ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 1, с. 58-69
УДК 550.831
ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРАНСФОРМАЦИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
© 2004 г. А. И. Бойкова
Пензнский государственный университет Поступила в редакцию 29.09.2002 г.
Построены численные методы трансформации потенциальных полей.
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важных задач гравиразведки является задача трансформации потенциальных и других полей. В большинстве случаев трансформация осуществляется с помощью различных интегральных преобразований, перечень части которых приведен в книге [Гравиразведка, 1981]. Эти трансформации можно представить в общем виде выражением
У( х, у, 0) =
= ¿Л К (X - С, у - П, г) и о) ^ йц.
• А (х) йх (Ь -х)р + -
(0.1)
при целом р и 0 < а < 1 определяет величину ("конечную часть") рассматриваемого интеграла:
1) как половину соответствующего интеграла вдоль контура [а, Ь], если А(х) - аналитическая функция (под контуром [а, Ь] в [Адамар, 1978, с. 144-145] понимается "линия, состоящая из двух отрезков аЬ, соединенных небольшой дугой окружности вокруг них" (рис. 1));
2) как предел при х —► Ь суммы
г А ( г) йг
'(Ь - г )р + а
+
В (х)
(Ь - х)
р + а -1'
Несмотря на то что численные методы для трансформации полей активно развивались в течение последних нескольких десятилетий, здесь осталось много неисследованных вопросов.
В частности, в [Гравиразведка, 1981] отмечается, что приближенные методы вычисления трансформации имеют существенные недостатки:
1) отсутствует эффективный алгоритм учета центральной зоны для вычисления трансформант для г = 0, т.е. в случае, когда интеграл, описывающий трансформацию, имеет особенность в точке х = у = 0;
2) способы не являются оптимальными в смысле точности расчетов. Отсутствуют эффективные оценки точности, представление о которых можно получить на модельных примерах.
В работе [Бойкова, 2000] показано, что если интегралы, описывающие трансформации, понимать в смысле Адамара [Адамар, 1978], то можно построить эффективные численные методы трансформаций.
Напомним определение интеграла в смысле Адамара и в смысле главного значения по Коши-Ада-мару.
Определение 0.1 [Адамар, 1978]. Интеграл вида
если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь. Здесь В(х) - любая функция, на которую налагаются два условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б) В(х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки х = Ь.
Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие а) определяет значения р - 1 первых производных от В(х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе есть бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (Ь - х)р.
Ж. Адамар назвал этот предел "конечной частью" интеграла и ввел для него специальное обозначение. В современной литературе используется следующее обозначение интеграла Адамара ъ
г А(х)йх
{(Ь -х)р + а
В данной работе используется это обозначение. В работе [Чикин, 1953] дано определение интеграла типа Коши-Адамара, обобщающее поня-
Ь
Рис. 1.
х
Ъ
тия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара.
Определение 0.2 [Чикин, 1953]. Интегралом
Г ф ( т ) йт
- с)р'
а < с < Ь,
в смысле главного значения Коши-Адамара будем называть следующий предел:
Ь
С ф(т)йт
(т - с)р
= Нш
V ^ 0
г ф(т)йт +
Г (т - с)р
г
ф(т )йт + £ (V)
(т - с)р (с - V)р-1
где - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.
Один из способов вычисления интеграла Адамара заключается в следующем. Представим интеграл (0.1) в виде
ЬЬ
А (х) йх г А1(х) йх
г А ( х) йх = г Г(Ь - х)р + а = Г
(Ь - х)
р + а
Ь
■Ц А (Ь) + А^р (х - Ь) + ... + (0.2)
А(р-1)(Ь)(х - Ь)р-1 ^ йх
(р-1)!
(Ь - х)
р + а'
где
+
(- 1)р - 1 А(р - 1) (Ь ) (Ь - х)р - 1 а(р - 1)! '
имеем
г А(х)йх = '(Ь - х)р + а =
А (Ь)
(р + а - 1)(Ь - а)
р + а - 1
(-1)р-1 А( р-1)( Ь)
А1 (х)йх
(р-1)!а(Ь - а)а *(Ь - х)
р + а
Данное Адамаром определение конечной части расходящегося интеграла является частным случаем общего понятия регуляризации расходящихся интегралов.
Опишем регуляризацию расходящихся интегралов, следуя [Гельфанд, Шилов, 1956].
Определение0.3 [Гельфанд, Шилов, 1956]. Множество К всех вещественных функций ф(х) (х = (х1, ..., х„)), каждая из которых имеет непрерывные производные всех порядков и финитна, т.е. обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой функции ф(х)), называется основным пространством. Сами функции ф(х) называются основными.
Определение 0.4 [Гельфанд, Шилов, 1956]. Линейный непрерывный функционал / задан на основном пространстве К, если указано правило, в силу которого каждой основной функции ф(х) сопоставлено некоторое число ф) и при этом выполнены следующие условия:
а) для любых двух вещественных чисел а1, а2 и любых двух основных функций ф1(х), ф2(х) имеет место равенство
(/,^1 + а2ф2) = «1 (/,ф1) + а2(/, ф2);
б) если последовательность основных функций ф1, ..., ф„, ... стремится к нулю в пространстве К, то последовательность чисел (/, ф1), ..., (/, ф„) ... сходится к нулю.
Множество линейных непрерывных функционалов, заданных на основном пространстве К, обозначается К.
Если /(х) локально интегрируемая в Яп, то с ее помощью можно каждой основной функции ф(х) поставить в соответствие число
А1 (х) = А(х) - А(Ь) - (х - Ь) - ... -
- А(р - 1 }(Ь) ( х - Ь)р -1 (р - 1)! '
Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части (0.2) по определению 0.1, в котором
В(х) = А ( Ь) - А'(Ь) (Ь - х) + + ^ ' р + а-1 (р + а-2) 1!
(/, ф) = Г/(х)ф(х)йх'
(0.3)
Легко видеть, что выражение (0.3) является линейным функционалом. Известно, что не все линейные функционалы представимы в виде (0.3). Линейные функционалы, представимые в виде (0.3), называются регулярными, все остальные (в том числе дельта-функция) - сингулярными.
Пусть /(х) - функция, локально интегрируемая всюду, кроме точки х0. В этой точке она имеет не-интегрируемую особенность. Тогда интеграл (0.3), где ф(х) - основная функция, вообще говоря, расходится. Но он сходится, если ф(х) равна нулю в окрестности точки х0. Ставится вопрос, нельзя ли доопределить возникающий при этом функционал, т.е. построить функционал/е К, который на основные функции ф(х), равные нулю в окрестности точки х0, действует по формуле (0.3). Всякий такой функционал / называется регуляризацией расходящегося интеграла (0.3), или регуляризацией функции /(х).
Ь
Ь
с - V
а
а
К
п
Ь
Ь
+
Остановимся на проблеме регуляризации функций со степенными особенностями, т.к. интеграл в смысле Адамара введен для интегрирования таких функций.
Пусть Дх) - функция со степенной особенностью в точке х0 = (х0, ..., хп), причем функция У(х)гт локально интегрируема. Здесь
\ 1/2
/ n
Г =
^ ( xk - x0 )
\k = 1
Для функций такого вида в монографии [Гель-фанд, Шилов, 1956] предлагается следующая регуляризация
(/,ф) = J f(x)|ф(x)-
Rn ^
+ dm ф( о) xm
д xm m!
ф( о) + дШ xi + ... +
д x 1
(0.4)
0( 1- r) \dx,
параметру. Эта регуляризация подробно исследована в [Гельфанд, Шилов, 1956].
В данной работе продолжаются исследования, начатые в [Бойкова, 2000]. Здесь описываются эффективные численные методы трансформаций потенциальных полей.
Ряд предложенных методов является оптимальным по порядку по точности. Напомним определение оптимальных по точности методов вычисления интегралов Адамара.
Формулировка задачи построения оптимальных квадратурных формул принадлежит А.Н. Колмогорову и, в применении к интегралам Адамара, заключается в следующем. Рассмотрим интеграл
А ф = J
ф (т) dT
(т - t)P'
p - целое,
(0.5)
где для простоты полагается, что особая точка х0 = 0, функция 0(1 - г) равна единице при г < 1 и равна нулю при г > 1.
Сравнивая результаты регуляризации функции Дх) со степенной особенностью, проведенной по формуле (0.4) при п = 1, и результаты непосредственного вычисления интеграла Адамара по формуле (0.2), легко убедиться, что они отличаются на константу.
Это также следует из следующего утверждения.
Теорема 0.1 [Гельфанд, Шилов, 1956]. Если у0 - частное решение проблемы регуляризации интеграла (0.3), то общее решение у получается прибавлением к любого функционала, сосредоточенного в точке х0.
Вопрос о выборе среди многочисленных регу-ляризаций данной функции естественной ее регуляризации обсуждается в § 3 главы 1 книги [Гельфанд, Шилов, 1956]. Мы не останавливаемся на этом вопросе, так как на протяжении всей работы рассматриваются только интегралы Адамара, как наиболее естественные при решении задач трансформации потенциальных полей.
Это связано с тем, что многие трансформации являются производными слабосингулярных интегралов с параметрами. При обосновании подобного дифференцирования и был введен интеграл Адамара. Так как все регуляризации отличаются друг от друга на константу, то при вычислении трансформаций потенциальных полей могут быть использованы и другие способы регуляризации.
По этой же причине здесь не обсуждается вопрос о регуляризации функций со степенными особенностями аналитическим продолжением по
который будем вычислять по квадратурным формулам
N
Аф = ^ф(Sk)Pk(t) + Rn(t, Sk, Pk(t),ф) (0.6)
k = 1
с узлами sk и весами pk(t) (k = 1, 2, ..., N).
Под погрешностью квадратурной формулы (0.6) будем понимать величину
Rn (Sk, р^ф) = sup \Rn(t, Sk, Pk(t),ф)|.
a < t < b
Если T - некоторый класс заданных на сегменте [a, b] функций, то положим
Rn(Sk, Pk,T) = sup \Rn(Sk, Pk, ф)|.
фе T
Через ZN[T] обозначим величину
Zn[T] = inf Rn(Sk, Pk, T),
(Sk, Pk)
в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам Sk и весам Pk(t) (k = 1, 2, ..., N). Квадратурную формулу (0.6), построенную на узлах S* и весах p*(t) (k = 1, 2, ..., N), будем, следуя [Бахвалов, 1970], называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
Rn(S*, P*,T)
Z n [T]
= 1,
lim Rn( f, P*, T ) = 1,
N ^ =
Rn(S*, P*,T)
Zn [T] Z n [T],
соответственно. Знак « (слабая эквивалентность) означает, что имеются две константы А и В (0 < А, В < го), не зависящие от М и такие, что
А ^ N т< Км (& в ^ т.
Постановку задачи в случае многомерных инт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.