МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.5:551.511
ОБ ОДНОМ ТИПЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В АТМОСФЕРЕ И ВОДОЕМАХ
© 2015 г. Л. Х. ИНГЕЛЬ
НПО "Тайфун", Обнинск, Калужская обл. e-mail: lev.ingel@gmail.com
Поступила в редакцию 05.11.2014 г.
Найдено приближенное аналитическое решение одномерной задачи об установившихся колебаниях вращающейся вязкой жидкости под воздействием гармонических по времени касательных напряжений на горизонтальной границе. Решение демонстрирует резонансное усиление амплитуды колебаний и глубины их проникновения в среду при приближении частоты воздействия к инерционной частоте.
Ключевые слова: резонанс, вращающаяся вязкая жидкость, атмосфера, континентальный шельф, суточные колебания ветра, инерционные колебания.
Как известно, для земной атмосферы характерны колебания скорости приповерхностного ветра с суточным периодом. Это вызвано вариациями радиационного баланса воздуха и подстилающей поверхности. Например, у наклонных поверхностей радиационное выхолаживание в ночной период приводит к понижению температуры воздуха и увеличению его плотности. Более холодный воздух под собственной тяжестью стекает вниз по склону. В дневное время воздух нагревается, и происходит обратное движение. Исследованы также бризовые ветры вблизи берегов больших водоемов, связанные с суточными вариациями разности температур между поверхностями воды и суши и, следовательно, колебаниями горизонтальных градиентов давления воздуха. Вследствие таких колебаний ветра поверхность воды подвергается переменным касательным напряжениям.
За счет вязкости (в геофизических средах следует рассматривать прежде всего эффективную турбулентную вязкость) упомянутые колебания должны распространяться по вертикали. В литературе рассмотрен ряд разного рода задач с периодическими воздействиями на границе жидкости (см., например, [1—6] и библиографию этих работ).
В работах [7, 8] обращено внимание на возможность резонансного усиления бризо-вых ветров на географических широтах ф = ± 30 °, для которых период суточных вариаций метеорологических параметров Т совпадает с периодом инерционных колебаний, обусловленных планетарным вращением. Частота последних определяется значением параметра Кориолиса f = 2юsin ф, где ю = 2п/Т — циклическая частота вращения Земли; на указанных широтах f = ю. Аналогичные резонансные явления в водоемах, поверхность которых подвергается периодическим касательным воздействиям бризо-вых ветров, в [7, 8] не рассматривались, хотя в [9] подобные резонансные явления в океане обсуждались. В дальнейшем [4, 5] была предложена теоретическая модель океанских течений, индуцируемых периодическими воздействиями на поверхности. В работах [6, 10—18] наличие подобных резонансных явлений в океане подтверждено натурными данными и более совершенными математическими моделями. Для атмосферы аналогичные резонансные явления рассматривались в [7, 8, 14, 19].
В [4, 5], несмотря на серьезные упрощения, найдено лишь численное решение задачи (за исключением случаев некоторых специальных краевых условий). В дальнейшем рассматривали либо более сложные численные модели, либо более простые постановки. Например, эффекты вязкости описывали с помощью модели линейного рэлеев-ского трения [10]. Таким образом, аналитическое решение для отклика вращающейся вязкой среды на гармонические касательные воздействия к настоящему времени отсутствует. Связано это, по всей видимости, с тем, что аналитическое решение системы алгебраических уравнений, к которой сводится модель типа [4, 5], в общем виде очень громоздко. В настоящей работе, благодаря введению расстройки относительно резонансной частоты как малого параметра, найдено приближенное аналитическое решение, демонстрирующее возможность резонансного усиления суточных колебаний вблизи поверхности и увеличения глубины их проникновения в жидкую среду.
1. Постановка задачи. Для определенности остановимся на случае полуограниченной среды (воды), подвергающейся воздействиям периодических по времени касательных напряжений сверху. Аналогично [4, 5] ограничимся одномерной задачей.
Пусть ось z направлена вертикально вверх, среда занимает область z < 0. Одномерная динамика вязкой вращающейся среды в стандартной модели /-плоскости [20] описывается уравнениями
= fv + кÜ£ = -fu + к Щ (1.1)
dt dz dt dz
Здесь t — время; u,u — две составляющие горизонтальной скорости; K — коэффициент кинематической вязкости (предполагается постоянным).
На поверхности z = 0 предполагается заданным гармонически меняющийся со временем поток количества движения:
pK ^ = E*cos rat, pK ^ = 0 (1.2)
dz dz
Здесь E* — амплитуда, р — плотность среды. Вдали от поверхности при z ^ —ю предполагается затухание возмущений.
Рассматриваемая математическая задача формально близка к [3], где вместо вращения существенна стратификация среды. Отметим, что в [3] на границе рассматриваются краевые условия 1-го рода, которые лучше отвечают условиям лабораторных экспериментов. В геофизических приложениях нередко имеет смысл опираться на информацию о потоках количества движения на границе, поэтому в настоящей работе рассматриваются условия 2-го рода — соотношение (1.2).
2. Решение без учета эффектов вращения. При f = 0 легко получить решение в виде затухающих с глубиной колебаний. Задавая его как
u (z, t) = Ui (z) sin rat + U2 (z) cos rat (2.1)
где Ui (z), U2 (z) — неизвестные функции, с учетом (1.2) приходим к решению
E*. ( Гф S]„„„( п
- р^ехр -4) (2-2)
Возмущения проникают в среду на глубину порядка у/Х/га. Если ю — частота суточных колебаний, то ее значение порядка параметра Кориолиса (кроме экваториальной зоны). Глубина проникновения возмущений в этой упрощенной модели порядка толщины экмановского пограничного слоя [20].
3. Схема решения. При учете кориолисовых ускорений появляется составляющая горизонтальной скорости и, поперечная к вносимому на поверхности количеству движения. Исключение u из (1.1) приводит к уравнению
& -1 ^+_!_^+iL и = о (3 1)
dz4 K dz2dt K2 dt2 K2
Аналогично (2.1) ищем решение в виде
и(z, t) = Vi (z) sin rat + V2 (z) cos rat (3.2)
Для функций Vi (z), V2 (z) получается следующая система уравнений:
(3.3)
^ + Щ + ц = о йг 4 К йг2 К
йЦ, _ 2® + у2 = о йг4 К йг2 К2
которая сводится к одному уравнению
йЦ + 2(/2 + га2)й4К2 + (/2 -га2)2„ _ 0 (34)
йг К йг К
Помимо затухания вдали от поверхности г = 0, должно выполняться краевое условие
й¥1 йУ2 „ „ ,,
—1 = —2 = 0 при г = 0 (3.5)
йг йг
Решение стандартным образом ищется в виде линейной комбинации экспонент:
8
У2 = X С ехр ) (3.6)
I=1
где qi — корни характеристического уравнения
8 , 2(/2 + га2) 4 , (/2 - га2)2 „ q +—-т-- q +—--—— = 0
К 2 К4
С учетом условия затухания возмущений при г ^ —да, в сумме (3.6) присутствуют лишь четыре слагаемых, отвечающих корням qi с положительными реальными частями. Ниже рассмотрим случай га < /, когда
(1 ± 0 (1 ± 0 и ГК~ , Г^ (37)
^ ' ^ = 72Т' Л- (37)
Из (3.7) видно, что вблизи резонанса при малой расстройке / - га решение приобретает качественно новые свойства — появляются слагаемые с медленно затухающими экспонентами, что соответствует аномально глубокому проникновению возмущений в среду. Этот результат получен ранее в [4, 5].
Зная из второго уравнения (3.3), нетрудно выразить V
VI = КIСЛ ехРЫ)+ IСехРЫ)
2га .=1 2®К .=1 q2
С учетом краевых условий (3.5) первые два уравнения для коэффициентов С^ имеют вид
X С Л = 0
(3.8)
1=1 4
х Са 3 + ]Г с = 0 к
=1 к /=1 а
Зная и, из исходных уравнений находим составляющую скорости и в виде (2.1)
(3.9)
и,(г) = 1 + юк2|, и2(г) = -«VI
ди дг
г=0
/
к
/
V ¿г
з
2
а У2
/
а % . , а %2
—з^т юt +--32 оо8 юt
¿г аг
г=0
аг Е*
рк"
ео8 Ш
Здесь учтены (1.2) и (3.5). Отсюда следует
а %
аг3
= 0,
г=0
аг3
г=0
Е*/
рк2
Второе из этих уравнений с учетом (3.6) дает
Е с а3 = Е
1=1
(3.10)
(3.11)
(3.12)
где введено обозначение Е = Е*//рк2. Первое уравнение (3.11), используя (3.3) и (3.5), можно преобразовать к виду
{а%2 + /2 -ю2 ау2 л йг к2 аг
а %
г=0
аг 5
= 0
г=0
Отсюда получается четвертое уравнение для четырех коэффициентов С
X С а5 = 0
и
(3.13)
4. Решение вблизи резонанса. В общем случае аналитическое решение системы уравнений (3.8), (3.9), (3.2), (3.13) весьма громоздко. Однако в случае исследования особенностей решения (амплитуды возмущений и глубины их проникновения в среду) вблизи резонанса ю = / задача существенно упрощается, благодаря наличию в ней малого параметра б = |(ю - /) / (ю + /)| ~ |(ю - /) /2/|.
В этом случае в (3.7)
К < > \дзА\, \q34lЛ1, 2 = £
1/2
(4.1)
В первой сумме (3.9) основными оказываются слагаемые с С и С2, во второй — с С3 и С4. Вместо (3.9) можно приближенно записать
4
4
4
2 Л 2 4
X Сд3 + ^^ IС - 0 (4.2)
1=1 К 1=3 д
Матрицу рассматриваемой линейной системы уравнений для коэффициентов С, можно упростить последовательностью элементарных преобразований (обнулить
часть элементов). Используя соотношения (/2 -ю2)/К2 = (<м4)2 = (д2д3)2, д2 = ,
?з = -?4 и малость параметра е (относительную малость модулей величин д^, #4), для определителя однородной системы А можно получить приближенное выражение
А « -4^24344
Аналогично рассчитываются остальные необходимые определители; решение принимает вид
д|,1 _ (1 ± I )ЕН1 д2,2 _ (1±/)£й+й-
д 1,2(д2,1 - д 1,2) 2^2 дцЯъАдц-д 1,2) 2л/2
Видно, что первые два коэффициента по порядку величины совпадают с коэффициентом решения (2.2). Иными словами, первые две экспоненты в сумме (3.6) не вносят в решение ничего качественно нового по сравнению с задачей без вращения и резонанса — амплитуда и глубина затухания того же порядка.
Иначе обстоит дело с двумя другими слагаемыми. Экспоненты в этих слагаемых относительно медленно затухают с глубиной. В числителях выражений для С3 и С4 имеется относительно большая вблизи резонанса величина Н_. Таким образом, амплитуда двух медленно затухающих с глубиной экспонент существенно больше, чем амплитуда в (2.2). Вблизи резонанса увеличиваются как амплитуда установившихся колебаний,
так и глубина их проникновения в среду (пропорционально е 1/2). Если сохранить в (3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.