ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2008, № 2, с. 54-60
— КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 681.3.06
ОБ ОДНОРОДНОМ БАЗИСЕ ГРЕБНЕРА ДЛЯ ТЕНЗОРОВ*
© 2008 г. Ю. Г. Палий1'2, А. М. Хведелидзе1'3
1 Объединенный институт ядерных исследований Лаборатория информационных технологий 141980 г. Дубна Московской обл.
2Институт прикладной физики Академии наук Республики Молдовы Кишинев, MD-2028, Республика Молдова 3Математический институт им. A.M. Размадзе Отдел теоретической физики Тбилиси, GЕ-0193, Грузия E-mail: palii@jinr.ru, akhvecl@jinr.ru Поступила в редакцию 31.05.2007 г.
Алгоритмические методы коммутативной алгебры, основанные на технике инволютивных базисов и базисов Гребнера, являются эффективным средством приведения уравнений движения динамических систем в инволюцию. В то же время при практической работе с тензорными величинами большой размерности непосредственное использование стандартных функций вычисления базисов Гребнера, встроенных в системы компьютерной алгебры (Maple, Mathematica) приводит к значительным затратам памяти. Однако тензоры, будучи полилинейными формами, допускают введение специальной градуировки, позволяющей классифицировать многочлены по степени однородности. С учетом этой особенности для избежания проблем, связанных с большим объемом вычислений, в работе предлагается использовать специальный однородный базис Гребнера. Такой базис строится поэтапно, в порядке возрастания степени многочленов. В качестве примера приведен алгоритм построения однородного базиса в конечномерной гамильтоновой системе с большим количеством полиномиальных связей, так называемой модели калибровочной механики Янга-Милса.
ВВЕДЕНИЕ
Приведение в инволюцию системы полиномиальных и дифференциальных соотношений [1, 2] является необходимым и в то же время крайне сложным элементом изучения динамических систем с нетривиальной геометрией конфигурационного или фазового пространств. Хорошо известным примерами такого рода являются так называемые вырожденные гамильто-новы механические модели [3-6], в которых при
* Работа выполнена в рамках научного проекта, подержанного грантом №07-01-00660 Российского фонда фундаментальных исследований и грантом №5362.2006.2 Министерства образования и науки Российской Федерации.
решении эволюционных задач необходимо найти все условия того, что динамика развивается на симплектическом подпространстве, задаваемом связями, и далее проводить вычисления по модулю порождаемого ими идеала. Данная задача допускает процедуру алгоритмизации. В частности, был разработан алгоритм определения и классификации всех связей в вырожденных полиномиальных гамильтоновых системах [7-11], основанный на интенсивном использовании универсального метода коммутативной алгебры - техники базисов Гребнера [12, 13].
При работе с задачами, практически важными с точки зрения теоретической и математической физики, независимыми динамическими переменными являются объекты тензорной
природы большой размерности. В силу этого реализация алгоритма в стандартных системах компьютерной алгебры, таких, как Maple и Mathematica, сталкивается с проблемами значительных затрат времени вычислений и используемой памяти компьютера, и лишь в простейших моделях может дать конечный результат, основанный на построении базисов Гребнера.
В настоящей заметке мы хотим обратить внимание на тот факт, что в том случае, когда в задаче в качестве основных объектов фигурируют полилинейные объекты, тензоры, а именно эта ситуация имеет место в большинстве проблем теоретической физики, более адекватным оказывается специальная конструкция, так называемый однородный базис Гребнера [12]. Использование такого базиса возможно после введения специальной градуировки Г, задаваемой подходящим выбором весов переменных. При этом важно, что однородный базис Гребнера строится поэтапно, в порядке возрастания степени многочленов. Именно это и позволяет уменьшить затраты памяти. Помимо этого, в силу свойств однородности часто оказывается возможным использовать лишь часть конструируемого базиса, ограничив себя лишь порядками, диктуемыми свойствами конкретной задачи, тогда как полный базис может быть несравнимо большим. Для демонстрации эффективности предложенной конструкции в работе приведено построение однородного базиса на примере гамильтоновой механической системы с 64 степенями свободы, так называемой SU(3)-ка-либровочной механики на световом конусе. Отметим, что до проведенных нами компьютерных вычислений для данной модели не было известно полного набора инволютивных связей.
Работа состоит из трех частей. В первой части приведены понятие Г-градуировки многочленов, особенности построения Г-однородного базиса Гребнера и его использования. Во второй части дано краткое описание исследуемой модели и постановка задачи, решаемой на основе алгоритмов с применением базиса Гребнера. В третьей части приведено подробное описание построения однородного базиса. В заключении суммируются основные результаты.
1. ОСОБЕННОСТИ Г-ОДНОРОДНОГО БАЗИСА ГРЕБНЕРА
В этом разделе мы кратко напомним понятие Г-градуировки многочленов [12], особенности построения Г-однородного базиса Гребнера и его использования. В качестве примера используем кольцо многочленов К[д, р] от двух переменных р, д над полем К.
Г-градуировка есть отображение множества мономов Т(р, д) в множество натуральных чисел N. Так, для монома р8дг Г-степень задается правилом
Т(р!1д1) = арз + а^ , ар, ач £ М,
где ар, ад обозначают веса переменных р, д. Если при некоторых значениях ар, ад все мономы данного многочлена имеют одну и ту же Г-степень, то многочлен является Г-однород-ным. Нахождение весов переменных, при которых каждый многочлен из заданного набора является Г-однородным некоторой Г-степени, требует решения системы линейных уравнений [12]. Пусть для переменных р, д веса будут следующими: а,р = 2, ад = 1.
Далее вводится Г-совместимое упорядочение >- на множестве мономов Т(р,д), к примеру:
a) <1ед1ех р у д р у д2
или
b) <1ед1ех д у р д2 у р .
Теперь Г-однородные многочлены могут быть сравнены по их Г-степеням, например,
Р2 + д4 У рд + д3 У Р + д2 ■
Типичной задачей, встречающейся в моделях, отмеченных во введении, является следующая. Пусть подпространство М С К. п задано набором Р Г-однородных многочленов в кольце
К[дг1р3] {г,] = 1,...,га):
¥а{дг,Р3) = 0, а = 1 ,...,к.
Необходимо найти разложение некоторого многочлена по модулю М. Решение данной задачи в рамках алгоритмического подхода с использованием базисов Гребнера основано на следующем утверждении [12]:
56
ПАЛИЙ, ХВЕДЕЛИДЗЕ
Имея конечный набор многочленов, каждый из которых является однородным относительно данной градуировки Г, можно вычислить с помощью алгоритма Бухбергера Г-однородный базис Гребнера степени с1 идеала Ы(Р), отбрасывая все Б-многочлены степени, большей Результат достаточен для проверки принадлежности любого многочлена / степени Г(/) < < А идеалу Ы(^).
Далее будет показано, что в тех задачах, где полиномиальные уравнения, определяющие подпространство М, допускают введение соответствующей однородности, именно использование Г-однородного базиса Гребнера оказывается наиболее эффективным с вычислительной точки зрения.
2. ПРИМЕР: КАЛИБРОВОЧНАЯ МЕХАНИКА НА СВЕТОВОМ КОНУСЕ
Калибровочная механика Янга-Милса [7-9] на световом конусе представляет собой теорию полей Янга-Милса в предположении об однородности полей вдоль светового фронта. Данная модель является конечномерной гамильтоновой системой с полиномиальными связями, идеал которых, как оказывается, имеет весьма нетривиальный базис Гребнера. Динамическими переменными в модели являются дифференциальные 1-формы со значениями в алгебре группы
А := А£Га(№ , М = +, 1, 2 , а = 1,..., п2 - 1,
где с1х^ = (с!ж+, <4ж~, с1ж_|_) - дифференциалы координат, выбранные здесь в виде стандартных переменных "светового конуса" четырехмерного пространства Минковского (см. детали в [14]). Компоненты Аа несут как четырехмерный лоренцев, пространственно-временной индекс д, так и изотопический, групповой индекс а, т.е. являются векторами в соответствующих пространствах. Матрицы Та размера га X га образуют базис ви(га)-алгебры и удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Та, Ть] = 2\{аьсТс со структурными константами {аьс-
Согласно предположению об однородности, поля зависят только от переменной х+,
представляющей собой эволюционный параметр на световом конусе. Именно данная зависимость компонент 1-формы и определяет механику Янга-Милса на световом фронте (см. детали
в [15]).
Лагранжиан Ь модели задан в виде:
ЫУ \= 1т Р /\ *Р .
(1)
где (IV есть 4-форма пространство-временного объема, в правой части стоит след от внешнего произведения напряженности полей - 2-формы кривизны Р := ¿А + А А А, и формы *Р, дуальной к Р относительно метрики пространства Минковского.
Калибровочная инвариантность теории полей Янга-Милса и особенности формулировки теории на световом конусе приводят к вырожденности системы эволюционных уравнений (см. [5, 14]), а именно, оказывается, что не все уравнения движения содержат производные второго порядка по "времени" ж+.
При переходе к гамильтонову формализму с помощью преобразования Лежандра
, дЬ
7Г+ := —= 0 ,
дА% дТ
7Г„ := ——
дАа_
91
7Г„ := ——
дА%
— А°_ + {а1,с А_|_ А_ ,
— ^аЬс А_ А[,
отмеченная выше вырожденность теории проявляется в наличии так называемых первичных связей
Е: := 7Г+ = 0 , ■.= +1аЪс АЬ_А% = 0.
Динамика системы задается полным гамильтонианом
Нт:=Нс + ча<рЫ + ьакХ1, (2)
который представляет собой сумму канонического гамильтониана
Нс = \ тг-к--иЬс 4 (Ас_ ТГ~ + А% 1.
У(А) := ^аЪсА^и^А) , г, ] = 1, 2,
Таблица 1. Исходный набор связей
и первичных связей, умноженных на произвольные множители Лагранжа зависящие только от "времени" х+. Чтобы траектории системы оставались все время на поверхности первичных связей надо удовлетворить всем следствиям, вытекающим из условий
Фа ^ = {<Ра \ Нт} = 0 , хак = {хак,Нт} = О,
где введены скобки Пуассона, которые для канонически сопряженных переменных имеют вид
{Аа±,п±} = 5%, {А%Уь} = 51к5%.
Данная ситуация является типичной в теории вырожде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.