ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 1, с. 70-75
УДК 551.511:551.515.2:551.515.3
ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ИНТЕНСИВНЫХ АТМОСФЕРНЫХ ВИХРЯХ © 2014 г. Л. Х. Ингель
Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Калужская обл., Обнинск, ул. Победы, 4 E-mail: ingeli@obninsk.ru Поступила в редакцию 20.07.2012 г., после доработки 02.10.2012 г.
Обращается внимание на положительную обратную связь, которая может играть заметную роль в интенсивных вихрях типа торнадо и, возможно, тропических циклонах: вращение подавляет турбулентность, что, в свою очередь, может способствовать интенсификации вращения. Это проиллюстрировано несколькими простыми моделями.
Ключевые слова: торнадо, тропические циклоны, турбулентность, вращение, ламинаризация, положительная обратная связь.
DOI: 10.7868/S0002351514010064
1. ВВЕДЕНИЕ
Для интенсивных атмосферных вихрей (торнадо, тропических циклонов) характерен цикло-строфический баланс — приближенное равновесие между направленной к оси вращения силой градиента давления и суммой центробежной и кориолисовой сил (последняя в центральных областях интенсивных вихрей обычно пренебрежимо мала). Этот баланс нарушают, прежде всего, диссипативные факторы — вязкость и теплопроводность. При большйх сдвигах скорости, существующих в таких вихрях, турбулентность и связанная с ней диссипация вихря, на первый взгляд, должны быть весьма интенсивными и эффективными. Например, при горизонтальных размерах смерча Б = 30 м, и коэффициенте турбулентного обмена К = 10 м2/с стандартная оценка характерного времени диффузионных процессов Б2/К дает время диссипации вихря порядка одной минуты. Но такие вихри обычно существуют заметно дольше, и даже когда они существуют недолго, наблюдаемая картина обычно не похожа на классическую диффузию: наблюдается весьма резко выраженная вертикальная или наклонная граница вихря [1, 2]. Такие градиенты (скачки) представляются несовместимыми с интенсивным турбулентным перемешиванием.
В качестве объяснения можно предположить, что важную роль в интенсивных вихрях играют некоторые особенности взаимодействия вращения и турбулентности. Известно, что интенсивное вращение может, подобно устойчивой страти-
фикации, заметно подавлять турбулентность [3—7]. Поэтому просматривается следующий механизм положительной обратной связи. Быстрое вращение подавляет турбулентность, а это, в свою очередь, способствует поддержанию и интенсификации циклострофического режима с большими скоростями вращения и горизонтальными перепадами давления и плавучести. Ниже эта мысль проиллюстрирована некоторыми простыми моделями.
2. ОЦЕНКА ХАРАКТЕРНОГО ВРЕМЕНИ ПОДАВЛЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В СМЕРЧЕ
Ввиду известной аналогии между эффектами вращения и стратификации, для описания влияния вращения на турбулентность имеет смысл использовать модели, апробированные при описании эффектов стратификации. В частности, для описания эффектов быстрого вращения в настоящей заметке модифицирована соответствующая полуэмпирическая модель турбулентности [8], которая хорошо согласуется с теорией подобия при достаточно устойчивой стратификации [9].
Априори можно ожидать, что с усилением стратификации (вращения) масштаб турбулентности I уменьшается. Будем рассматривать предельный случай, когда I много меньше характерных горизонтальных масштабов, на которых заметно меняется средняя удельная кинетическая энергия турбулентных пульсаций Ь и другие средние (нетурбулентные) поля. В этом случае в уравнении баланса турбулентной энергии в форме
Колмогорова—Монина [10] диффузионное слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с дисси-пативным (это можно проверить, например, когда решение для Ь будет найдено). Упомянутое уравнение в этом случае можно записать в виде
^ = -аТШ2 - 4^7 + В, К = ¡4ъ. (1) йг Т с4!4
Здесь I — время, N — частота плавучести, К — коэффициент турбулентности, с и аТ — безразмерные параметры (в простейшей модели считаем их постоянными), слагаемое В описывает генерацию турбулентной энергии.
Относительно масштаба турбулентности I примем следующую гипотезу [8] :
ным вращением. Упомянутая система сводится к уравнению
I = зЬ121м,
(2)
где ж — безразмерная постоянная. Последнее выражение, называемое нередко масштабом Озми-дова, имеет простой физический смысл: правая часть (2), с точностью до постоянного множителя, представляет собой расстояние, которое пройдет в вертикальном направлении частица среды с первоначальной турбулентной скоростью Ь12, прежде чем эта частица будет остановлена силами плавучести. Ясно, что масштаб турбулентности не может по порядку величины превышать упомянутое расстояние. Когда оно невелико (при достаточно устойчивой стратификации), не видно также оснований брать I меньше правой части (2). Эта гипотеза согласуется также с соображениями размерности и подобия [9].
Во вращающейся среде некоторым аналогом частоты плавучести является так называемый параметр инерциальной устойчивости (см., например, [11] и библиографию к этой работе):
N^=,/р+/р+дт+п
г /\г дг
(3)
Здесь г — расстояние до оси вихря (он предполагается осесимметричным), V — тангенциальная скорость, / — параметр Кориолиса. В простейшем случае твердотельного вращения (ситуация, характерная для центральных областей геофизических вихрей)
N = + / „ — г г
(4)
и не зависит от радиальной координаты (определяется угловой скоростью).
Если для описания динамики турбулентности в ядре вихря пользоваться системой (1), (2), заменив там N на Nv [12], то легко оценить характерное время подавления турбулентности интенсив-
^^ + З^К = *в, йг
(5)
где безразмерная константа З = saT |1 + (с4х2аТ При этом
Ь = 1 N,4, I = (К/Х)
1/2
Пусть поле турбулентности в начальный момент задано: К|г=0 = К0. Тогда, пренебрегая генерацией турбулентности (при твердотельном вращении генерация отсутствует), из (5) легко видеть, что турбулентность будет подавлена за время порядка
(SNv)-1 « З(г/2v) = (2Зю)-1, где ю — угловая скорость вращения. Значение безразмерного параметра 3, видимо, можно предполагать порядка единицы, и тогда характерное время подавления турбулентности сравнимо с периодом вращения ядра вихря или на порядок больше. В случае торнадо это могут быть, например, секунды, в случае тропических циклонов — десятки минут. Это — грубые оценки, но они прозрачно демонстрируют эффективность механизма подавления турбулентности в ядрах интенсивных вихрей.
3. ДИФФУЗИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ИЗ ОБЛАСТИ МАКСИМАЛЬНЫХ ВЕТРОВ
В "ГЛАЗ" ТРОПИЧЕСКОГО ЦИКЛОНА
Вблизи радиуса максимальных ветров значение градиента ду/дг резко меняется, что означает и изменение Nv, т.е. условий существования турбулентности. Например, в тропических циклонах (ТЦ) область максимальных ветров обычно находится относительно недалеко (десятки километров) от оси вращения. Вблизи упомянутой области, где вращение уже не твердотельно, а сдвиги скорости велики, несомненно, происходит интенсивная генерация турбулентности. Содержательный вопрос: в какой мере эта турбулентность может проникать в направлении оси вращения? Простейшая (но содержательная) модель должна описывать нелинейную диффузию энергии турбулентности в центральную область, где имеются стоки турбулентной энергии, связанные с ее диссипацией и подавлением турбулентности интенсивным вращением.
Предполагаем, что на внешней границе рассматриваемой центральной области вихря — окружности радиуса гт, где ветер близок к максимальному значению vm — задано значение удельной кинетической энергии турбулентных пульсаций Ьт. Внутри этой области вместо (1) рассматриваем стационар-
ное уравнение с дополнительным учетом нелинейной диффузии:
-aTKN;
- iL+U ьК db) =
c l rdr\
dr
0,
(6)
-T™*2 - li + |(abK|) = 0.
(8)
r — Ar < r < r
' ГЦ — ' — ' m
(9)
(10)
S =
2a T
1 + ■
1
4 2
V2
вается" с тождественно нулевым (см., например, [13] и библиографию в этой работе).
Введем переменные у = Ь2, п = йг. Тогда
где а Ь — безразмерный параметр.
Последнее слагаемое в левой части (6) представим в виде суммы
1д (га ьК дЬ) = А (а ьК дЬ) +1 (а ьК дЬ). (7)
г дг\ дп дг\ дп г\ дг!
Обозначим через Аг радиальный масштаб — характерную глубину проникновения турбулентности от внешней границы области в сторону оси вращения. Остановимся на случае Аг <§ гт (ниже будет показано, что он представляет особый интерес). В этом случае масштабный анализ дает основания пренебречь последним слагаемым в правой части (7). Действительно, по сравнению с другим слагаемым оно имеет порядок Дг/гт <§ 1. Уравнение (6) в этом приближении принимает вид
d2(b2)
d (n2)
dn _ d n dy _ d n _ 1' dr2 dr dy dr dy 2 dy
Уравнение (10) принимает вид
d (П2)
dу
■- = 0.
Интегрируя, получаем
2 _ 4 с2л/-2 3/2
n
-S2 N>3'2 + C,
Смысл этого упрощения вполне прозрачен. Если турбулентность проникает лишь в глубь тонкого кольца
то эффекты полярной геометрии непринципиальны (радиальная координата в пределах упомянутого кольца меняется мало), и диффузионное слагаемое мало отличается от случая плоской геометрии, для которой ряд задач исследован в нашей работе [13]. С учетом (2) и гипотезы К = л/Ь, уравнение (8) нетрудно привести к виду
й2 (Ь2) 2 2
—у* - ^ = о,
йг
где безразмерный параметр
где С — постоянная интегрирования, которую следует положить равной нулю, поскольку предполагаем (ниже это будет проверено), что вдали от внешней границы должны обращаться в нуль и у, и п (т.е. энергия турбулентности и ее поток). Тогда
йг йг л/3
При Ь ф 0 отсюда следует
йЬ = у Ь1/2
йг 73
(знак выбран с учетом убывания энергии турбулентности с уменьшением г). Интегрирование с учетом упомянутого краевого условия на внешней границе г = гт после упомянутой сшивки с нулевым решением дает
b =
1 - SNv. ( - r)
ab ^ c s aTyj
В области твердотельного вращения, где Nv = const, (10) представляет собой нелинейное уравнение с постоянными коэффициентами, допускающее общее аналитическое решение. Прежде всего, отметим, что существует тождественно нулевое решение этого уравнения. Особенность рассматриваемых задач типа нелинейной диффузии (теплопроводности) заключается в наличии достаточно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.