ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 2, 2013
УДК 531.38
© 2013 г. А. В. Мазнев
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Рассматривается движение динамически симметричного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил с переменным гироста-тическим моментом, описываемое обобщенными уравнениями класса Кирхгофа—Пуассона. Получены условия существования трех линейных инвариантных соотношений специального вида и построены новые решения уравнений движения, которые выражаются либо в виде элементарных функций, либо в виде эллиптических функций времени.
Классическая задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, описываемая уравнениями Эйлера—Пуассона, получила многочисленные обобщения (см., например, обзоры [1—4]). Особенность задачи о движении тяжелого гиростата в предположении, что гиро-статический момент постоянен [1], состоит в том, что уравнения движения допускают три первых интеграла, и поэтому к ним применима теория Якоби интегрирования уравнений динамики. На практике, например при управлении ориентацией и стабилизации спутника роторами [5], важным обобщением служит задача о движении гиростата с переменным гиростати-ческим моментом, которая допускает только два первых интеграла. Эта задача рассматривалась многими авторами [5—9], исследовались частные случаи движения гиростата [10—13].
1. Постановка задачи. Метод решения. В классических работах [6—8] были заложены теоретические основы динамики гиростата с переменным гиростатическим моментом. Современная ее трактовка дана В.В. Румянцевым [5] и П.В. Харламовым [9]. Они рассматривали механическую систему, состоящую из тел £0,..., Sn. Тело-носитель 50 имеет либо неподвижную точку О, либо движение точки О задано (например, В.В. Румянцев предполагал, что точка О движется по орбите спутника). Тела Si либо геометрически симметричны (роторы [5]), либо динамически симметричны (моменты инерции относительно экваториальных осей равны [9]) и закреплены на теле 50 своими осями симметрии. Свойства взаимодействия тел 50 и 5 определены уравнениями относительного движения.
Будем рассматривать движение гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, которые характеризуются влиянием магнитного и электрического полей на намагниченный и наэлектризованный гиростат [14, 15]:
х = х х ю + Х(а х ю) - Ьа + ю х ВV + я х V + V х СV, V = V х ю, 1 = Ь (1.1)
х = (хь х 2, хз), ш = (юь ©2, ©з), а = (аь а 2, а 3), V = (уь V 2, V 3), 8 = (¿ь ^з)
Здесь x — момент количества движения тела-носителя, ю — вектор угловой скорости, связанный с вектором x соотношением ю = ах (а — гирационный тензор), X = Х(0 — функция, характеризующая величину гиростатического момента: X = Х(/) а, а — постоянный единичный вектор, Ь — величина, характеризующая действие сил на тела 5 со стороны тела 50 (например, в случае одного ротора [5] Ь — проекция момента сил на его ось вращения), V — единичный вектор оси симметрии силовых полей, s — постоянный
вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс, B = (Bj) и C = (Cj) — постоянные матрицы третьего порядка; точкой обозначена производная по времени. Уравнения (1.1) допускают два первых интеграла
v • v = 1, (x +1) • v - (Bv • v)/2 = k (1.2)
где к — произвольная постоянная. Поэтому для применения теории Якоби интегрирования уравнений динамики необходимо найти три дополнительных интеграла. Это обстоятельство принципиально отличает задачу, описываемую уравнениями (1.1), от задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае X(t) = const, поскольку в последнем случае есть интеграл энергии, и для интегрирования уравнений в квадратурах достаточно найти один дополнительный интеграл. Имеется обзор результатов по динамике гиростата с постоянным гиростатиче-ским моментом [1—4, 16, 17].
Рассмотрим уравнения (1.1) и интегралы (1.2) в скалярной форме, полагая
a = diag(ab о^, a2), B = diag(Bb B2, B2), С = diag(Cb С2, С2) а = (1,0,0), s = (sb0, 0) (
Тогда, полагая в уравнениях (1.1) L = X и учитывая равенства (1.3), имеем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
( + X)' = 02B2(V3Х2 - V2Х3) (1.4)
Xj = (-1)1 (01 - a2)x1x5_j - (-1)Ja2rkx5_j + a4_jBjav j-^^j -
- aj_1B4_jV7-2jXj-1 - (-1) j51V5-j + (-1)j (C1 - C2) V1V5-j, j = 2,3 (1.5)
v 1 = a2(x3V2 - X2V3), vj = aj_1V7_2j - a4_jX7_2jVj-1, j = 2,3 (1.6)
Интегралы (1.2) в скалярной форме таковы:
V2 + V2 + V2 = 1, (x1 + X) V1 + x2V2 + x3V3 + (B2 - B1) v2/2 = k* k* = k+B2/2
Из уравнения (1.4) в силу первого уравнения (1.6) вытекает первый интеграл
x1 + Х + B2v1 =а 0 (1.8)
Здесь а0 — произвольная постоянная. Этот интеграл — аналог интеграла Кирхгофа-Харламова [14, 16] задачи о движении тела в идеальной несжимаемой жидкости.
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений (1.5)—(1.8) трех инвариантных соотношений
xr = b0r + b1r v r, r = 1,2,3 (1.9)
где b0r и b1r — постоянные параметры, подлежащие определению. Из интеграла (1.8) при учете соотношения (1.9) для r = 1 найдем
Х = (а0 - Ььд) - (B2 + b1,1) V1 (1.10)
Внесем выражения (1.9), (1.10) в уравнения (1.5) и учтем в полученных равенствах соотношения (1.6). Тогда имеем два уравнения вида
/1(V1, V2, V3) = 0, /2(V1, V2, V3) = 0
(1.7)
Потребуем, чтобы они выполнялись для любых значений VI, v2, v3. Это приводит к следующим условиям, налагаемым на параметры уравнений (1.4)—(1.7) и параметры Ь0г, Ь1г инвариантных соотношений (1.9):
¿1,5-г [Мд + а2 (В, + В2)] - а1Ь11 (Д, + В2) + а^Дз+ С1 - С2 = 0, г = 2,3 (1.11)
Ьо,г [а,Ь1,1 + а2 (В, + В2) + а2Ь^_г] = 0, г = 2,3 (1.12)
V(а2«о -а1Ьо,1) + а1ЬоДВ2 + а1ЬоДЬ1,5_г + 51 = 0, г = 2,3 (1.13)
Ьо,5-г (а1Ь0,1 - а2а0) = 0, г = 2,3 (1.14)
Таким образом, условия (1.11)—(1.14) являются необходимыми условиями существования решения (1.9) уравнений (1.4)—(1.6).
Поскольку при наличии соотношений (1.10)—(1.14) динамические уравнения (1.4)—(1.5) становятся тождествами, выпишем уравнения (1.6), (1.7) при учете равенств (1.9), (1.10)
V1 = а2(Ь)^2 - Ьз^) + 02(^1,3 - Ьи)У2У3
(1.15)
Vj = ау-1Ь0,}-1^-2} - а4-А,7-2^ } -1 + (-1) (а1Ь1,1 - а2Ь1,5-} )v1v5—у, } = 2,33
aoVl + Ьo,2V2 + Ьo,зVз + Ь12у2 + ^3 -( + В2)vl|2 = к* (1.16)
Метод исследования условий существования инвариантных соотношений (1.9) состоит в анализе условий (1.11)—(1.14) и последующем интегрировании системы (1.15) при наличии у нее интегралов V • V = 1 и (1.16).
2. Случай Ь12 ^ Ь13. Из равенств (1.11), (1.13) получаем следующие соотношения:
Ь1,1 =- а2 (В1 + В2 )/ (2а1) (2.1)
2а1Ь0,1 - а2а 0 = 0 (2.2)
2 2
Если предположить, что в уравнениях (1.14) Ь02 + Ь03 ^ 0, то при учете равенства (2.2) из этих уравнений получим Ь0 1 = 0, а0 = 0. Тогда из уравнений (1.13) вытекает, что 5 = 0, т.е. центр масс гиростата неподвижен. Этот вариант исключаем из рассмотрения, так как для него необходимо изменять постановку задачи. Следовательно, в уравнениях (1.12), (1.14) следует положить Ь02 = 0, Ь03 = 0.
Полагая а0 ^ 0, из уравнения (2.2) определим
Ьоц = (а2<* 0)/(2а1) (2.3)
Таким образом, первое соотношение (1.9) при г = 1 становится линейной относительно V! функцией с известными коэффициентами.
Воспользовавшись уравнениями (1.11) и (1.13) при г = 2, получим
Ь>1,3 = (-К1 ± >/к2 - 4к0)/2, Ь1,2 = К1 - Ь1>3, к2 - 4к0 > 0
5^2 (В1 + В2) + 2^,1 (С2 - С1) 51 + афъВ (2.4)
к0 =-1-т-;——--, к1 = ■ -,—
2а1а2Ь01 а1Ь
'0,1
Таким образом, в силу равенств (2.3), (2.4), коэффициенты инвариантных соотношений (1.9) зависят от одной произвольной постоянной а 0.
Для нахождения решения V, = vi(t) (; = 1,2,3) обратимся к уравнениям (1.15). Так как Ь02 = 0, Ь03 = 0, то из системы (1.15) имеем
VI = ^(¿1,3 - ¿1,2^3
. (2.5)
V; = (-1)У [<¿0,1 + (<¿1,1 - <¿1,5-; М ]V5-; = 2,3
Система (2.5) допускает два первых интеграла, вытекающих из соотношений (1.7) и (1.16):
V2 + V2 + V2 = 1, а0Vl + Ь^2 + Ь^2 - (В + В2) v2/2 = к* (2.6)
и поэтому ее решение сводится к квадратурам. Из интегралов (2.6), при учете выражений (2.1), (2.3) получим
V; -1^1)/в0, в0 =
Ф;-^) = (—1)^[(«1Ь1Д - «2^5-;)v2 + 2^0,^1 + <^(¿1,5-; - к*)]; ; = 2,3 Из первого уравнения системы (2.5) в силу соотношений (2.7) следует, что V1 = -у/ ф1^1)ф2^1)
Зависимость v1 = v1(г) определим путем обращения интеграла
Г -- ? _ ?0 (2.8)
\ф1(у1)ф2(у1)
(0) VI)
и получим, что v1 = V1(г) — эллиптическая функция времени. Подставив ее в равенства (2.7), найдем v2(г), v3(г). Это позволяет из соотношений (1.9) получить зависимости хг = хг(?) (г = 1,2,3), а из соотношения (1.10) — функцию Х(?). Таким образом, решение уравнений (1.4)—(1.6) в случае (1.9) построено.
3. Случай Ь12 = Ь13. Уравнения (1.15) упрощаются:
V1 = a2(b),3V2 - b),2V3)
(3.1)
Vj = aj-Д,j-1V7-2j - a4-ib()j-2jVi-1 + (-1)(a^ - a2b,2)V1V5-j, j = 2,3
Из первого уравнения системы (3.1) следует, что при b0 2 = 0, b0 3 = 0 имеем V1 = const. Тогда из соотношения (1.10) вытекает, что величина гиростатического момента постоянна. Поэтому в дальнейшем полагаем
Д = b022 + b023 * 0
Запишем условия (1.11)—(1.14) в исследуемом варианте
b0,1 = (a2a0Va1 , a1b1,1 (b1,2 + B2) = C2 -C1 (32)
a1b1,1 + a2 (¿1,2 + B2 + B1) = 0, a2a0 (b1,2 + B2) + s = 0
Отметим, что параметры b02 и b03 произвольны. Решение системы (3.2) можно представить в виде
¿0д = ^0)/a1, b1,j-1 = [(-1)JS1 - a2a,0Bj_1]/(aj-1a0), j = 2,3 a2 (C1 - C2) a2 + saB1a0 - S12 = 0
Из последнего равенства (3.3), полагая, например, Q > C2, найдем
ао'2) = Г^1 , D = aufotít + 4 (C - C2)] (3.4)
2a2 (C1 - C2)
Таким образом, в силу соотношений (3.3), (3.4), величины b01, b11, b12, а0 принимают фиксированные значения, зависящие от параметров задачи. Систему (3.1) при учете условий (3.2) запишем в виде
V1 = a2(b()'3v2 - bo,2V3)
Vj = üj-boj_1V7_2j - a4-yb0'7_2jVj-1 + (-1)12a^1V5_j, j = 2, 3 (3.5)
ao = [[ + ü2 (B + B2 )]/2 Эта система имеет два первых интеграла
V2 + V2 + V2 = 1, Ü1b0'1V1 + Ü2b0'2V2 + Ü2b0'3V3 + ^j2 = ko (3.6)
где ko — произвольная постоянная.
В силу структуры второго соотношения (3.6) представляет интерес случай, когда параметр b11
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.