научная статья по теме ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МЕТРИЧЕСКИХ, НОРМИРОВАННЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ Математика

Текст научной статьи на тему «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МЕТРИЧЕСКИХ, НОРМИРОВАННЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 455, № 2, с. 127-129

МАТЕМАТИКА

УДК 515.12+519

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ МЕТРИЧЕСКИХ, НОРМИРОВАННЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

© 2014 г. А. А. Борубаев

Представлено академиком И.А. Таймановым 14.08.2013 г. Поступило 01.10.2013 г.

БО1: 10.7868/80869565214080039

Многие фундаментальные результаты общей топологии и функционального анализа получены в классах метрических, нормированных и унитарных пространств. Поэтому содержательные обобщения этих пространств и полученных в них результатов представляют научный интерес.

Наиболее общие метрики и нормы над топологическими полуполями рассмотрены в работах М.Я. Антоновского, В.Г. Болтянского, Т.А. Са-рымсакова [1, 2], а также имеется ряд работ, посвященных обобщению метрики и нормы, в частности метрики над банаховыми пространствами, см., например, [3].

Пусть М + = [0, да), К = (-«, <»), а т — произвольное кардинальное число. Через М + и Мт обозначим тихоновское произведение т копий пространств

М + и Мт соответственно (с естественной топологией). В пространствах М + и Мт естественным образом (покоординатно) определяются операции сложения, умножения и умножения на скаляр, а также частичная упорядоченность. Пространство [т превращается в так называемое "тихоновское"

топологическое полуполе, а М + — положительный конус полуполя [т (см. [1]). С другой стороны (см. [1]), доказано, что любое топологическое полуполе можно вложить в "тихоновское" топологическое полуполе [т.

Если топологические полуполя, метрики и нормы над ними возникли при изучении пространств функций, в частности эргодических теорем теории вероятностей, то изучаемые в данной работе понятия т-метрики, т-нормы возникли "изнутри" при изучении самих равномерных и локально выпуклых линейных топологических пространств.

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, Бишкек

Мы в дальнейшем будем использовать следующее общеизвестное понятие (см., например, [4]). Пусть {/а: X ^ Уа: а е А} — семейство отображений множества X в семейство множеств {Уа: а е А}. Отображение /: X ^ П{^а: а е А}, определяемое формулой /х = {/ах: а е А}, называется диагональным произведением семейства отображений {/а: а е А} и обозначается через Д{/а: а е А}.

Пусть (X, Ж) — произвольное равномерное пространство, а {ра: ае А} — произвольное семейство псевдометрик на X, порождающих равномерность Ж (см., например, [4]), а т — мощность множества А. Через рт обозначим диагональное произведение отображений ра: Ха х Ха ^ М+, а е А, т.е. Рт = Д{ра: а е А}: X х X ^ К+.

Пусть (Ь, Т) — произвольное локально выпуклое линейное топологическое пространство, а {Рр: ре В} — произвольное семейство псевдонорм на Ь, порождающих топологию Т (см., например, [5]), ц = |В|. Через ||- обозначим диагональное произведение отображений Ь х Ь ^ М +, р е В, т.е. ||-||, = Д{рр: ре В}: Ь х Ь ^ М+.

Аксиоматизация отображений рт и ||-||ц приводит к понятиям т-метрики и т-нормы.

Определение 1. Пусть X — непустое множество. Отображение рт: X х X ^ М + называется т-метрикой или мультиметрикой (если т — не фиксировано) на X, а пара (X, рт) — т -метрическим или мультиметрическим пространством, если выполняются следующие известные аксиомы:

1) р т(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

где 0 — точка пространства М+, все координаты которой состоят из нулей;

2) рт(х, у) = рт(у, х) для всех х, у е X;

3) Рт(х, у) < Рт(х, г) + Рт(г, у) для всех х, у, г е X.

128

БОРУБАЕВ

Всякая мультиметрика рт на множестве X порождает равномерность Шр и топологию Тр . Для каждой окрестности 0(9) точки 0 пространства М+ положим ¥0(в) = {(х, у): рт(х, у) е 0(0)}. Тогда семейство {^0(9)1 0(0) пробегает базу окрестностей точки 0 в пространстве М+} образует базу некоторой равномерности Шр на множестве X. Если объявим окрестностью точки х е X множества вида 0(х) = {у е X: рт(х, у) е 0(0)}, то они порождают топологию Тр,т, причем топология, порожденная равномерностью Шр т, совпадает с топологией Тр. Следовательно, топологическое пространство (X,Тр) является тихоновским пространством.

Следующий пример показывает широту класса т-метрических пространств.

Пример 1. Пусть {(Ха,ра): ае А} — произвольное семейство метрических пространств и пусть т = \А\. Тогда рт(х, у) = {ра(ха, уа): а е А} является т -метрикой на X, где X = П{Ха: ае А}, х = {х а: ае А}, у = {уа: а е А}, ха, уа е Ха для каждого а е А.

Понятие т -метрического пространства введено в работе автора [5] и с его помощью со счетного случая на общий случай перенесены ряд фундаментальных результатов, полученных в классе метрических пространств, в частности теорема С. Банаха о неподвижной точке [5]. Там же было введено и изучено понятие полноты т-метрических пространств.

Известно (см. [4]), что произведение не более счетного числа метрических пространств является метрическим.

Теорема 1. Пусть {(Ха,рТа): а е А} — произвольное семейство (полных) та-метрических пространств. Тогда (X, рт) является полным т-метри-ческим пространством, где X = П {Ха: ае А}, РтС^ У) = {р Та (ха, уа): ае A}, х = (ха: ае A}, у = {уа: а е А}, ха,уа е Ха для любого а е А, а т = Е{та: а е А}.

Следствие 1. Произведение произвольного семейства (полных) мультиметрических пространств также является (полным) мультимет-рическим пространством.

Пусть £ = {(Ха,р Та), лО,, а, ре А} — проективный спектр, составленный из мультиметрических пространств.

Пусть XS — предел проективного спектра, составленного из множеств {Ха, п^, а, ре А}. Положим X = П{Ха: а е А}, рт = {рТа(ха,уа): а е А}, где ха, уа е Ха для любого а е А и т = |А|. Через р£ обозначим сужение мультиметрики рт на X (так

как Х8 с X). Тогда мультиметрическое пространство (Х5, ) называется пределом проективной системы S, а т = |А| называется длиной проективной системы S.

Следующая теорема дает точное соотношение между классами метрических пространств и т-мет-рических пространств.

Тео р е ма 2. т -метрические пространства (X, рт) и только они являются пределами проективных спектров длиной т, составленных из метрических пространств.

Поскольку произведение полных мультимет-рических пространств является полным мульти-метрическим пространством (следствие 1), а предел проективного спектра является замкнутым подпространством произведения элементов спектра, то справедлива следующая

Тео р е ма 3. Полные мультиметрические пространства и только они являются пределами проективных спектров, составленных из полных метрических пространств.

Определение 2. Отображение ||-||т: X ^ К+ линейного пространства X(над полем вещественных чисел) в пространство М + называется т-н о р -мой или мультинормой (если т не фиксировано) на линейном пространстве X, а пара (Х,||-||т) — мультиметрическим или т-метрическим пространством, если выполняются следующие известные аксиомы:

1)

| тогда и только тогда, когда x — нуле-

вой элемент линейного пространства X, а 0 — точ-

— т

+, все координаты которой рав-

для любого скаляра X

и

ка пространства ны нулю;

2) \\Щ\т = М |х любого х е X;

3) ||х + у||т < ||х||т + ||у||т для всех х, у е X.

Если (X, ||-||т) — т-нормированное пространство, то, полагая рт(х,у) = ||х + (— 1)у||т = ||х - у|| получим т-метрическое пространство (X, рт), которое, в свою очередь, порождает линейное топологическое пространство (Х,7]|.цт).

По аналогии с примером 1 можно привести многочисленные примеры мультинормирован-ных пространств.

Хорошо известно, что произведение только конечного числа нормированных пространств является нормированным пространством (см., например, [6]).

Те о р е м а 4. Пусть Ха, || • ||т ): а е А} — произвольное семейство (полных) та-нормированных пространств. Тогда (X, ||-||т) является (полным) т-нормированным пространством, где X = П{Ха: а е А},

х

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ

129

Н т = I х а\1а: ае А}, х = {ха: ае А}, ха е Xа для любого а е А, а т = Е{та: а е А}.

Следствие 2. Произведение (полных) муль-тинормированных пространств является (полным) мультинормированным пространством.

Заметим, что если (X,||-||т) — т-нормированное пространство, а М — его замкнутое линейное подпространство, то его фактор-пространство X(М,||-1| ) также является ^-нормированным пространством, где ||-1| является т1-нормой, определяемой по формуле \\х\\ = inf {||х|| : х е х}; здесь х — класс смежности фактор-пространства X/М , причем т1 < т.

В работе [1] теорема А.Н. Колмогорова [7] о нормируемости линейных топологических пространств перенесена на нормированные пространства над "тихоновскими" полуполями.

В нашей терминологии этот результат уточняется следующим образом: линейное топологическое пространство X является т -нормируемым тогда и только тогда, когда нулевой элемент пространства Xимеет базу, состоящую из т выпуклых окрестностей.

Теорема 5. Всякое т-нормированное пространство (X',||-1|т) имеет единственное с точностью до изометрии пополнение (X, || • || ).

Полное мультинормированное пространство будем называть мультибанаховым.

Известно, что различные семейства псевдонорм порождают одну и ту же топологию локально выпуклых топологических пространств (см., например, [8]), а их диагональные произведения являются мультинормой.

Следовательно, мультинормы являются более тонкой структурой, чем структуры локально выпуклых топологий.

Следующая теорема усиливает теорему 5.4 из [6] о проективных пределах банаховых пространств.

Теорема 6. Мультинормированные (мульти-банаховые) пространства и только они являются пределами проективных спектров, составленных из нормированных (банаховых) пространств.

Определение 3. Пусть X — линейное пространство (над полем действительных чисел [ ).

Отображение (•, •): X х X ^ Кт называется т-с к а -лярным произведением (если т — не фиксировано) на линейном пространстве X, если выполняются следующие известные аксиомы:

1) (х, у) = (у, х) для всех х, у е X;

2) (Хх + цу, г) = Х(х, г) + ц(у, г) для всех X, ^е М, х, у, г е X;

3) (х, х) >0 для всех х е X, причем (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х — нулевой элемент ли-

нейного пространства X, а 0 — точка пространства [т, все координаты которой состоят из нулей.

Линейное пространства X с т-скалярн

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком