения резкости с использованием метода (18)-(20) и с использованием метода (23)-(25), содержащего интегральную добавку в коэффициенте диффузии, изображены на рис. 8 и 9 соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисенко Г.В., Денисов А.М., Крылов А.С. Об одно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.