научная статья по теме ОБ ОДНОМ ЭФФЕКТИВНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА Кибернетика

Текст научной статьи на тему «ОБ ОДНОМ ЭФФЕКТИВНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА»

Ъеьарыкин, К. С. Латышев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2005г., том 17, номер 9, стр. 35-42

^ э каналах приводятся

I ;>1ле расчетной схемы больше чем во втором в ПС процесс откачки рсё пины каналов, ко-хают, но имеют раз-

ческой системы ! динамика движе-> ет отнести автома-I каналов и коррект-I возы в точках ветв-: ложных гидроди-; в этом смысле

тной нестаци-t »ТТУ, 2004, 168с. K-TJ Азия» Отчет ин-

•-.ЭТОМ силы инер-Диагностика и

Г

t-iK-цию 30.11.04

ОБ ОДНОМ ЭФФЕКТИВНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ОРРА - ЗОММЕРФЕЛЬДА

© Ч.Б. Нармурадов

Термезский государственный университет

Приводится спектрально-сеточный метод решения уравнения Орра-Зоммерфельда. Данный метод позволяет определить сразу все собственные значения задачи. Проведенные расчеты показывают эффективность метода.

ABOUT ONE EFFECTIVE METHOD OF THE ORR-SOMMERFELD EQUATION DECISION

Ch.B. Narmuradov Termez State University

The spectral grid method of the Orr-Sommerfeld equation decision is resulted. The given method allows to define at once all own values of a task. The carried out accounts show efficiency of a method.

Введение. Одной из важных задач механики сплошной среды является задача гидродинамической устойчивости. В линейной постановке для плоскопараллельных течений однофазного потока эта задача сводится к проблеме собственных значений для уравнения Орра-Зоммерфель-

Да[1]

1

к Re

D\-i\{u{y)-X)D-

d2U dy2.

vjy = 0

(1)

с однородными краевыми условиями, которые зависят от типа исследуемых течений. В уравнении (1) Х=ХГ+1Х,- - собственные значения, Хг - фазовая скорость, X, - коэффициент нарастания, Г^^Му1-!? - дифференциальный оператор, у - координата, направленная поперек основного течения, к - волновое число, Ке - число Рейнольдса, II(у) - профиль скорости основного течения, - амплитуда функции тока для возмущений.

Уравнение (1) содержит малый параметр Же при старшей производной, поэтому возникают значительные трудности получения решений, близких к точным. Существующие численные методы [2,3] решения задачи (1) можно разделить на несколько групп: 1) конечно-разност-ные методы, 2) методы пошагового интегрирования, 3) метод исключения и дифференциальной прогонки, 4) спектральные методы.

Методы групп 1) - 3) предназначены для определения только одного собственного значения задачи (1). При Же«104, например, для получения достаточно точных (три знака) результатов, использована равномерная разностная сетка, содержащая 100 узлов [4]. Исследования показали, что с ростом параметра Же требуется все более мелкий шаг.

Применение спектральных (галеркинских) методов для решения задачи (1) изложено в [5]. В этой работе в качестве базисных функций использованы полиномы Чебышева первого рода. Показано, что в этом случае сходимость по числу базисных функций экспоненциальная. Основным достоинством этих методов является то, что сразу можно найти все спектральные значения и среди них можно выбрать наиболее неустойчивое. Однако, отыскание всех собственных значений заполненной матрицы высокого порядка очень трудоемкий процесс, связанный с большими затратами машинного времени. Кроме того, с ростом параметра Же порядок

2*

матриц, необходимый для достаточно точного определения собственных значений, увеличивается, а это налагает дополнительное требование к памяти ЭВМ.

В связи с этим желательно иметь такой метод численного решения, который обеспечивает высокую точность расчётов при небольшом объеме памяти. Кроме того, желательно, чтобы данный метод позволял одновременно вычислить все собственные значения задачи (1).

X. Математическое моделирование

В данной работе показано, что спектрально-сеточный метод отвечает всем указанным требованиям. Этот метод объединяет высокую точность спектральных методов [5] с экономичностью метода неравномерных сеток [6-7] или метода локальной коллокации [8] и одновременно определяет все собственные значения.

Рассмотрим уравнение (1) с однородными краевыми условиями

Ч/(л)=0; «ЛуСпУ^трО при г|=г|о и г|с. (2)

Требуется определить, неизвестную постоянную Х=Хг+й.-„ входящую в задачу (1), (2). Данную задачу решаем спектрально-сеточным методом. Для этого интервал интегрирования [г|0,Л(] разобьем на сетку

и таким образом получим N различных элементов

[Л0>Л|], К/Лг]." ,|лу,Лу+1]> - >[л*-1.лД ] = 0,1,..., N -1. Дифференциальное уравнение (1) на каждом из этих элементов принимает вид

D2ч,J-ikReluJ(^})-X)D-U"J(т})\чJ=0, ] = 1,2,..., N. (3)

Краевые условия (2) записываются в точках г|0 и г\н

Ч/,(Ло)=^71(Ло) = 0, V N (Л N) = (Л N) = 0 . (4)

аг| аг|

В точках разбиения потребуем непрерывности решения уравнения (3) и его производных до 3-го порядка. Эти условия имеют вид

Ч/<')(ЛУ) = Ч/^,(ЛУ), /=0,1,2,3; 7=1,2,...,ДМ, (5)

где г указывает порядок производной.

Решения у, уравнения (3) представим в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода. Для этого каждый элемент [г|;,г|^+1] отображаем на интервал [-1,+1] с помощью следующей замены независимой переменной:

т, е1

Через обозначена длина у'-го элемента. После этого преобразования уравнения (3) принимают вид

] = 1,2,....,/V, (6)

где

й, =(12 Ыу^-к), Яе, = —Яе .

] -г у J > 2 2

й, увеличива-

обеспечива-ьно, чтобы я(1).

ем указанным [5] с экономич-нодновремен-

(2)

. (2). Данную --ня К,-Пг] ра-

(3)

(4)

Г50ДНЫХ до 3-

(5)

ер во го рода, лмт-юшей заме-

•чимают

Из условий (4)-(5) имеем

ч»,(-1) = о> =

¿у

<7ч»у)(+1) = г;+1ч»^1(-1), г=0,1,2,3; у=1,2,...Д-1,

(7)

чМ+1) = о,

¿Ун Лу

(+1) = 0.

Приближенное решение задачи (6)-(7) на каждом из элементов сетки ищем в виде

Р)

иМл)=Р± ь^тмУЬ,

п=0

(8)

уУ' = соз(п(/р/), С = 0,1,2,..., ру, ) = 1,2,..., N,

Ь]¡'> =—У-и(у^)Т,(уП , п = ОД,,

Р,С. Г,о с,

с0 = ср_ = 2, ст=1 при т*0,р], / = 0,1,2,...,; у = 1,2,...,//,

где 7„(_у) - полиномы Чебышева первого рода, у[л - их узлы, а р, - количество полиномов, используемых для аппроксимации решения нау-м элементе.

Для удобства изложения спектрально-сеточного метода уравнение (6) запишем в операторном виде, т.е.

L:\Vj =0, } ~ \,2,...,М,

(9)

где I, - дифференциальный оператор, определяемый формулой

Подставляя ряды (8) в уравнение (9), потребуем, чтобы левая часть (9) на каждом из элементов была ортогональной к первым (р-4)-м полиномам Чебышева, т.е.

(¿уЧ/у,7;) = 0, я = 0,1,...,/»у-4; у = 1,2,...„У, (10)

где

(/.*)= Г,1 Л*)г(*)(1-*2)""2л

- скалярное произведение на отрезке [-1;+1]. Кроме того потребуем, чтобы ряд по полиномам Чебышева (8) точно удовлетворял краевым условиям и условиям непрерывности (7).

N

Таким образом, для определения (+ АО неизвестных а'/1 имеем столько же уравне-

>1

нии.

Полученную систему удобно записать в матричном виде

(А-ХВ)х= 0, где комплексные матрицы А и В имеют вид

(Н)

38

Ч.Б. Нармурадов

о о

о о

о о

о о

о о о о

о о о о

о о о о

о о о о

° о о о

X ° о о о

4 О о о о

H О о о о

4 ° о о о

X о о о о

о о о о X X о о

о о о о X X о о

о о о о X X о о

о о о о X X о о

о о о о X X о о

X о о о о

X о о о о

X о о о о

X о о о о

о о о о

II

04

4 4 к "7 о *

— Я

I

— OK

к к к к

о\

— -ч-

■f о

I о о

— О О о

к к к X

m

•G

<N (N

ст\

Tt Tt О

_ о о ООО

X

X *

х

X

X *

X

о X

o о X

r^

o о

fN

о о о

X

fN

о о

х ~ К

а\

а вектор х соответственно вид

=(вю *<2\а<2>С. ■

Видно, что матрица В вырожденная и содержит 4М нулевых строк, соответствующих краевым условиям и условиям непрерывности, так как они не зависят от X. В соответствующих строках матрицы А будут целые числа, получающиеся от значения полиномов Чебышева и их производных в точках -1 или +1. Сохранить эти элементы в комплексной матрице А нецелесообразно, а в комплексной матрице В соответствующие этим строкам элементы равны нулю. Ненулевые элементы матриц/) и В обозначены через х.

С помощью элементарных преобразований столбцов матриц/) и В приведем систему (11)

к виду

(/)е-ХВ0(е-'Л) = О (12)

или

(/)е-ЯЯ0>> = О, (13)

где у=0'1х,

Д'= , где е - соответствующее невы-

рожденное преобразование.

Подробно изложим переход от системы (11) к системе (13). Так как на матрицы А и В действует одно и тоже преобразование то опишем преобразование только для матрицы А, подразумевая, что аналогичные действия производится и с матрицей В. Первый столбец матрицы А прибавим к четным столбцам и вычтем от нечетных столбцов только для первого блока матрицы. Аналогично относительно элемента «22=1 обнуляем все элементы первого блока и имеем

1 о о о ... О

о 1 о о ... о

х х х х ... х О

X X X X ... X

12 0 2 ... х

0 18 0 ... х

0 0 4 23... х

0 0 0 24 ... л

1 -1 -1 ... х 0 1-4 9 ... х

0 0 4 7 ... х 0 0 0 24 ... *

XX X ... X

А =

XXX X ...X

XXX X ... X

1 -1 1 -1 ... X 1 1 1 1 ... 1

О 1 4 9 ... л: 0 1 4 9 0 0047... ^004 23... х

О 0 0 24 ... д: 0 0 0 24 х х х х ...х

X XX X ... X 1 1 1 1... 1 О I 4 9.x

Затем относительно элементов ар1Р]+2 =1, ар<+1р1+} =1 обнуляем элементы первого и второго

блока этих же строк и т. д.

Таким образом, запишем окончательный вид матрицы А()

"1 о о о... О О 1 о о... о

х х х х ... х О

X X X х .. X

1 0 0 0 .. 0 1 0 0 0 . 0

0 1 0 0 . . 0 0 1 0 0 . . 0

0 0 4 0 . . 0 0 0 0 0 .. 0

0 0 0 24 . . 0 0 0 0 0 .. 0

X X X X X

А<2-

. X

X X X х .. X

X X X х .. X

1 0 0 0 . . 0 1 0 0 0 .. 0

0 1 0 0 .. 0 0 1 0 0 . 0

0 0 0 0 .. 0 0 0 4 0 . 0

0 0 0 0 .. 0 0 0 0 24 . 0

X X X X X

X X X X X

1 0 0 0 . . 0

0 1 0 0 .. 0

При таком преобразовании нулевые строки матрицы В не меняются, а ненулевые преобразуются согласно Из вида матрицы А() ясно, что ряд уравнений в системе (13) становится автономным

ь^1

(2)

■ 0, 1-у11) = 0, 4 • у 2* = 0, = 0, 1-у\2) = О, 4-у'2>=0,

24•^><l, = 0, 24-у(2> = 0,

Отсюда, можно видеть, что первые четыре компоненты собственного вектора из каждого элемента сетки равны нулю, т.е.

^">=0, у[»>= 0, ^"»=0.

Тогда из каждого блока матриц А() и В() можно исключить первые четыре строки и первые четыре столбца. Тогда порядки матриц Т и IV будут (т~4М)*(т~4Щ, где т - общее количество

N

полиномов в спектрально-сеточном методе, т.е. т = +1).

м

Прео

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»