М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.546:519.334
ОБ ОДНОМ ВАРИАЦИОННОМ ПРИНЦИПЕ ДЛЯ ЗАДАЧ О СТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ГРУНТОВЫХ ВОД СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2015 г. А. Ю. БЕЛЯЕВ, И. О. ЮШМАНОВ
Институт водньх проблем РАН, Москва e-mail: beliaev@aqua.laser.ru
Поступила в редакцию 02.11.2014 г.
Задача о стационарной фильтрации грунтовых вод со свободной поверхностью представлена в форме вариационного принципа для функционала, который зависит от области течения. Доказано, что на искомой области этот функционал принимает минимальное значение. Построено обобщение этого вариационного принципа для моделей течений, допускающих присутствие частично насыщенных зон в среде. На простых примерах показано, как вариационную постановку можно использовать для доказательства существования или отсутствия решений.
Ключевые слова: движение грунтовых вод, задачи со свободной границей, вариационные методы.
Впервые задачу о движении грунтовых вод со свободной поверхностью исследовал Дюпюи (J. Dupuit) в XIX в. Он рассматривал установившуюся фильтрацию воды сквозь земляную дамбу между двумя водоемами с заданными уровнями и нашел приближенное выражение для положения верхней границы зоны течения.
Существуют разнообразные подходы к решению задач о течениях грунтовых вод со свободной поверхностью. Во-первых, большое развитие получили аналитические методы построения точных явных решений задач, основанные на использовании конформных отображений [1]. Применимость этих методов ограничивается плоскими задачами в однородной среде или в средах с неоднородностями специально подобранного вида. Приближения, близкие к точным решениям, исследовались методами теории возмущений; эти исследования главным образом относятся к анализу устойчивости фронтов смачивания для нестационарной задачи со свободной границей [2, 3].
Второе направление исследований связано с разработкой приближенных подходов. В частности, решение Дюпюи задачи о дамбе было получено в рамках гидравлического приближения. Другой пример приближенного подхода — метод мажорантных областей Г.Н. Положего (гл. 3 [1], [4]), который применяется в сочетании с методами конформных отображений. Общий недостаток приближенных методов — в большинстве случаев они используются не только без строгого обоснования асимптотической точности, но и без доказательства разрешимости исходной задачи.
Следующая большая группа исследований задач о положении поверхности грунтовых вод объединяет подходы, учитывающие потоки влаги и действие капиллярных сил в ненасыщенной зоне грунта. В таких моделях структура потоков и распределение водосодержания в грунте описывается уравнениями Ричардса (гл. 9 [5]) и их модификациями (например, [2]). Математическим и численным исследованиям этих уравнений посвящено большое число работ (например, [6, 7]). Эти уравнения обычно оказы-
ваются проще исходных в отношении проблем существования и единственности решений, однако они могут быть хуже приспособлены для непосредственного построения явных решений. К тому же они требуют задания дополнительных физических параметров, что не всегда удобно с практической точки зрения.
Новый этап в исследовании фильтрационных течений со свободной границей в классической постановке связан с методом, предложенным Байокки (С. Baiocchi). Для профильной задачи о фильтрации сквозь однородную дамбу прямоугольного сечения он нашел преобразование искомых функций, при котором проблема сводится к решению некоторой нелинейной эллиптической задачи во всей области, занятой дамбой, а не в ее заранее неизвестной водонасыщенной части. Это преобразование позволило доказать существование и единственность решения ([8], дополнение с. 365—371 [9]). Следует отметить, что это было первое строгое доказательство разрешимости для задач о течениях грунтовых вод со свободной границей, не допускающих явного решения. Впоследствии данный подход применялся к другим задачам ([8], гл. 2 [10]), но область его применения оказалась невелика. Метод Байокки существенно привязан к форме фиксированных границ потока и типу граничных условий на них. Он практически не обобщается на процессы фильтрации в неоднородных пористых средах за исключением некоторых специальных случаев [11].
В дальнейшем Шипо (Ж Chipot) обосновал разрешимость широкого класса задач о стационарной фильтрации со свободной поверхностью при весьма слабых ограничениях на форму фиксированных границ и тип граничных условий на них [12]. Этот подход опирался на результаты работ [13] и [14], в которых исследовалась разрешимость соответствующих задач не в классической постановке, а в рамках редко используемой модели, допускающей наличие частично насыщенных зон в среде и известной в механике как модель Грина и Ампта [15, 16]. В тех случаях, когда частично насыщенная зона в решении задачи отсутствует, оно совпадает с классическим решением. Существенный фактор в подходе Шипо к доказательству разрешимости — предположение об однородности среды. На возможное отсутствие классических решений для некоторых примеров задач в неоднородных средах указывается в [11].
В настоящей статье задача об установившейся фильтрации со свободной поверхностью представлена в виде вариационного принципа и доказано, что ее решения доставляют минимум некоторому функционалу, который задается явным выражением. Этот результат получен для задач весьма общего вида и не требует ни специального выбора краевых условий на границах среды, ни предположений о ее однородности. Эта постановка представляет собой определенную комбинацию вариационных принципов Дирихле и Кельвина для эллиптических задач в искомой области течения, при этом сама область течения входит в число переменных, от которых зависит функционал.
Вариационная формулировка задач позволяет использовать прямые методы вариационного исчисления для доказательства существования или отсутствия решений. В статье приведены примеры таких исследований для конкретных модельных задач. Кроме того, вариационный подход можно применять в прикладных исследованиях для оценок точности различных аппроксимаций решений и обоснования приближенных моделей.
1. Пример задачи, не имеющей классического решения. Основные причины, по которым проблему определения положения свободной границы следует формулировать в вариационном виде, целесообразно пояснить на простом наглядном примере. С этой целью рассмотрим профильную задачу о фильтрации грунтовых вод сквозь неоднородную земляную дамбу с водонепроницаемым основанием. Ее классическая формулировка состоит в следующем. Пусть изображенная на фиг. 1, а трапеция соответствует вертикальному сечению тела дамбы, подпирающей расположенный слева от нее открытый водоем с уровнем воды Н относительно основания. Кривая АВ, соединяю-
777777777777777777777777777777777777777777777777777?.7
7777777777777777777777777777777777777777777777777777.7
B
б
в
Ь х, в
Ь х,
Фиг. 1. Качественный вид свободной поверхности в задачах о фильтрации сквозь однородную дамбу (а) и при наличии горизонтального непроводящего слоя (б)
щая боковые стенки дамбы, является верхней границей области течения и подлежит определению. В этой области выполняются уравнения фильтрации
где р = р(х) — искомое поле давлений; х = (х1, х2) — положение и декартовы координаты точки в среде; д = (дъ — вектор потока воды в грунте, Г — сила тяжести; К = К (х) — коэффициент фильтрации в законе Дарси. По традиции, принятой в теории фильтрации грунтовых вод, будем считать шкалу давления нормированной на удельный вес воды. Тогда вектор силы тяжести имеет вид Г = (0, -1). В некоторых приложениях вектор Г может зависеть от пространственных координат, а коэффициент К в законе Дарси может иметь тензорную форму и учитывать анизотропию среды, но в рассматриваемом модельном примере этого не предполагается.
В дополнение к соотношениям (1.1) будем предполагать, что в области течения величина р (х) нигде не опускается ниже атмосферного давления. Шкалу отсчета давлений можно, не ограничивая общности, выбрать так, чтобы ее начало соответствовало давлению окружающего воздуха. Тогда это условие запишется в виде неравенства
Необходимость условия (1.2) продиктована соображениями устойчивости. Следует отметить, что установившиеся течения грунтовых вод с насыщенными зонами, в которых давление меньше атмосферного, иногда встречаются на практике. В частности, при интенсивных откачках из водоносного горизонта, достаточно хорошо изолированного от земной поверхности слабопроводящими породами, давление в зоне депрессии вокруг водозаборной скважины может понизиться и стать меньше атмосферного. Если герметизация такой зоны нарушится в результате, например, образования трещины в этих породах, то в зону депрессии проникнет воздух, и структура потока изменится. В этом смысле установившиеся течения с зонами, где р < 0, физически неустойчивы. В случаях же, когда зона пониженного давления примыкает непосредственно к свободной поверхности, неустойчивость течений установлена также и в математическом смысле (см., например, [2, 3]). Отметим, что в ряде случаев отказ от условия (1.2) приводит к неединственности решений.
В качестве граничного условия на горизонтальном основании дамбы ОЬ принимается условие равенства нулю нормальной составляющей потока. На участке ОА боковой стенки дамбы, которая граничит с водоемом, задается условие Дирихле для давле-
Шуд = 0, д = К (Г -Vр)
(1.1)
р > 0
(1.2)
ния. Распределение давления по глубине водоема считается гидростатическим. Тогда на отрезке ОА границы
0 < х2 < Н: р (х) = Н - х2: (1.3)
В то время как вертикальная координата точки А, соответствующей верхнему краю свободной границы, считается известной и совпадающей с уровнем левого водоема H, положение точки В на правой стенке дамбы заранее не задано и подлежит определению. Отрезок, соединяющий точку В с точкой (X, 0) на основании дамбы, называется участком высачивания; условия на нем задаются соотношениями
р(х) = 0, д • п > 0 (1.4)
где п — внешняя по отношению к трапеции нормаль. В некоторых задачах фильтрации при формулировке граничных условий на участке высачивания ог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.