ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 3, 2015
УДК 539.383
© 2015 г. С. М. Мхитарян
ОБ ОДНОМ СВЯЗАННОМ С ТЕОРИЕЙ ПОТЕНЦИАЛА СПЕКТРАЛЬНОМ СООТНОШЕНИИ В СФЕРОИДАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЯХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИИ К КОНТАКТНЫМ ЗАДАЧАМ
Методами теории обобщенного потенциала, связанного с уравнением Гельмгольца, в ортогональной системе координат сжатого сфероида, где одна из координатных поверхностей вырождается в плоский дважды покрываемый круговой диск, устанавливаются спектральное и смежные с ним интегральные соотношения для определенного на круговой области интегрального оператора с симметричным ядром в виде отношения экспоненциальной функции от расстояния между двумя точками к этому расстоянию. Эти соотношения обобщают соответствующие соотношения для интегрального оператора с симметричным ядром в виде интеграла Вебера— Сонина и содержат сфероидальные волновые функции. На основании полученных интегральных соотношений строится точное решение интегрального уравнения контактной задачи о вдавливании кругового в плане штампа в линейно-деформируемое основание типа упругого полупространства с ядром, совпадающим с экспоненциально изменяющимся от расстояния ядром. Указывается также на другие приложения полученных спектрального и смежного с ним интегральных соотношений.
Спектральные интегральные соотношения (СИС) в классических ортогональных многочленах для достаточно широкого класса интегральных операторов, часто встречающихся в контактных и смешанных задачах механики сплошной среды и математической физики, были получены различными, в основном алгебраическими, методами и нашли эффективные приложения при решении интегральных уравнений задач этих областей. В этом направлении укажем на работы Г.Я. Попова [1—5], см. также [6]. СИС, содержащие многочлены Чебышева и Гегенбауэра, были выведены и использованы также в задачах теории вероятностей [7—9]. При помощи методов теории обычных и обобщенных потенциалов был развит единый подход к получению спектральных и смежных с ними интегральных соотношений, позволивший расширить классы этих соотношений [10—15]. Установлены СИС в сфероидальных волновых функциях [14—16], а теория этих функций с достаточной полнотой изложена [17—19], причем приведены (см. также [20]) многочисленные приложения таких функций в физике, в теории связи и технике.
1. Вывод спектрального и смежного с ним интегральных соотношений. В цилиндрической системе координат r, ф, z рассматривается обобщенный потенциал [21] с плотностью p (р, u) распределения источников на плоском круговом диске ю = {z = 0, r < a} радиуса a, расположенном на плоскости z = 0 трехмерного пространства
ссе -%R
u (r, ф, z) = II-p (p, u )p d p du
с R__(1.1)
R = yjr2 + p2 - 2гф cos (ф - u) + z2, X > 0
Здесь ^ — расстояние произвольной точки М (г, ф, г) пространства от точки Р (р, и,0) кругового диска ю.
Потенциал и (г, ф, г) (1.1) во всем пространстве вне области ю удовлетворяет уравнению Гельмольца [21]
А 2 д2и , 1 ди , 1 д2и , д2и 2 п , 2 ^ т /1
Аи -X и = — + -—+ ^ —2 + ^ -X и = о (х > 0) (1.2)
дг г дг г дф2 дг
Параллельно рассматривается двумерное интегральное уравнение (ИУ)
ге
Н(г,ф) = Кр = II-р(р,u)рdрdu = /(г,ф), (г,ф) е ю (1.3)
„
R0 = \¡r2 + р2 - 2rp cos (ф - u)
и соответствующий интегральный оператор K. Легко показать, что если положить
icos (тф), т = 0,1,2,... Р (р, и) = Рт (р)?(тф), д(тф) = Á
[sin(тф), т = 1,2,...
h (r, ф) = hm (r) q(my), hm (r) = JKm (r, p) pm (p) pdp
0
П (22-
~XVr +P -2rpcos u
Km (r,p) = 2J ,e cos(mu)du, m = 0,1,2,...
oSr +p - 2rpcosu
т.е. интегральный оператор K косинус-гармонику переводит опять в косинус-гармонику, а синус-гармонику — опять в синус-гармонику. Следовательно, если правую часть f (r, ф) ИУ (1.3) разложить в ряд Фурье по угловой координате ф, то можно ограничиться одной гармоникой и вместо ИУ (1.3) рассмотреть одномерное ИУ
a
¡Km (r, р) Pm (р) pdp = fm (r), m = 0,1,2, ... (1.4)
0
где fm (r) — амплитуда m-й гармоники в разложении функции f (r, ф) в ряд Фурье. Теперь, если в соответствии с только что проделанным положить
u (r, Ф, z) = Wm (r, z) q(m9)
то уравнение (1.2) перейдет в уравнение
LWm = 0, m = 0,1,2,... (1.5)
a n ГГ. ^ ' 2
e "XVr +Р -2rp cos u+z
Wm (r, z) = Jpm (p) pdp J - j=2-2-2 cos (mu) du
0 r +p - 2rp cos u + z
„d—f _c]1_ 1 d + dL - m2 x2
^ — 2 + + 2 2 X dr2 r dr dz2 r
то
a
В результате решение ИУ (1.4) эквивалентно решению краевой задачи
LWm = 0, (r,z) еП\ю; П = {r > 0,-да < z < да}
, 22 (1.6)
Wm (r, z )z=0 = fm (r), 0 < r < a; Wm (r, z) ^ 0 при r + z ^да
Функция Wm (r, z) определена предпоследним равенством (1.5).
После решения краевой задачи (1.6) плотность источников (решение ИУ (1.4)) будет определяться по формуле [21]
Pm (r) = -flim fsignz (1.7)
2n z^0 V dz J
Решение краевой задачи (1.6) строится классическим методом разделения переменных в криволинейной ортогональной системе координат сжатого сфероида [17]
r = a ch u sin и, z = a sh u cos u; 0 < u < ж, 0 < u <п (1.8)
Поверхность u = 0 представляет собой дважды покрываемый плоский круговой диск радиуса a, а поверхность и = п/2— дважды покрываемая внешность диска ю, т.е. область Q = {z = 0,r > a}.
Далее, согласно сформулированной краевой задаче (1.6), положим
Wm (r, z) = Wm (u, u) = Um (u) Vm (u) (1.9)
Зависимость между старыми (r, z) и новыми (u,u) координатами выражается формулами (1.8). Подставляя выражение (1.9) в дифференциальное уравнение краевой задачи (1.6), после разделения переменных придем к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) [17]
dUm■ + thudUm -fx + 49ch2u -m-\um = 0, 0 < u < да, 49 = x2a2 (1.10)
du2 du I ch2u
d2V„ , dVm „„ .2 m2
2 + ctgu^-" + IX + 49 sin2 и-^-j-1 Vm = 0, 0 < и <п (1.11)
du du y sin и
где X = Xm (9) — параметр разделения переменных [17].
ОДУ (1.11) — уравнение сфероидальных волновых функций в тригонометрической форме ([17], с. 134, ф-ла (3)), имеющее два линейно независимых решения [17]
Ps'm (cosu,9) и Qs' (cosu,9) (0 < и < п). Для определения единственного решения этого уравнения оно должно быть дополнено соответствующими граничными условиями, образующими вместе с ОДУ (1.11) граничную задачу Штурма—Лиувилля. В качестве таких условий здесь потребуем ограниченности решения ОДУ (1.11) в концевых точках и = 0 и и = п интервала (0, п), т.е. ограниченности решения на отрезке [0, п ]. На основании свойств функций Лежандра [22] в концевых точках интервала (—1, 1) этим
условиям удовлетворяет только функция Ps'm (cosu,9) при и = n > m (n — целое положительное число), допускающее представление ([17], с. 147, ф-ла (4))
Psm (cosu,0) = £ (-1)4m (Q)Pnm+2r (cosu), 0 < и <n (1.12)
2r >m-n
где PnП (x) — присоединенные функции Лежандра, а коэффициенты аПгГ (9) определяются из следующих трехчленных рекуррентных соотношений [17]:
(l - m)(l - m -1) fi m (l + m + 2) (l + m + 1) fi m (( - 3/2) (( -1/2) n,r-1 + (( + 3/2) (( + 5/2) +1 +
Xm (9) -1 (l +1) + l ((+ /)+ m2 -1 29
n () ( ) ((-1/2) ((+ 3/2)
m
a = 0
(1.13)
где
l = n + 2r, 2r > m - n, 0 = x 2 a2 ¡4 r — целые числа. Кроме того, так как граничное условие из краевой задачи (1.6)
Wm г)| г=0 = fm (r) = fm (a sin и) , 0 < U <K
при замене и на п - и не меняется, то искомое решение должно быть четным по v относительно точки и = к/2, т.е. относительно середины отрезка [0, п ]. Но с другой стороны [17],
Psm [cos (п - и), е] = Psm (- cos и, 9) = (- 1)n-m Psm (cos и, 9), 0 < и <п Отсюда следует, что n - m должно быть четным числом, т.е.
n = 2k + m; k, m = 0,1,2,... Тогда представление (1.12) запишется в виде
P*m+2k (cosu,0)= £ (-1)k+ram+2k,r-k () Pm+2r (cosu), 0 < U <П (1.14)
r=0
а в равенстве (1.13) следует заменить l на 2r, r = 0,1,2,...
Таким образом, функция Psn (cos и,9) (n = 2k + m) — единственное отличное от нуля решение ОДУ (1.11), удовлетворяющее указанным условиям ограниченности и четности.
Теперь отметим, что рекуррентные соотношения (1.13) составляют бесконечную систему линейных однородных алгебраических уравнений, откуда определяются коэффициенты amr (9) (n = 2k + m). Нетривиальное решение этой системы существует, когда ее бесконечный определитель равняется нулю. Из этого условия определяется
спектральный параметр X = Xm (9). Свойства этой функции и ее асимптотики подробно освещены [17, 18, 23, 24], причем приведены также [24] ее числовые значения в некотором интервале изменения 0.
Функции Psn (cosu,9) (n = 2k + m) из представления (1.14) составляют полную ортогональную на отрезке 0 < и < п систему функций, причем условие их ортогональности имеет вид [17]
п Г0, p Ф k
|PsZ+2k (cos и, 0)Psm+2p (cos и, 0) sin и du= \ (2k + 2m)! _ (1.15)
0 [(1/2 + 2k + m)(2k) P _
Последнее условие при p = k эквивалентно [17] следующей нормировке коэффициентов a'mr (9) в системе уравнений (1.13):
X
1 (п + 2г + т)! т 2 1 (п + т)! -^-Мап>г (о)] =-—- , п = 2к + т
■ + 1/2 (п - т)!'
„ ^ п + 2г + 1/2(п + 2г - т)!
2г >т-п ' ^ '
и эта нормировка дополняется условием ап,о (9) > 0, п = 2к + т, к, т = 0,1,2,...
Перейдем к решению ОДУ (1.10). Заменой переменной С = ' яИи запишем его в фор-
ме
,2^0 ,Тт°
(1 — Л2) й и т — 2 гйит +
п = 2к + т, 49 = х V, и°т (С) = ит (и)
т
\т (9) + 49(1 -С2) - 2
1 -с2.
ит=о, о
(1.16)
Единственным решением ОДУ (1.16), исчезающим на бесконечности, является сфероидальная волновая функция третьего рода [17]
ит (С) = ('вЬи,е), п = 2к + т; к,т = 0,1,2,... причем ([23], с. 5, ф-ла (15))
япт(з) ((е)
1_ г[2л/е '^Ьи—п(п+1))2] _ е 'п(п+1У2 ¡¡Ьи
2фъЪи
(и ^ да)
Представление этой функции через функции Бесселя можно получить при помощи известной формулы ([17], с. 135, ф-ла (8)), которая после простых преобразований примет вид
От(3) ('9) = 'т(п+1)/2sm(3) ('9) =
4п&Ьи еШши
Е (-1)г+ ат+2к,г-к-т (9) К-т+2г+1)2(2-19 вЬи), о < и < да
(1.17)
г =0
9 = х2а74, п = 2к + т, К (9)]-1 = £ И)^ (9)
I >-т
где Ки (х) — функция Макдональда и в соотношениях (1.13) следует считать I > -т, или г >-т - к, так как п = 2к + т. Для обеспечения вещественности функции
Я^3 (' 8Ии, 9) и для удобства предельного перехода 0 введен коэффициент
' -т0(и+1)/2
Отметим, что представление (1.1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.