ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 3, с. 103-109
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО
РАВНОВЕСИЯ*
© 2004 г. И. В. Коннов
(Казань)
Рассматривается статическая модель экономического равновесия, в которой бюджеты потребителей фиксированы, а предложение производителей определяется на основе технологической матрицы. Показано, что данная модель формулируется в виде задачи о седловой точке вогнуто-выпуклой функции. Предлагается двойственный метод расщепления, позволяющий находить решение полученной задачи без дополнительных условий.
1. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ
Среди статических моделей экономического равновесия одной из наиболее популярных является так называемая модель общего равновесия, предложенная Скарфом (Scarf, Hansen, 1973; Economic equilibrium, 1985). В этой модели рассматривается рынок п товаров в условиях совершенной конкуренции, на котором действуют l производителей и t потребителей товаров. При заданных ценах p = (p1, ..., pn) > 0 можно определить спрос потребителя i как D(p) и предложение производителя j как Sj(p) для i = 1, ..., t, j = 1, ..., l. Для упрощения отображения Di и S- здесь считаются однозначными. Следовательно, каждому вектору цен p можно поставить в соответствие вектор избыточного спроса
E( p) = D (p) - S(p),
где
t i D (p) = £ Di (p), S( p) = £ Sj( p).
i= 1 j= 1
Как обычно, равновесным считается вектор цен p*, удовлетворяющий условиям:
p* > 0, E(p*)< 0, <p*, E(p*)> = 0, (1)
т.е. являющийся решением задачи дополнительности с основным отображением E. Хорошо известно, что эта задача записывается эквивалентно в форме вариационного неравенства
<E(p *), p *- p>> 0 Vp > 0 (2)
(см., например, (Коннов, 1998, предложение 1.3)). Далее, вид отображения предложения можно уточнить. Пусть A - матрица размерности l х п. Строка aj этой матрицы - это выпуск производителя j при единичной интенсивности его технологии, f(x) - вектор, принадлежащий пространству Rl, компонента j которого имеет вид f(xj) и определяет величину затрат производителя j при интенсивности Xj его технологии. Для упрощения функция f считается выпуклой и дифференцируемой. Тогда при заданном векторе цен p выпуск производителя j определяется как вектор Sj(p) = = XjaJ, где Xj - решение одномерной задачи выпуклой оптимизации
max —- {а<aJ, p> - f-(а)}. (3)
а> 0
В этом случае скаляр х- можно эквивалентно определить из условий оптимальности
х- > 0, <aj p> - с-(х-) < 0, х-(<aj p> - c-(x-)) = 0, (4)
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00070).
104 КОННОВ
где Cj(Xj) = fj (Xj) - производная функции затрат для j = 1, ..., l. Иначе говоря, отображение суммарного предложения приобретает вид
S( p) = ATx, x > 0, c (x)> Ap, < c (x) - Ap, x) = 0. (5)
Теперь общая задача (1) может быть переписана в виде системы задач дополнительности: найти векторы p* е Rn и x* е Rl, такие что
p* > 0, x* > 0,
ATx* - D(p*)> 0, c(x*) - Ap* > 0, (6)
< p *, Ax * - D(p *)) = 0, < x *, c (x *) - Ap*) = 0,
а с учетом (2), в виде системы вариационных неравенств: найти векторы р* е Я+ и х* е Я1
<Ax * - D(p*), p - p*)> 0 V p > 0; < c (x *) - Ap*, x - x*)> 0 Vx > 0.
(7)
Заметим, что пара (p*, x*) также является решением следующих прямой и двойственной задач линейного программирования:
max—► <D(p*), p), min—< c(x*), x),
T
Ap < c(x*), p > 0, A x > D(p*), x > 0,
где значения векторов D(p*) и c(x*) - фиксированы. Подобные пары задач, называемые также задачами квазилинейного программирования, рассматривались в (Булавский, 1981), где установлены некоторые условия существования решений (см. также (Гольштейн, Третьяков, 1989, с. 239)). В (Scarf, Hansen, 1973; Economic equilibrium, 1985) для задач экономического равновесия вида (6) были предложены методы топологического типа, однако они весьма громоздки в реализации и поэтому вряд ли применимы в случае большой размерности. В следующем разделе рассматривается модификация данной модели в условиях фиксированных бюджетов потребителей, которая допускает эффективные методы нахождения равновесия.
+ •
2. МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ С ФИКСИРОВАННЫМИ БЮДЖЕТАМИ
Уточним вид допустимых множеств цен и интенсивности технологий. А именно, определим множества
P = {p е Rn\0 <р' < pi <р'' < i = 1, n}
и
X = {x е Rl|0 < xi <Ci < + «>, i = 1, l}.
Иначе говоря, предполагается, что цена любого товара на рынке имеет положительную нижнюю границу и может иметь верхнюю границу, также верхнюю границу может иметь и интенсивность использования технологий, причем предположение об ограниченности множеств P и X является весьма естественным. Для определения равновесной цены в этом случае достаточно модифицировать задачу (2), т.е. можно считать равновесным вектор p* е P, такой что
<E(p *), p *- p)> 0 Vp е P.
Далее, выпуск товаров производителем j при ценах p определяется как вектор Sj(p) = xjaj, где скаляр xj является решением одномерной задачи
max —{а< a1, p) - fj (а)}
0 <0.<Gj
или, что эквивалентно, решением одномерного вариационного неравенства: 0 < xj <aj, [cj(xj) - < a1, p)](a - xj)> 0 Va е [ 0, a j ]
(сравни с формулами (3), (4)). Поэтому вместо (5) можно записать следующие соотношения, определяющие предложение:
S(p) = ATx, x e X, <c(x) - Ap, y - x> > 0 Vy e X.
В итоге задача равновесия сводится к решению системы вариационных неравенств: найти векторы p* е P и x* е X, такие что
j< Ax * - D (p *), p - p *>> 0 Vp e P, (8)
|< c (x *) - Ap*, x - x *> > 0 Vx e X.
Эта система уже не сводится к системе задач дополнительности вида (6). При формулировке задачи было использовано предположение о дифференцируемости и выпуклости функций затрат f. Если же эти функции не обязательно дифференцируемые, то, как легко увидеть, систему (8) следует заменить на:
j < Ax * - D (p *), p - p *> > 0 V p e P, (9)
I < Ap*, x* - x> + f (x) - f (x*) > 0 Vx e X,
где
l
f (X) = £ fj (Xj). (10)
J = i
Теперь уточним вид отображения спроса D. Для этого используем обычные предположения о потребительском спросе в условиях фиксированного бюджета (см., например, (Тимохов, 1982; Полтерович, 1990)). А именно, будем считать, что
Di(p) = Argmax{ф,(z)|<p, z> < в,, z e Kt}, i = 1, t, (11)
и при этом выполняется следующее условие.
Условие A1. Функция ф, строго вогнута, непрерывна и положительно однородна степени а, > 0, принимает на K, хотя бы одно положительное значение и не достигает максимума на K,; в, > 0, K, -выпуклый замкнутый конус с вершиной в нуле, для i = 1, ..., l.
Свойства отображения спроса в этом случае определяет следующая лемма.
Лемма 1. Пусть выполнено условие A1, тогда отображение:
а) D, - однозначно и непрерывно на intR+ ;
б) -D, является градиентом строго выпуклой функции
g,(p) = вlnmax{ф,(z)|<p, z><Pi, z e K{}. (12)
ai
Доказательство. Из леммы 1 в (Полтерович, 1990, гл. 3) следует, что
D,(p) = Argmax^ |lnф,(z) - <p, z>|z e K j, (13)
кроме того, отображение D, однозначно на intR+ в силу строгой вогнутости функции ф,, а поскольку допустимое множество в (11) будет непустым, выпуклым и ограниченным (см., например, (Тимохов, 1982, теорема 4.4)), то D, определено в любой точке intR+. Отсюда следует и непрерывность D,.
Далее, выберем произвольно точки p', p" е intR+, p' Ф p" и обозначим Z = D(p'), z" = D(p"). Согласно (13) имеем
a-lnФi(z') - <p\ z) > |lnф,.(z") - <p', z">,
i . (14)
ß ß ■
a in ф..( z •) - < p'z •> > a in ф..(z) - < p • •, z >.
Сложение этих неравенств дает
<p'- p", z"- z) > 0, т.е. отображение -D; строго монотонно. Кроме того, из (14) имеем
g;(p') - 8i(p')><p ', z - z'). (15)
Согласно условию A1, выполняются равенства
ß; = < p ', z) = < p '' , z'),
поэтому, используя (15), получаем
gi ( p ') - gi ( p ' ')>< z' , p ' ' - p '),
т.е. -z" есть субградиент функции g ; в точке p". В силу (Тимохов, 1982, теорема 3.2) имеем gi (p) = = -D;(p) для любого p е intR+. Поэтому функция g; строго выпукла, что и требовалось доказать. Теперь можно определить свойства отображения D.
Предложение 1. Если выполняется условие A1, то отображение негативного спроса -D является градиентом строго выпуклой функции
t
g ( p ) = X gi( p ),
i = 1
где gi определены в (12) на множестве intR+ .
Очевидно, что данное утверждение следует из леммы 1. Поэтому при выполнении условия A1 система (9) эквивалентно записывается в виде системы седлового типа: найти (p*, x*) е P х X, такие что
(16)
| < Ax *, p - p *) + g(p) - g(p * )> 0 Vp е P, I <Ap*, x* - x) + f (x) - f (x*) > 0 Vx е X. Данная система, очевидно, определяет седловую точку функции
L(x, p) = g (p) - f (x) + < x, Ap),
т.е. она совпадает с задачей
L(x, p*)< L(x*, p*)< L(x*, p) Vx е X, p е P. (17)
Введем еще 2 условия дополнительно к условию A1. Условие A2. Множества X и P ограничены.
Условие A3. Функции f : R+ —- R выпуклы и непрерывны для j = 1, ..., l. Тогда функция L(x, p) будет непрерывной и вогнуто-выпуклой на компакте X х P, и, опираясь на известную теорему о седловой точке (Гольштейн, Третьяков, 1989, с. 48), получаем условие существования решений.
Предложение 2. Пусть выполняются условия A1-A3. Тогда задача (9) (или, что эквивалентно, (16)) имеет решение.
Отметим, что в случае P = R+ , X = R+, а одна из функций g или f линейна (т.е. когда одно из отображений D или c является константой), система (16) превращается в задачу о седловой точке функции Лагранжа. Например, если удельные затраты cj на единицу интенсивности постоянны
для всех производителей j = 1, ..., l, тогдаf '(x) = c и задача (16) (или (8)) определяет необходимое и достаточное условие оптимальности в виде седловой точки функции Лагранжа L (p, x) = g(p) + + (x, Ap - о) для задачи выпуклой оптимизации
min —- {g(p)| Ap < c, p > 0 }.
3. ДВОЙСТВЕННЫЙ МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ
Рассмотрим задачу поиска седловой точки вогнуто-выпуклой функции в форме (16) или (17). Эта задача хорошо исследована и для ее решения разработано много итеративных методов (например, (Гольштейн, Третьяков, 1989)). Но так как f не обязательно должна быть гладкой, то сходимость к решению смогут обеспечить прямо-двойственные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.