научная статья по теме ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ МНОГОТОЧЕЧНЫМИ ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ МНОГОТОЧЕЧНЫМИ ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ»

Автоматика и телемеханика, № 4, 2015

Линейные системы

© 2015 г. В.Р. БАРСЕГЯН, д-р физ.-мат. наук (barseghyan@sci.am), Т.В. БАРСЕГЯН (t.barseghyan@mail.ru) (Ереванский государственный университет, Армения)

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ МНОГОТОЧЕЧНЫМИ ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассматриваются задачи управления линейными динамическими системами с заданными начальными, конечными и неразделенными (нелокальными) многоточечными промежуточными условиями и задачи оптимального управления с критерием качества, заданным на весь промежуток времени. Построен явный вид управляющего воздействия и предложен метод решения задачи оптимального управления. Приведены решения конкретных задач.

1. Введение

Изучение многих прикладных задач управления движением приводит к необходимости исследования многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Характерной чертой таких задач является наличие промежуточных условий в нескольких точках интервала исследования. Внимание исследователей привлекли весьма интересные краевые задачи управления, в которых наряду с классическими краевыми (начальное и конечное) условиями заданы также неразделенные (нелокальные) многоточечные промежуточные условия [1—5]. Неразделенность многоточечных условий, в частности, обусловлена невозможностью на практике проводить мгновенно замеры измеряемых параметров состояния объекта в целом или в его отдельно взятых точках. Подобные задачи возникают при управлении движением механических систем, летательных аппаратов, роботов-манипуляторов, технологических процессов и т.д. [1—6]. Эти задачи имеют важное прикладное и теоретическое значение, естественным образом возникает необходимость их исследования в различных постановках. В частности, в [1] предложен численный метод решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточными и интегральными условиями.

В настоящей работе изложен конструктивный подход решения задач управления и задачи оптимального управления линейными динамическими системами с нелокальными многоточечными промежуточными условиями.

2. Постановка задач

Рассмотрим управляемый процесс, описываемый системой линейных дифференциальных уравнений

(1) х = А(г)х + Б(г)и + / (г),

где х € Кп - фазовый вектор, А(г) — (п х п) — Б (г) — (п х г)-мерные матрицы, элементы которых - измеримые ограниченные функции при ¿о ^ г ^ Т (¿о и Т - заданные моменты времени), и(г) - г-мерный вектор-столбец управляющих воздействий, компоненты которых считаются измеримыми ограниченными функциями, /(г) — п-мерный вектор внешних воздействий (может быть измеримая ограниченная функция). Пусть заданы начальное

(2) х(го) = хо, конечное

(3) х(Т) = хт

состояния системы (1) и в некоторые фиксированные промежуточные моменты времени

0 ^ ¿о < ¿1 < ... <гт < гт+1 = Т

заданы неразделенные (нелокальные) многоточечные промежуточные условия

т

(4) х(гк ) = а,

к= 1

где а — д-мерный (д ^ п) вектор-столбец, Ек — (д х п)-мерные матрицы (к = = 1,..., т), элементы которых являются вещественными числами.

Вообще для ряда прикладных задач (при управлении манипуляционны-ми роботами, летательными аппаратами и т.д.) можно предполагать, что в промежуточные моменты времени гк (к = 1,...,т) условию (4) удовлетворяют не все значения координат фазового вектора х(гк), а лишь некоторые значения. В таких случаях будем считать, что соответствующие элементы матрицы Ек будут нулями.

Предположим, что система (1) при фазовых ограничениях (2)-(4) на промежутке времени [¿о , Т] является вполне управляемой [4-6]. Это означает, что на промежутке времени [го,Т] можно выбрать управляющее воздействие и(г) и соответствующее движение х(г) = х(г,и(г)), удовлетворяющие системе (1) и условиям (2)-(4).

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Требуется найти условия, при которых существует программное управляющее воздействие и = и(г) и программное движение х = = х(г), удовлетворяющие системе (1) и условиям (2)-(4), а также построить управляющее воздействие и движение.

Пусть для отбора оптимальных решений на промежутке времени [Ьо,Т] задан критерий качества ж[и], который может иметь смысл нормы некоторого нормированного пространства.

Задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом.

Задача2. Требуется найти оптимальное управляющее воздействие и0(Ь), Ь € [Ь0,Т], переводящее систему (1) из начального состояния (2) в конечное состояние (3), удовлетворяющее условию (4) и имеющее наименьшее возможное значение критерия качества ж[и°].

3. Решение задач

Напишем решение уравнения (1) следующим образом:

г г

(5) х(Ь) = X[Ь,Ьо]х(Ьо)^ X[Ь,т]В(т)и(т)Ст + ^ X[Ь,т]/(т)Ст,

¿0 ¿0

где через X[Ь,т] обозначена нормированная фундаментальная матрица решения однородной части уравнения (1).

Предполагая, что искомые управляющие воздействия известны, из формулы (5) для моментов времени Ь = Ьк (к = 1,..., т), подставляя значения х(Ьк) в (4), получим интегральные соотношения

т

114 I I О л

^РкX[1к,Ьо]х(Ьо) + / ркX[Ьк,т]В(т)и(т)Ст+ к=1 к=1 ¿0

(6) гк

т 5

+ ^ ] РкX[Ьк,т]/ (т)Ст

= а,

к=1 ¿0

а для конечного момента времени Ь = Т согласно (3) из (5) будем иметь

т т

(7) х(Т) = X[Т, Ьо]х(Ьо) + ! X[Т, т]В(т)и(т)Ст + ^ X[Т, т]/(т)Ст.

¿0 ¿0

Вводя обозначения

(8) Р (Ь) = 1 РкX[Ькпри Ьо ^ I ^ Ьк,

к( [0 при Ьк <Ь < Ьт+1 = Т (к = 1,... ,т + 1),

соотношение (6) запишем в виде

т т

(9) J Р(Ь)В(Ь)и(Ь)(М = а - Рх(Ьо) - ^ Р(Ь)/(Ь)СЬ,

¿0 ¿'0

где

(10) F(t) = J2 ^ [¿]=^ ^Х [¿к ,¿1, ^ = £ ^Х [¿к ,¿0]= ^(¿о). к=1 к=1 к=1

Здесь матрицы ^(¿) и ^ имеют размерность (д х г). Введем блочную матрицу

(п) я [¿] = (X™) в (¿)

с размерностью ((д+п) х г). Интегральные соотношения (7) и (9) при помощи введенной матрицы (11) можно представить в виде

т

(12) У Я= п^о, • • •, Т),

¿0

где п — (9 + п)-мерный блочный вектор-столбец

(13) П^о, • • •, Т) =

( т \

а — ^(¿о) — / ^ (¿)/

Мо

т

х(Т) — X[Т, ¿о]ж(^) — / X[Т, ¿]/

\ ¿о )

Для любой задачи управления принципиальным является вопрос о ее разрешимости, который сводится к анализу управляемости динамической системы. Из интегрального соотношения (12) следует, что динамическая система (1) вполне управляема тогда и только тогда, когда для любого вектора ) (13) из пространства Яд+п можно найти управление

«(¿, п)=(и1 (¿, п), • • • ,иг(¿, п))т, удовлетворяющее условию (12).

Здесь и далее буква "Т" означает операцию транспонирования.

Условие вполне управляемости динамической системы (1) можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы динамическая система (1) была вполне управляемой на отрезке [¿о,Т], необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбцы матрицы Я[¿] (11) были линейно независимыми на этом отрезке.

Отметим, что формулировка теоремы 1 известна для линейных управляемых систем и приведена в литературе, в частности в [6-8]. Доказательство аналогично изложенному в [6].

Теперь функцию удовлетворяющую интегральному соотноше-

нию (12), ищем в виде [7, 8]

(14) иСО = ЯтИС + V (¿),

где Нт[г] - транспонированная матрица (11), С - постоянный вектор, подлежащий определению, V(¿) - некоторая вектор-функция (может быть измеримая ограниченная функция на промежутке времени [¿о,Т]) такая, что

т

(15)

Н V да = 0.

¿0

Равенство (15) выражает условие ортогональности вектор-функций V(¿) ко всем строкам (блокам) матрицы Н[¿]. Подставляя (14) в (12), получим

(16) д(*о,...,г)с = п(*о,...,т),

где

(17)

т

д(*о,...,т) = у н [г]нт [^

¿0

Уравнение (16) является системой д + п алгебраических уравнений относительно неизвестных С (^ = 1,..., д + п). Матрица ^ имеет размерность (д + п) х (д + п).

Уравнение (16) имеет решение, если ёе! ^ = 0 либо ранг матрицы ^ совпадает с рангом расширенной матрицы

В предположении, что ёе! Q = 0, решением уравнения (16) будет

(18) С = Q-1n, следовательно, из (14) имеем

(19) и(г) = Нт[г^-1п + V (г).

Таким образом, решение задачи 1 можно сформулировать в виде теоремы, аналогичной теореме, доказанной в [6].

Теорема 2. Для того чтобы существовало программное управление (19) и соответствующее ему решение системы (1), удовлетворяющее условиям (2)-(4), необходимо и достаточно, чтобы матрица (17) была неособой или чтобы ранги матрицы Q и п} совпадали между собой.

С учетом обозначений (8), (10) и (11) при V(¿) = 0 формула (19) представится в виде

т \

(20) и(г) =

V к=1

вт(г) £ РкX[1к,г] , (X[т,г])т Q-1n при г е [to.il],

вт(г) (( Е РкX[¿к,г]) , (X[т,г])т^ Q-1n при г е (г^]

вт(г) ((р^[¿т,г])т,(X[т,г])т) Q-1n при г е (гт-ьи, вт(г) (0, (X[т,г])т) Q-1n при г е (гт,т].

Подставляя (20) в (5), получим программное движение системы (1) на промежутке времени [Ьо,Т], удовлетворяющее условиям (2)—(4).

Для решения задачи 2 заметим следующее. При заданном критерии качества ж[и] задачу оптимального управления с интегральными условиями (12) можно рассматривать как задачу условного экстремума из вариационного исчисления, где надлежит определить минимум функционала ж[и] при условиях (12). Однако, как видно из обозначения (8), подынтегральные функции в (12) являются разрывными, поэтому классические теоремы вариационного исчисления не применимы для исследования этой задачи.

Левая часть условия (12) является линейной операцией, порожденной функцией и(Ь) на промежутке времени [Ьо,Т].

Следовательно, если функционал ж[и] является нормой некоторого линейного нормированного пространства, то решение задачи 2 следует искать с помощью проблемы моментов [4-6], тогда оптимальное управляющее воздействие и0(Ь), Ь € [Ьо,Т], минимизирующее функционал ж[и] и удовлетворяющее условию (12), будет решением задачи 2.

Таким образом, задача 2 приводится к проблеме моментов, решение которой известно из [6].

4. Примеры

В качестве иллюстрации решения задачи 1 рассмотрим задачу управления материальной точкой, движущейся в вертикальной плоскости под действием реактивной силы и силы тяжести, тогда ее движение можно записать векторным уравнением

tlr

(21, ">Ж = Р + /'

где т = то + m,i(t), то = const, mi(t) - реактивная масса точки, / = а^1 -реактивная сила, а - вектор относ

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком