Автоматика и телемеханика, № 3, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. Е.В. МАРКОВА, канд. физ.-мат. наук (Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск),
Д.Н. СИДОРОВ, канд. физ.-мат. наук (Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск, Иркутский государственный университет, Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет)
ОБ ОДНОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ВОЛЬТЕРРА РАЗВИВАЮЩИХСЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ1
Развивается метод построения непрерывных решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода, возникающих при моделировании развивающихся динамических систем. Приводятся теоремы существования решений и строится их асимптотика. Теоретические результаты иллюстрируются численными расчетами на тестовых примерах.
1. Введение
Рассматриваемая в статье модель основана на интегральных моделях развивающихся систем типа В.М. Глушкова [1]. Важную роль в этих моделях играют интегральные уравнения Вольтерра I рода, у которых оба предела интегрирования являются функциями времени:
t
(1) Jk(t,s)x(s)ds = f (t), t € [to,T],
a(t)
где функция a(t) отражает динамику отмирания элементов системы, замены устаревших технологий новыми и т.д.
При a(t) < t Vt € [to, T] (такой случай наиболее часто встречается в приложениях) для обеспечения единственности решения x(t) необходимо задание начальной функции на предыстории:
(2) x(t) = x0(t), t € [a(to) ,to).
1 Работа поддержана грантом Минобрнауки РФ, проект Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" госконтракт № 14.B37.21.0365, грантом Германской службы академических обменов № A1200665 и грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 12-01-00722-a.
В [1] сформулированы различные постановки задач развития макроэкономической системы, учитывающие ее технологическую структуру, а также показаны пути дальнейшего обобщения этих задач [2-5]. Отметим также работы [6, 7].
Авторами статьи модель Глушкова (1), (2) применялась для моделирования развития крупной ЭЭС. В серии работ [8-13] рассмотрены однопродук-товые модели развития ЭЭС с разной степенью агрегированности по типам электростанций.
В данной статье предлагается рассматривать развитие системы с момента ее создания (а(Ьо) = ¿о), причем на разных участках жизни системы ядра Кг(Ь,8) будут иметь различное значение:
0,-1(1) а2(г) г
J К1 (Ь, 8)х(,в)й8 + ! К2(Ь,8)х(8)й8 + ... + ^ Кп(Ь,8)х(.в)й8 = / (Ь),
го а-(г) ап-\(г)
(3) Ь € [¿о,Т].
Здесь для единственности решения (3) необходимо задание правой части в начальной точке. Естественно предположить, что в момент создания системы / (¿о) = 0.
2. Интегральное уравнение Вольтерра
Рассмотрим интегральное уравнение вида
п
(4) ^ I Кг(1,8)х(8) й8 = / (Ь), 0 <Ь<Т, / (0)=0,
2=1
где ао(Ь) = 0 < а1(Ь) < ■ ■ ■ < ап-1(Ь) < ап(Ь) = Ь. Функции Кг(Ь, 8), /(Ь), аг(Ь) имеют непрерывные производные по Ь при 0 < Ь <Т, Кп(Ь, Ь) = 0. Функции а1(Ь),..., ап-1(Ь) возрастают в малой окрестности 0 <Ь < т, аг(0) = 0. Предполагается, что кривые в = а:г(£) делят треугольную область 0 < в < I <Т к& п непересекающихся областей Иг = {8,< в < г = 1 ,п, ао(£) =
= 0, ап(Ь) = Ь, являющихся секторами с вершинами в нуле в плоскости 8,Ь. Требуется построить непрерывное решение х(Ь) € С(о,Т].
2.1. Продолжение локального решения
Предположим, что уравнение (4) имеет локальное решение хо(Ь). Предлагается метод его глобального продолжения сочетанием метода последовательных приближений [14] и последующим применением "метода шагов" [15]. Отметим, что в [16, 17] был изложен метод построения асимптотического локального решения уравнения (4).
Поэтому, продифференцировав уравнение (4) по Ь, в силу условия /(0) = 0 и неравенств 0 = ао(Ь) < а1(Ь) < а2(Ь) < ■ ■ ■ < ап-1(Ь) < ап(Ь) = Ь придем к
эквивалентному интегрофункциональному уравнению
п— 1
Удж К;(г,а;(г)] - К;+1(г,а(Щ >х
i=1
аг(г)
п— 1 Г
^(х) = Кп(М)х(*) + ^ К^,а^)) - ^+1(*,а(£)) [х(аД*)) +
i=l ^ ^
п ^
(5) + £ / -/'(!)=°-
i=1
Поделив обе части равенства (5) на Кп(£,£), получим уравнение
г
(6) х(£) + Ах + ^ в)х(в)^ = /(£).
Здесь введены обозначения
п—1 Г 1
Ах = К—^^ (£)) - ^+1(*,аД*)) Ка(£)),
i=l ^ ^
г п аг(г)
0 ^а;-^)
/(£) = К—Чм)/ '(£).
Справедлива
Лемма 1 (о продолжении локального решения [18]). Пусть существует т > 0 такое, что при £ € (0, т] уравнение (4) имеет непрерывное решение Хо(1). Пусть _тт (£ — = Л< > 0. Тогда уравнение (4) имеет при
г=1
£ € (0, Т] непрерывное 'решение х(£), сужением которого на интервал (0,т] является локальное решение х0(£).
Замечание 1. Так как на основании работ [16, 17, 19, 20] уравнение (4) может иметь решение, не ограниченное при £ ^ +0, то в условиях леммы 1 не исключен такой случай. А именно, в лемме 1 строится решение х(£) на открытом интервале (0, Т], что оставляет возможность его непрерывного продолжения на замкнутый интервал [0, Т] в случае существования конечного предела локального решения х0(£) при £ ^ +0.
2.2. Достаточные условия существования единственного непрерывного решения на замкнутом интервале [0, Т]
Введем функцию
п—1
ОД = ^ | а^)К—11 (£, £) | |КД*,аД*)) - (£))| .
i=1
Пусть выполнено условие (A). D(0) < 1, sup lK-1(t,t)K(t,s)l < с < то.
--it '-n
0 <s<i<T
В силу непрерывности функции D(t) найдется окрестность [0, т], в которой
D(t) <q< 1. Отметим справедливость неравенства max |a;(o;i(i))| ^ ||ж||,
i=i,n-i,ie[o,r]
где ||x|| = max |x(t) |. Поэтому имеем неравенство ||Ax|| ^ q||x||. Заметим,
что в пространстве непрерывных функций C[o,t] c нормой ||x|| = max |x(t)| справедливо неравенство
i
Q(t, s)x(s)ds
^ ст||x|
Выберем т < Тогда в уравнении (5) оператор А + / будет
о
сжимающим в пространстве С[о,т]. Таким образом, найдется т > 0 такое, что при Ь € [0,т] уравнение (4) имеет непрерывное локальное решение хо(Ь) и
t
последовательность xn(t), где xn = -Axn-1 — f Q(t, s)xn-1(s)ds + f(t), при
0
t € [0, т] сходится равномерно к этому локальному решению. Из изложенного вытекает
Теорема 1 [18]. Пусть при t € [0, Т] выполнены следующие условия: непрерывные функции Ki(t,s), г = 1 ,п, cti(t) и f(t) имеют непрерывные производные по t, Kn(t,t) = 0, 0 = a0(t) < a1(t) < ■■■ < an-1(t) < an(t) = t при t € (0,T], а^(0) = 0, f(0) = 0. Пусть выполнено условие (A). Тогда уравнение (4) в пространстве C[0,T] имеет единственное решение.
Замечание 2. Пусть в представлении кусочно-заданного ядра K(t,s) функции Ki(t,s) = 0, г = 1 ,п — 1, и рассматривается уравнение
t
/ K(t, s)x(s)ds = f (t), 0 ^ t ^ T.
a(t)
Пусть /(Ь) € С^оТ], /(0) = 0, К(Ь,Ь) = 0, К(Ь,8), К[(Ь,8) непрерывны, а(Ь) €
€ С[(о1)Т ] ПС+о т ], а(0) =0, 0 < а'(0) < 1, а(Ь) <Ь при 0 <Ь<Т. Здесь т может
быть сколь угодно малым положительным числом, С+о т] — пространство функций, имеющих непрерывные положительные производные. Условие (А) очевидно выполнено, так как 0(0) = а'(0) < 1. Поэтому на основании теоремы 1 уравнение (4) имеет в классе С[о, т] единственное решение. Приведенное замечание 2.2 усиливает результат теоремы 3.3.1 из монографии [21], так как в ней предполагалось, что производная а'(Ь) положительна на всем интервале [0, Т].
t
Замечание 3. Если условие (A) усилить, потребовав, чтобы max D(t) = q < 1, то в норме |Ык =f max e-Lt|x(t)|, где L - достаточно велико, последовательные приближения
t
0
x0(t) = f(t), сходятся равномерно на промежутке [0,T] со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q к единственному непрерывному решению уравнения (4). При этом имеет место оценка
| - ли = O(qn).
2.3. Построение асимптотики единственного непрерывного решения
Пусть 0 ^ а[(0) < 1, «¿(0) = 0, г = 1, п — 1. Тогда для любого 0 < t < 1 найдется Т' € (0,Т] такое, что max ^ е и sup I^WI ^
i=l,«-l,i€[0,T'] i=l,n-lM(0,T>]
Пусть выполнено условие
(B). При фиксированных q и T', где q € (0,1), T' € (0,T], выполняется неравенство
n— 1
max * К—1^ V K(t)||K(t,a(t)) - K+i^a(t))| < q< 1. ie[0,T'l '
i=1
Очевидно, что условие (B) выполняется при достаточно большом N*.
Введем дополнительное условие локальной гладкости
M
(C). Существуют полиномы Vi{t,s)= £ К^ГР, i = l ,п, M^N*,
M M _
fM(t) = E fut", af(i) = £ «¿„i", i = 1 ,n - 1, где 0 < «и < ai2 < • • • <
V=1 V=1
< an—1n < 1 такие, что при t — +0, s — +0 справедливы оценки |Ki(t, s) — = 0((t + g)M+1), г = M, |/(i)-/M(i)| = 0(tM+1), |a,(i)-af(i)| = = 6>(iM+1),?: = l,??,-l.
Приведенные разложения по степеням s, t очевидно являются полиномами Тейлора соответствующих функций. Введем алгебраическое уравнение
n— 1
B(j) = Kn(0, 0) + (0))1+j(Ki(0, 0) — Ki+1(0, 0)) = 0
i=1
и назовем его " характеристическим уравнением" интегрального уравнения (4).
Будем искать асимптотическое приближение искомого локального решения в виде полинома
м
хМ (Ь) = £ хгЬг.
г=о
Подставляя этот полином в уравнение (5), методом неопределенных коэффициентов получим рекуррентную последовательность линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов х^:
В^Ху = Dj(xo,..., х^—1), з = О, М.
Здесь 0о = /'(0). Остальные выражаются определенным образом через решения хо,х1,..., х^-1 предыдущих уравнений и коэффициенты полиномов Тейлора, введенных в условии (С). Систему B(j)xj = (хо,... ,х^-1), 3 = = 0, М, можно записать в матричном виде
21Ш = Ъ,
где х = (хо, рица вида
,хмУ, Ъ =
А =
/^(0), ^ ,..., ^ ^ , 21 — треугольная мат-
Аоо 0 0 ■ ■ ■ 0
Аю Ап 0 ■■■ 0
Амо Ам 1 ............Амм .
с элементами
Ак =
1
(3 + 1)!
(У+1 (1Р+1
К (Ь,8)8к й8
з П. Л/. к = 0,у.
г=о
Учет структуры ядра К(Ь, 8) и непосредственные вычисления дают явный вид коэффициентов матрицы А:
п j—k
Ак = ЕЕ Е (а<[11 (0))11 (а(2)(0)У2 ■ ■ ■ (а?+а)(0))1-+ х
j=l «=о ¿1+2^2+—h(l+s)гl+s=l+j
(7)
х [К(0,0)- К^ (0, 0)], 3=Ъ,М, к = 0,3-
г(з)
При к = 3 из общей формулы (7) получаются диагональные элементы Ajj
= В(3): '
Ал = Е^т1+3[Кг(0,0) - Кг.г(0,0)] = ВЦ), } = 0,М,
г=1
г
указанные выше в координатной форме этой системы. Явный вид системы линейных алгебраических уравнений позволяет использовать ее при построении асимптотики решений методом неопределенных коэффициентов.
Таким образом, если В(3) = 0 при 3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.