КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 414-423
УДК 521.1
ОБ ОДНОМ ИНТЕГРИРУЕМОМ СЛУЧАЕ ВОЗМУЩЕННОЙ
ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
© 2004 г. С. М. Полещиков
Сыктывкарский лесной институт Поступила в редакцию 25.12.2002 г.
Рассматривается движение частицы в возмущенном гравитационном поле точечной массы. В качестве возмущения взята постоянная сила. Подбирается ¿-матрица такая, что в регулярных координатах происходит разделение переменных. Проведено интегрирование уравнений движения рассматриваемой задачи. Решения выражаются через эллиптические функции. Дано качественное исследование интегралов движения. Приведены численные примеры.
1. ВВЕДЕНИЕ
В статье [1] приводится интегрируемый случай возмущенной задачи двух тел. В качестве возмущения выступает сила, постоянная по модулю и направлению. Некоторым неудобством является то, что прямоугольную систему координат надо выбирать так, чтобы одна из осей была параллельна этой силе. В предлагаемой работе этот недостаток устраняется благодаря выбору подходящей ¿-матрицы, участвующей в процедуре регуляризации уравнений движения. Таким образом, не требуется подстраивать исходную физическую систему координат под заданную постоянную силу. Заметим, что с механической точки зрения рассматриваемая задача является предельным случаем интегрируемой задачи двух неподвижных центров, когда один из них удален в бесконечность. Последняя рассматривалась в работах [2, 3] в связи с применением к механике космического полета. Отметим также работу [4], в которой изучаются канонические преобразования, увеличивающие размерность гамильтоновых систем. Частным случаем таких преобразований являются канонические преобразования, порождаемые ¿-матрицами [6]. В [5] аппарат А^-перемен-ных применен для построения периодических орбит неинтегрируемой задачи Хилла.
Рассмотрим функцию Гамильтона возмущенной задачи двух тел
Н = Н(х, у) = 1-\у|2 — — + V, 2 г
- = у(т + т0), г = |х|,
где х = (х1, х2, х3)т - вектор положения точки с массой т относительно точки с массой т0, у = (у1, у2, у3)т -обобщенный импульс (у, = х, I = 1, 2, 3), у - грави-
тационная постоянная. В качестве возмущающего потенциала V возьмем функцию
V = V (x) = - B1 x1 - B2 x2- B3 x3, Bi -const.
Тогда уравнения движения примут вид
dxi = dH = dt = Э y = У1'
dy = jh = - иx.+B i = i 2 3
dt dxi r3xi + Bi' 1 1 2 3. Эта система эквивалентна уравнению
X = - -Иx + B, B = (Bi, B2 , B3)т,
(1)
(2)
описывающему движение точки т относительно точки т0 под действием их взаимного гравитационного притяжения и дополнительной постоянной силы В произвольно выбранного направления.
Применим однородный формализм, согласно которому независимую переменную г надо рассматривать как координату х0. При этом новый гамильтониан примет вид
На = Н(х, у) + уо, где у0 - сопряженный с х0 импульс. Полагая
Хо(0) = 0, Уо(0) = -Н(х(0) , у(0)), (3) получим, что в расширенной канонической системе
dх¡
дHa dyi dHa . л 1 ^ о
-: = -2, — =__2, i = 0 , I, 2 , 3
dt дy^ dt дxi '
(4)
переменная х0 совпадает с временем г и у0 - с отрицательной энергией
х0 = г, у0 = -Н(х(г) , у(г))
для любого значения г. Значит, при условиях (3) интеграл На = Н(х, у) + у0 = 0 для каждого момента
времени г. При этом, как следует из (4) при г = 0, величина у0 постоянная. Для значений индексов I = 1, 2, 3 уравнения системы (4) совпадают с уравнениями системы (1).
Выполним в системе (4) временное преобразование йг = гйт и ¿-преобразование
Хо = д0, х = Л(q)q, 1
Уо = Ро, У
2| Ы
Л( q)р,
(5)
где я, р е Я4, Л(я) - матрица размера 3 х 4, получаемая из ¿-матрицы
Ь (q) =
' qтк 1 к4Л qт к 2 к 4
^ к 3 к 4
qт к 4
йд^ = Ш йрр =
й Т д р/ й Т с гамильтонианом 1
эж
дд,,
у = 0, 1, 2, 3, 4 (6)
* = 8 р
2
+ Ро1 Ы + ус(q), V с (q) = V( х (q)).
Пусть
х(0) = х0, у(0) = у0
(7)
(8)
п 0 Л / 0, 0
?0 = 0, х = Л(q )q ,
0 0 0 т 0 0
Р0 = -Н(х , у ), р = 2Л (q )у ,
(9)
произведения я ■ р, которое обращается в нуль на выбранных траекториях.
2. ВЫБОР ¿-МАТРИЦЫ, ПРИВОДЯЩИЙ К РАЗДЕЛЕНИЮ ПЕРЕМЕННЫХ
В преобразовании (5) участвует произвольная ¿-матрица. Специальный выбор этой матрицы позволяет разделить переменные в случае произвольной постоянной силы В.
Рассмотрим в (7) слагаемое, содержащее Vc(q),
V (q) = -I ql У (В1 к 1 + В2 к2 + В3 кз)).
Предположим, что ¿-матрица имеет первый тип. Обозначим через Ь = (Ь1, Ь2, Ь3)т орт вектора В, т.е.
Ь =
В
в I
г = 1,2, з.
отбрасыванием четвертой строки. Здесь кг - ко-сосимметрические ортогональные матрицы четвертого порядка, называемые образующими ¿-матрицы. Их свойства и структура описаны в работе [6]. Кроме того, в [7] приведена без доказательства теорема о структуре ¿-матрицы, порождающей ¿-преобразование (5) ранга три.
В новых переменных д, рг уравнения движения запишутся в виде канонической системы
Тогда
2 Ус(. Ы ) = 2| В|ыт [(Ь ап + Ь2^2 + Ьз а 13 )и +
+ (Ь а21 + Ь2 а22 + Ьза2з) V+
+ (Ь1 аз1 + Ь2 аз2 + Ьзазз) W ]Уы .
Здесь и, V, W, У - базисные кососимметрические матрицы [7] и для простоты принимается к4 = -У. Подберем параметры ¿-матрицы ау так, чтобы выполнялись равенства
Ь1а11 + Ь2а12 + Ьз а1з = 1, Ь^1 + Ь2а22 + Ьз а2з = 0, Ь1аз1 + Ь2аз2 + Ьз азз = 0.
(10)
начальные условия для переменных системы (1). Тогда, как показано в [7], при выборе начальных значений по правилу
Геометрически решение этой системы означает, что вектор 11 = (а11, а12, а13)т совпадает с ортом вектора В, а векторы 12 = (а21, а22, а2з)т, 13 = (Ои, аз2, азз)т ортогональны ему. Кроме того, из структуры ¿-матрицы вытекает, что векторы 11, 12, 13 образуют репер. Очевидно, что система (10) имеет бесконечное число решений. Выпишем ее общее решение. Для первого вектора имеем
11 = (Ьх, Ь2, Ьз)т. Для 12, 13 полагаем, если Ь2г + Ь2 Ф 0,
1
7ь? + ь
( Ь2С08 ф + Ь1Ьз81п ф,
решение системы (6) под действием преобразования (5) переходит в решение канонической системы (4) и соответственно в решение системы (1), удовлетворяющего начальным условиям (8). Заметим, что гамильтониан ЖЖ в отличие от [7] уже редуцирован за счет постоянного слагаемого ц и слагаемого, содержащего квадрат билинейного
- Ь1 С08ф + Ь2Ьз8Шф, -(Ь + Ь2) 8Шф)т, 1 (- Ь^п ф + Ь1 ЬзС08 ф,
ь? + ь2
Ь181пф + Ь2ЬзС08ф, -(Ь\ + Ь2)С08ф)т.
2
Если Ь1 + Ь2 = 0, то Ь = (0, 0, Ь3)т, Ь3 = ±1. Поэтому Из последних двух уравнений находим рь р2: в качестве общего решения системы (10) в этом случае можно взять векторы
ii = (0, 0, Ьъ)т, Í2 = (cosФ, sinФ, 0)т, i3 = b3(-sinф, cosф, 0)т.
Величина ф е [0, 2п] и выполняет роль произвольного параметра общего решения.
После выбора параметров a¡j матрица Л^) определена однозначно. Для рассматриваемого слагаемого получаем
f \
Pi = 2PilcosQ2 --р= sinQ2,
Mi
= 2 PiVQisin Q2 + -PP=cos Q2.
4Qi
P2
В новых переменных гамильтониан Ж* и соответственно система примут вид
Ж1 = 8 (4 01Р2 + + Р0 01- |в| е2,
|2 Vc( q) = |B||q| 2qт UYq = |B||q|2 q1
-?2 ?3 ?4
dQi _ дЖ1 = dQ = д-Ж =
Qi Pi' ¿jTiC дР2 4Q/
dT
dP1
dT
dPi
dti
U2
(15)
= = - + P0 + 2I B| Qi,
dQi
= IB| (- (qi + q2)2 + (q3 + ?4)2).
Значит, гамильтониан (7) распадается на сумму
Ж = Ж i + ЖЖ2,
где
Жl = j-(P2 + P2) + Pü(qi + q2) - |B| (q2 + q2)2,
Ж2 = 8(P2 + P4) + P0(q3 + q4) + IB (q2 + q4) .
dT
8Qi
ЭЖ1
" d Q2
= 0.
Так как гамильтониан Ж1 не зависит явно от т и р2, то система (15) имеет два интеграла
Qi Pi + ^ + P0 Qi- IB Qi =
8Qi
Ei 8 .
(16)
P2 = ci.
писать так
Величина р0, как следует из второго уравнения (6), Здесь Еъ сх - постоянные интегрирования. С уче-при у = 0, постоянная. Поэтому в системе (6) мож- том этих интегралов уравнение для р можно за-но исследовать две подсистемы
йд{ = ЭЖ1 йр. = ЭЖ1 . = 12 йт др/ йт ддг '
dq¡ _ дЖ2 dPi di
дЖ,
дP^ di дq, независимо одну от другой.
i = 3, 4
(11) (12)
dPi
2
Ci
Ei
+ |B| Qi
dT 4 Q2 8Qi Исключая di из уравнений для Pj и Qx, получим
PidPi =
2
ci Ei 4Qi 8 Qi
+B
dQi.
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ (11), (12)
Рассмотрим каноническую систему (11). Выполним каноническое преобразование с производящей функцией W = PijQi cos Q2 + P^vQisinQ2
д W /77 Л д W /тт • л
qi = 5— = VQicosQ2, q2 = 5— = VQisinQ2, дPl дP2
Следовательно,
22
^--V —+ B Qi + C^ 2 8Q i 8
8q2 8Q
Pi = -^ =
i
дQl 2Q
(Picos Q2 + P2 sin Q2), (13)
P2 = 57Г = л/Qi (- Pisin Q2 + P2 cos Q2 ). дQ2
или
где
g
Pi = ^V^(QT), Si = sign Qi,
Ф( Qi) = - ci + Ei Qi + C2Qi + 81B| Qi
2
2
полином третьей степени относительно Q1, c2 = = -8р0 - постоянная интегрирования. Подставляя полученное P1 в первое уравнение (15), находим
где
fii
т + с3 = 2 811
dQi
(17)
F(Qз) = - с5 + E1QЪ + с6Q3-8|В Q\
полином третьей степени относительно Q3 и с6 = -8р0 - постоянная интегрирования. Подставляя полученное Р3 в первое уравнение (19), находим
Обращая эллиптический интеграл (17), получим Q1, которое подставим во второе уравнение системы (15). Тогда имеем
Q2
= c 1f dT
4 J Q1 ( т)
+ c4
Здесь с3, с4 - постоянные интегрирования. Таким образом, величины Q1, Q2, Р1 выражаются через эллиптические функции Якоби 8И т, сп т.
Проинтегрируем систему (12). Выполняя каноническое преобразование
4з = 7ёзСС8 Q4, = Т0з81П Q4,
Рз = 2 P3JQQ3 cos Q4-
Q3
sin Q4
Р4
= 2 РзТОЗап Q4 + -_ircos Q
Q3
получим гамильтониан
(18)
т + c7
= 2 52 J
dQ3
(21)
Результат обращения интеграла (21) подставим во второе уравнение системы (19). Тогда получим
Q4 = C5 J
csf dT
Q3 (т)
Таким образом, величины Q3, Q4, Р3 также выражаются через эллиптические функции. Нижние пределы п в интегралах (17), (21) выбираются в зависимости от расположения Q1, Q3 относительно корней полиномов Ф^), F(Q3) соответственно.
Формулы обратного преобразования
т 2 , 2 . ~ д2
Ql = 41 + 42, Q2 = —,
д1
Q3 = ?2 + ?4, tg Q4 =
(Ц4
Уз'
on- 1 ^ . P 4
%2 = jj [4Q3 P2 + QJ + Ро Q3 + IB Q2
и систему
dQ
_3 = QP d_Q4=P±
d т Q3 P3' _т 4 Q3'
2
4
dP-3 = -1 p2 + _
_т 2 3 jQ
dP4
-Ро-2'BQ3' __P =
Эта система имеет интегралы
1
Q3 P3 + -jijf + P0Q3 + |B| Q2 = -щ-2
jQ
j
P4 = cs,
(19)
(20)
применение которых приводит уравнение для P3 к виду
dP2 d т
2 c5
4 Q3
jQ
- |B| Q3
Исключая _т из уравнений для P3 и Q3 и интегрируя, получим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.