ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 8, с. 1292-1298
УДК 519.62
Посвящается светлой памяти А.П. Фаворского
ОБ ОДНОМ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СЕМЕЙСТВЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ КЕПЛЕРА1)
© 2015 г. Г. Г. Еленин, Т. Г. Еленина
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК, Физ. ф-т) e-mail: elenin2@rambler.ru; t.yelenina@gmail.com Поступила в редакцию 26.03.2015 г.
В работе предлагается семейство численных методов для решения задачи Кеплера. Все методы семейства являются симплектическими, сохраняют момент количества движения, полную энергию, а также компоненты вектора Лапласа—Рунге—Ленца и фазовый объем. Методы основаны на идее точной линеаризации задачи с помощью преобразования Леви—Чивита и двухстадийных симметрично-симплектических методах Рунге—Кутты. Библ. 8.
Ключевые слова: гамильтоновы системы, симплектичность, обратимость, интегралы движения, методы Рунге—Кутты, задача Кеплера.
DOI: 10.7868/S0044466915080074
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена светлой памяти нашего товарища и коллеги Антона Павловича Фаворского, жизнерадостного и мудрого человека, профессионала в области численного анализа уравнений сплошной среды, заслуженного профессора Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Заметная часть научного творчества Антона Павловича связана с разработкой консервативных численных методов для решения задач газовой динамики. Это обстоятельство, в определенной мере, определило тему настоящей работы.
Исследования выполнены в рамках проблемы разработки вычислительных методов, сохраняющих максимальное число глобальных свойств точных решений задачи Коши для гамильтоно-вых систем. Такие методы дают более высокую точность приближенных решений задач на больших интервалах времени. К глобальным свойствам с глубоким геометрическим и физическим содержанием относятся симплектичность отображения начального состояния в текущее состояние, наличие "стандартных" интегралов движения (сохранение полного количества движения, полного момента количества движения, полной энергии), а также дополнительных законов сохранения, вызванных симметрией взаимодействия в системе (см. [1]).
Задача Кеплера является простейшим, но нетривиальным примером рассматриваемого класса задач. Ее решение описывает движение двух взаимодействующих материальных точек. В случае задачи Кеплера дополнительно сохраняется вектор Лапласа—Рунге—Ленца (ЛРЛ). Классические вычислительные методы разрушают практически все глобальные свойства точных решений задачи Коши для гамильтоновых систем. Кратко охарактеризуем два наиболее приемлемых метода решения этого круга задач. Широко используемый при решении задач молекулярной динамики метод Верле (см. [2]) является симплектическим, сохраняет полное количество движения, полный момент количества движения, однако, не сохраняет полную энергию. В случае задачи Кеплера метод также не сохраняет вектор ЛРЛ, что приводит к качественно иной картине движения взаимодействующих материальных точек на больших отрезках времени. Консервативный метод Грипспена (см. [3]) сохраняет полное количество движения, полный момент количества
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-12017-офи-м-2011).
движения, полную энергию, однако, не является симплектическим и существенно разрушает геометрию решения. В случае задачи Кеплера метод также не сохраняет дополнительные первые интегралы (компоненты вектора ЛРЛ). В результате существенно искажается качественная структура орбит.
В последние годы существенно возрос интерес к рассматриваемой проблематике, в частности, к разработке численных методов для решения задачи Кеплера (см. [4]—[6]). Новые результаты получены на основе идеи использования преобразования Леви—Чивита для точной линеаризации задачи Кеплера (см. [4]).
В настоящей работе предлагается использовать однопараметрическое семейство двухстадий-ных симметрично-симплектических методов Рунге—Кутты (см. [7]) для решения линеаризованной задачи. Сочетание нелинейного симплектического преобразования и симметрично-сим-плектических методов Рунге—Кутты приводит к новому семейству методов, по крайней мере, второго порядка аппроксимации, сохраняющих все глобальные характеристики точного решения задачи Кеплера. Как известно (см. [8]), задача о динамике двух взаимодействующих материальных точек эквивалентна задаче о движении виртуальной материальной точки в центральном поле сил. Именно эта задача и рассматривается ниже в случае потенциала гравитационного взаимодействия.
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Для численного решения задачи Кеплера
й-г = - йН _ -уи- х
йг йх (х2 + ^ }з/2'
й-г = - Ш =-уи—У—, (1)
йУ йу (х2 + у2 ^ ()
йх _ йН _ - йу _ йН _ -
йг й-х х йг й у'
л у
с начальными условиями
х( 0) _ х0, У( 0) _ Уо, -х( 0) _ -х0, -у(0) _ -у0, х0 -у0 * Уо -х0 (2)
и функцией Гамильтона
2 2 2 2 — 1 /2 Н( -у, х, у) _ 0.5( + -у) - уМ(х + у )
предлагается использовать однопараметрическое семейство явных разностных схем следующего вида:
- _ ( 2 а 1 1 - 1 ) г Ух + а п аих + а п а2 1 [х( -I - ) + 2у -у ]
-х 2 2 2 2 , гап + а21 г (-х + -у) + 2а21 ап(у-у + х -х)
- _ ( 2 а 1 1 - 1 ) г -у + а па иу + а п а 2 1 [ -у ( - -2у) + 2х -х-у ]
у 2 2 2 2 ' гаи + а21 г (-х + -у) + 2 а21 ап(у -у + х )
х _ а^х + 2аиа21 г-х + а21 [х( -2Х - -2у) + 2у-х-у], (3)
у _ апу + 2апа21г-у + а21 [-у(-2Х - -2у) + 2х-х-у], г _ г + А г,
А г _ т[ 2 упг + 2 Т712(х -х + У-у) + 0.5 Х^К -I + -2)],
. 2 2,1/2 . ,_2 -2ч 1/2
г _ (х + у ) , г _ (х + у ) , ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 55 № 8 2015
где у — гравитационная постоянная, М — сумма масс взаимодействующих материальных точек, ? — время, (V*, vy, х, у) и (ух, х, у) — состояния системы в моменты времени I и ? соответственно,
аи = 1 + 0.5т (в п + р21) = 1 - |*х2,
Ро
а 12 = 0.5т (Р12 + Р22) = - Н т( 1 - 0.5 Н*т2 /),
ро
а21 = т + 0.25т2[( 1 - 5 )р11 + (1 + 5 )Р 21 ] = т- тН (1 - 52 + 0.5 Н*т2 54),
2 р0
2 4
У11 = 1 + 1 [( 1 - 5 - 5 )Р 12 + (1 + 5 - 52) Р22 ] + 32 [(0.5 - 5 + / )Р ^ + ( 0.5 + 5 + / )Р22 + (1 - 2*2 )Р 12 Р22 ],
2
У12 = 1 + 4 [(1 - 5 - 52)вц + ( 1 + 5 - 52)Р21 ] + | [( 1 - 5 - /^ + (1 + 5 + /)в22] +
(4)
3
+ 33-2[2(0.5 - 5 + 54)в11 Р12 + 2(0.5 + 5 + 54)Р21 Р22 + ( 1 - 252)(Р 11 Р22 + Р12Р21)], У22 = 1 + 52 + 2 [( 1 - 5 - 53)Р 11 + (1 + 5 + 53)р21] +
2
+ | [(0.5 - 5 + 54)Р2п + (0.5 + 5 + 54)Р21 + (1 - 252)Р11 Р21 ] ,
Р11 = -тН*(1 + 5 - 0.5т2Н*53)Р01, Р12 = -2Н*(1 - 0.5т2Н*5( 1 + 5))р^, Р21 = -тН*( 1 - 5 + 0.5т 2Н*53)Р01, Р22 = -2Н*(1 - 0.5т2Н*5(5 - 1 ))р^, р0 = 1 + т 2(0.5 - 52)Н* + 0.25тУ (Н*)2,
Н* = -Н( Vx0, Vy0, Х0, У0) = -0.5( ^ + ^) + уМ(*2 + у2) 1/2. Отметим, что для коэффициентов а11, а12 и а21 справедливы соотношения
а21 - а 12а21 = 1, (5)
а12 + 2 Н* а21 = 0, (6)
и следствие соотношений (5), (6)
а21 + 2Н* а21 = 1. (7)
Параметр т определяет масштаб переменного шага по времени А?, который вычисляется автоматически исходя из свойств решения задачи. В случае периодических решений задачи (при Н* > 0) величина т составляет малую долю периода, равного я(2Н*)-1/2. Параметр семейства методов ж е [0, 1]. Для любой его величины метод имеет по крайней мере второй порядок аппроксимации при т —- 0. При ж = 1/73 порядок метода равен 4. Предложенное семейство методов содержит метод, рассмотренный в [4] (при значении параметра ж = 0).
Предварим исследование семейства методов перечислением глобальных свойств решений задачи Коши для гамильтоновой системы (1), (2).
2. ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КЕПЛЕРА
Как известно (см. [1]), решения задачи (1), (2) осуществляют симплектическое отображение начального состояния (-^ -у0, х0, у0) в текущее состояние (-х(0, -у(0, х(0, У(0) с матрицей Якоби
д(-х(г), -у(г), х(г), у(г))
в _
д(
У у
-х0, -у0,
х0, У0)
которая удовлетворяет тождеству
вчв=/, J _
/ л
0 0 10
0 0 0 1
-10 0 0
V 0 -10 0 >
и сохраняют фазовый объем, так как ёй В = 1, момент количества движения:
к(г) _ х(г) -у( г) - У( г) -х( г) _ К, 0 _ х0 -у, 0 - У0 0 ,
полную энергию:
н(г) _ Н( -х(г), -у(г), х(г), у(г)) _ Л(0) _ Н(-х0, -у0, х0, У0), а также компоненты вектора ЛРЛ:
2 2 2 _1/2
еькь,х(г) _ х(г) -;(г) - у -,(г) -у(г) - уМх(г)(х2(г) + у2(г)) 7 _
2 2Ч-1/2
_ х0 -У0 - У0 -х0 -у0 - УМх0(х0 + У0)
_ е
ькь,
х(0) ,
2 2 2 _1/2
еькь,у(г) _ У(г)-1(г) -х-,(г)-у(г) - уМу(г)(х2(г) + у2(г)) 7
2 2Ч-1/2
_ У0 -°0 - х0 -х0 -у 0 - У МУ 0( х0 + У о)
7 у0 - ГМУ0(х0 + У0) _ еькь,у(
Дополнительные законы сохранения вызваны симметрией потенциала гравитационного взаимодействия.
При конструировании численных методов естественно желание сохранить все перечисленные выше глобальные свойства решения задачи (1), (2) в приближенных решениях. Формулы (3) реализуют это желание.
у( 0 ).
(8)
3. СВОЙСТВА ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Ниже будет показано, что предложенное семейство методов при любых значениях параметров т > 0 и же [0, 1] на одном шаге осуществляет симплектическое отображение (-х, -У, х, у) —►
—»- (-х, -у, х, у), так как матрица Якоби
А _
д( -х, -у, х, у)
д( -х, -у, х, у)
удовлетворяет тождеству (8); и сохраняет момент количества движения:
'и _ х-у - у -х _ ^ _ х-у - у-х,
полную энергию:
Н _ 0.5(- + -2) - уМ(х2 + у2)-1/2 _ Н _ 0.5(-2 + -2) - уМ(х2 + у2)-1/2, а также компоненты вектора ЛРЛ:
'еькь,х _ х- -у-х-у - уМхг 1 _ х-0 -у-х-у - уМхгл _ еькь,х,
еькь,у _ У- -х-х-у - уМуг 1 _ у-2 -х-х-у - уМуг1 _ еькь,у.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ
Симплектичность методов. Для доказательства симплектичности предложенных методов представим отображение
Ф : ( V*, Vy, х, у) — (V» V,, х, у) (9)
в виде композиции трех отображений:
( V», V,, х, у) = (,1, ,2, ,3, ,4 ¿2, ¿3, 14 ) (¿1, ¿2, ¿3, ¿4 ) (,1, ,2, ,3, ,4 ) = ( V*, V,, X, ,) ,
каждое из которых, как будет показано ниже, является симплектическим. Очевидно, что композиция симплектичеких преобразований является симплектическим преобразованием. Такой прием уменьшит громоздкость непосредственной проверки симплектичности преобразования (9).
Выпишем вид преобразований фь ф2, ф3 вместе с их матрицами Якоби А1, А2,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.