УДК 620.179.16
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ДЕФЕКТА В БАЛКЕ
А. О. Ватульян, А.В. Осипов
Представлен метод поэтапного определения параметров симметричного тонкого надреза в балке при анализе изгибных колебаний. Метод реализован для балочных моделей Эйлера—Бернулли и Тимошенко, получены формулы, связывающие резонансные значения для неповрежденной балки и балки с дефектом. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующие высокую точность предложенного метода.
Ключевые слова: балка с дефектом, модель Тимошенко, симметричный тонкий надрез.
ВВЕДЕНИЕ
Задача идентификации дефектов (полостей и трещин) в упругих телах относится к малоисследованному классу обратных геометрических задач теории упругости [1, 2], сводящихся к исследованию нелинейных некорректных проблем. Вместе с тем существует возможность упрощения задачи для тел простой геометрии и при параметризации дефекта конечным числом параметров. О типе дефекта и его размерах можно судить по информации об изменении первых резонансных частот, а в предположении о некоторой геометрической форме и малости дефекта по сравнению с характерными геометрическими размерами тела возможно получение простых аналитических формул [2—5], позволяющих связать измеряемые и идентифицируемые параметры и облегчающих решение обратной задачи. Особенно простыми в плане идентификации дефектов оказываются задачи для стержней. Когда геометрия дефекта известна (надрез), в предположении малости его ширины на основе такого подхода возможно связать изменение резонансных частот и основные параметры дефекта. Процедура идентификации при этом сводится к решению сложной нелинейной системы трансцендентных уравнений. Отметим, что процедуру составления этой системы и ее решения можно упростить путем получения формул для поправок для первых резонансных частот и собственных форм колебаний в аналитической форме методами теории возмущений [6, 7]. Так, например, в [2] установлена связь между резонансными частотами для задачи о колебаниях неповрежденного упругого тела V и тела с полостью величины V0
m2 _ m 2 = -V П( (C0 )Ь K (0 (c0 )) (1)
Ю° JK (u0)dV '
где с0 — некоторая точка внутри полости, причем П(и0(с0)), К(и0(с0)) — удельные потенциальная и кинетическая энергии полости соответственно; на основе упрощения этой формулы при использовании гипотез изгиба в настоящей работе предложена процедура поэтапной идентификации параметров надреза. В [8] на основе использования этого подхода получены формулы для поправки резонансных частот для балки модели Эйлера— Бернулли с тонким симметричным надрезом, а также предложен метод
Александр Ованесович Ватульян, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой теории упругости Южного федерального университета. Тел. 918-589-60-75. E-mail: vatulyan@ math.rsu.ru
Алексей Владимирович Осипов, аспирант Донского государственного технического университета. Тел. 908-196-85-13. E-mail: уa.Alexey.Osipov@yandex.ru
реконструкции параметров тонкого надреза при использовании полученных формул и приведены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению параметров дефекта. В [9] представлено решение задачи идентификации повреждений в кантилевере, основанное на минимизации специального функционала невязки между решением (собственные частоты и моды колебаний), полученным аналитически на базе уравнения модели Тимошенко и расчетным путем, в частности, с помощью метода конечных элементов.
Постановки задач. В работе рассмотрены установившиеся колебания с частотой ю упругой балки длиной Ь, ослабленной тонким симметричным двусторонним надрезом длиной 21 с центром в точке с. Для простоты дальнейших рассуждений считаем, что поперечное сечение балки — прямоугольник шириной Ь и высотой Н на неповрежденном участке и высотой И в ослабленном месте. Будем считать, что балка на конце х1 = 0 жестко закреплена, а конец х1 = Ь свободен. Модуль Юнга и плотность будем считать постоянными по всей длине балки.
Уравнение колебаний неоднородной балки для модели Эйлера—Бернул-ли имеет вид [10]
(ЕДх^"^))'- рю^М^) = 0, (2)
где Е — модуль Юнга; 1 — момент инерции; р — плотность; ^ — площадь поперечного сечения. Соответствующие граничные условия имеют вид:
„(0) = „'(0) = 0; Е1(Ь) • w"(L) = 0; (Е/^КЗД! ^ = Р. (3)
После введения безразмерных характеристик х = —0 = —; с0 = С;
к ^ = Р-Ю • Ь
ZJ 0 Т- 0 т -
" " ЬН" Ь
Ь4, где ^ = ЬН, 11 = - — площадь поперечного сечения
Е11 1 1 12
и момент инерции неповрежденной балки соответственно, уравнение (2) примет вид
т„''(х)У - к4ЛхМх) = 0, (4)
И
У = —. (5)
Н
Отметим, что в силу линейности задачи для анализа резонансных характеристик достаточно принять граничные условия в форме:
„(0) = 0; „'(0) = 0; „"(1) = 0; „"'(х)(1) = 1. (6)
Система дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания консольно закрепленной балки для модели Тимошенко, имеет вид [11]:
- (кО (х1) ^(х) ( (х1 ) + у(х) ) )' - рш2 ^ (х1) „ (х ) = 0;
- (Е (х1) 1 (х) v' (х) )' + к 'о (х) ^ (х ) (( (х) + v (х) ) - р®21 (х ) v (х ) = 0.
Граничные условия имеют вид:
„(0) = 0; у(0) = 0; у'(Ь) = 0; „'(Ь) + у(Ь) = Р.
(8)
Система уравнений (5) в безразмерных переменных имеет вид:
- 52 (/ (х) ( (х) + V (х ) ) )' - Х7 (х) ж (х) = 0;
- ( (х) у'(х) )' + 5Д/ (х) (((х) + V (х) ) - г2я (х) V (х) = 0,
(9)
где введены следующие безразмерные характеристики и параметры: х = —;
2= ; 8, = '5*, 8 = к'с. *
%
Е
2
Е
Нахождение смещений и резонансных частот для трехэлементной балки. Для упрощения постановки прямой задачи о колебаниях балки с симметричным тонким надрезом рассмотрим сначала модель трехэлементной балки, на каждом участке которой характеристики постоянны. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающую модель трехэлементной балки:
•Г (х) - к4 ж (х ) = 0, х е[0, Со- ¡0 ]; ■Г (х) - к* ж, (х) = 0, х е [ - ¡0, С + ¡0 ], (х) - к4ж2 (х) = 0, х е [[ + ¡0,1],
(10)
где ж1(х) и ж2(х) — функции смещения балки на неповрежденном участке;
ж,(х) — смещение балки в месте дефекта; к' = ^ = ^. к* = .
Е11 Е12 Е1,
Для геометрических характеристик введены следующие обозначения: 51 = 52 = ЬН — площадь поперечного сечения на неповрежденных участках; 5* = ЬН — площадь поперечного сечения на участке дефекта; 11 = 12 =
ЬН3 т ЬН
= — момент инерции неповрежденного участка; 1, = — момент
12 к4 Н2 12
инерции в месте дефекта. Таким образом, — = —-.
к* Н
Условия сопряжения и граничные условия для системы (10) при нагру-жении сосредоточенной силой на конце имеют вид:
ж,(0) = 0, ж'(0) = 0;
ж [(с - ¡0) = ж*(с - ¡0), ж [(с - ¡0) = ж'(С - ¡0); 11ж['(е - ¡0) = 1,ж,"(с - ¡0), 1хж'(с - ¡0) = 1*ж'''(с - ¡0);
ж*(с + ¡0) = ж2(с + ¡0), ж'(с + ¡0) = ж2(с + ¡0);
1*ж* '(С + ¡0) = 12ж; '(с + ¡0), 1,ж,' ' '(с + ¡0) = 12ж2; '(с + ¡0);
ж; '(1) = 0, ж; ' '(1) = 1. (11)
Решение соответствующей краевой задачи легко строится и не приводится ввиду его громоздкости.
Аналогично модели Эйлера—Бернулли построим для модели Тимошенко модель трехэлементной балки, на каждом участке которой геометрические характеристики постоянны, где м*(х), <»(х) — функции, описывающие колебания в месте дефекта; мДх), ^1(х), м2(х), <2(х) — функции, описывающие колебания на неповрежденных участках.
Граничные условия и условия сопряжения на концах тонкого надреза для модели Тимошенко имеют вид:
мД0) = 0, ¥Д0) = 0;
м^с - /о) = м*(Со - /о), уДСо - /о) = - 1о);
((х) + ¥ (х) )) = у ((х) + у*(х) )) ; ¥/(со - /о) = У3 ' <*'(с0 - /о);
'х= Со 1о 'х= Со 10
м*(с0 + /о) = м2(с0 + /0), ¥*(с0 + /0) = ^2(с0 + /0);
у • ((х)+v*(х) ))с +/ = ((х)+v(х)) i +.; у3 ■ ¥*'(со+/о)=¥2,(со+/о);
(м'(х) + ^2(х)!х=1 = 0, <(1) = 0.
(12)
Отметим, что несмотря на то, что для определения напряженно-деформированного состояния модель трехэлементной структуры непригодна в силу наличия концентратора, резонансные характеристики описываются весьма уверенно, что подтверждается сравнением с данными эксперимента, приведенными в [4], причем модель Тимошенко дает результаты, более близкие к ним.
На рис. 1—3 представлено сравнение точных значений резонансных частот балки с дефектом в зависимости от выбора координаты центра надреза для моделей Эйлера—Бернулли и Тимошенко, полученных из модели трех-
Н
элементной балки при параметрах надреза 2/0 = 0,01, — = 0,8. Точками на
Н
рисунках показаны резонансные значения балки Бернулли, звездочками — модели Тимошенко. Графики функций изменения резонансных частот
1,875
1,870
1,865
1,860
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 с
4,65
/ /"\ \ V '•
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 с„
Рис. 1. Сравнение резонансных значений Рис. 2. Сравнение резонансных значений моделей Эйлера—Бернулли и Тимошенко для моделей Бернулли и Тимошенко для вто-первой резонансной частоты. рой резонансной частоты.
Рис. 3. Сравнение резонансных значений моделей Бернулли и Тимошенко 7,! для третьей резонансной частоты.
7,84 7,82 7,80
ЧУ
7,76
в зависимости от координаты близки, при этом значения соответствующих резонансных частот для модели Тимошенко всегда меньше.
Отметим, что если первая частота монотонно растет в за- 778 висимости от параметра сп, то аналогичные зависимости для второй и третьей частот существенно немонотонны. Эти зависимости могут служить в качестве исходной информации для решения задачи о реконструкции параметров надреза.
Соотношения для поправок к резонансным частотам. Для получения соотношения, связывающего параметры надреза и резонансные частоты, можно действовать различным образом. Можно опираться на общую формулу (1), а можно получить это соотношение при анализе однородной краевой задачи.
Итак, рассмотрим обезразмеренное дифференциальное уравнение для собственной формы неповрежденной балки [10] и уравнение для собственной формы балки с тонким надрезом:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 с„
<Хх) - к4 • wЛx) = 0
(13)
— уравнение для собственной формы неповрежденной балки, граничные условия имеют вид *0(0) = *0'(0) = 0, *0"(1) = *0"'(1) = 0;
(^(хК'(х))'' - к4/(х)*(х) = 0
(14)
— уравнение для собственной формы балки с тонким надрезом, где соответствующие безразмерные функции им
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.