Естественные на уки
Физико-математические науки Математика
Дифференциальные, .уравнения, динамические, .с.исте.мы, и оптимальное управление
■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■в %ß ш ш ш ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
Израилович М.Я., доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук
ОБ ОДНОМ НАИБОЛЕЕ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В КВАДРАТУРАХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГАУССА
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
+ + = (!)
где N - константа, ш{х) - произвольная непрерывная за исключением конечного числа точек функция.
Функция и = xN+1 является частным решением уравнения (1). Положим ш(х) = где М - константа; тогда уравнение (1) принимает вид:
x(X-1)ü+[-(N+^-^X + N]Ü + MU = 0. (2)
В результате п - кратного дифференцирования уравнение (2) получим следующее уравнение относительно у = :
М
х(х — 1)у +
( м \
(2 n-N--—-)x + N-V N + 11
п
У +
+ [м + п(п-1)-п(]У+^)]у = 0. (3)
Очевидно, что частным решением уравнения (3) является функция:
У1 =хы+1~п. (4)
Второе частное решение:
У2 =У1 /уГ2 ехр[- ¡р(х)йх]йх, (5)
где РМ = (6)
а = 2п — N ——, Ъ= N - п . (7)
N+1' 4 '
Поскольку / р(х)йх = / йх = 1п , (8)
то с учетом (5), (8) общее решение уравнения (3) определяется в виде:
у = Сгхы+1-п + С2хм+1~п / х2^"1) X йх, (9)
где С!, С2 - произвольные постоянные.
Сопоставляя уравнение (3) с гипергеометрическим уравнением Гаусса:
х(х- 1)у + [(а + р + 1)х — у]у + а/3у = 0, (10)
получим:
а + В + 1 = 2п-М-—,
г N+1'
ар =М-п^+-^+п(п-1), (11)
у = —./V + п.
Из (11) следует, что
Ы = п-у, (12)
М=-—^—-(п-у + 1), (13)
а три константы уравнения Гаусса (10) а,р,у связаны только одним соотношением:
а + (3 + 1 = п + у- -—^—- (14)
в котором еще фигурирует число п: п = 0,1,2 ...
Отсюда следует, что любые две из трех констант а, р, у могут принимать произвольные значения, тогда третья константа будет принимать ряд дискретных значений, определяемых из уравнения (14).
При этом решение уравнения (10) будет определяться в соответствии с формулой (9), в которой константы N и М следует рассчитывать по формулам (12), (13).
Очевидно, что такой случай интегрируемости уравнения (10) является существенно более общим, чем известные случаи, описанные в справочной литературе [1], [2].
Литература
1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука. 376 с. 1976 г.
2. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.