ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 653-668
удк 519.634
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ
С ПАМЯТЬЮ
© 2015 г. В. П. Орлов, М. И. Паршин
(394006Воронеж, Университетская пл., 1, Воронежский гос. ун-т) e-mail: orlov_vp@mail.ru, parshin_maksim@mail.ru Поступила в редакцию 17.04.2014 г.
Для начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды с памятью вдоль траекторий движения в плоском случае установлена нелокальная теорема существования слабого решения. Библ. 22.
Ключевые слова: термовязкоупругая среда, уравнения движения, начально-граничная задача, слабое решение.
Б01: 10.7868/80044466915010172
1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть О с Я2 — ограниченная область с границей дО е С2. В 0Т = [0, Т] х О рассматривается начально-граничная задача
г
дV/дг + ^¡дV/дх1 - Б1У(0)% ( V)] - Д V- |Б1У[%(V)(s, г(я; г, х))]ds +
0
+ Vр = /, Шу V = 0 на 0Т; VIг = 0 = V0 на О, Vэп = 0 на [0, Т]; (1.2)
(1.1)
+
50/5? + v 50/5x;- - хА0 = (ц„ + ^ (0)) %(v) : % (v) +
t
И2 jDiv [% ( v)(z(s; t, x))] ds : % ( v) + g = Gj + g на QT;
(1.3)
01г = 0 = 00 на О, 01= 0 на [0, Т]. (1.4)
Здесь V = v2), 0 ир — скорость, температура и давление среды соответственно, = {%,}, = I (д^дхх + с^,^ - тензор скоростей деформаций, %(V) : %(V) = %,%,, ,о > И2 * 0, ^ е
е С2(—да, +да), 0 < т* < < т** . Вектор-функция z(т; х) определяется как решение задачи Коши (в интегральной форме):
т
г(т; г, х) = х + г(я; г, x))ds, т, г е [0, Т], х е О. (1.5)
г
Система (1.1)—(1.4) описывает динамику вязкоупругой сплошной среды, которая помнит напряжения вдоль траектории движения частицы среды (функция z(т; х)). При выводе уравнений предполагалось, что тензор напряжений среды есть линейная комбинация тензора скоростей де-
формации, памяти Г % (s, z(s; t, x))ds ,
0
а внутренняя энергия линеино зависит от температуры.
0
Первое уравнение (1.1) является уравнением движения, а уравнение (1.3) — следствием уравнения баланса энергии (см. [1, с. 7]).
Движение термовязкоупругой среды с памятью изучалось в [2], [3], где в одномерном случае была установлена локальная теорема существования и единственности, нелокальная при малых данных.
В многомерном случае вязкоупругая среда с памятью (система уравнений (1.1)—(1.2), (1.4), 0 = 0) изучалась в [4], [5], где была установлена локальная и нелокальная при малых данных теорема существования и единственности сильных решений в Lq(Q) при q > n. Оказалось, что для нелокальной разрешимости приходится заменять уравнение (1.5) на регуляризованное уравнение
т
z(t ; t, x) = x + j"v(s, z(s; t, x))ds, т, t e [0, T], x efl, (1.6)
t
где v — некоторая регуляризация поля скоростей v. Введение оператора v, регуляризующего поле скоростей, объясняется тем фактом, что поле скоростей v, определяемое как слабое или сильное обобщенное решение задачи (1.1)—(1.2), (1.4) в классах функций, суммируемых с квадратом вместе с производными, не позволяет восстановить траектории г движения частиц или же траектории не обладают свойствами регулярности, необходимыми для корректности модели (см. [6]).
При 0 = 0 и z(s; t, x) = x задача (1.1)—(1.2) является моделью Олдройта вязкоупругой среды (см. [7], [8]). В случае ^1(s) = const нелокальная сильная разрешимость для модели Олдройта
(v e W2 (QT),p e W1 (QT)) (1.1)-(1.2) установлена в [9].
В [10] для регуляризованной модели вязкоупругости (задача (1.1)—(1.2) при 0 = 0 и ^1(s) = const) была установлена нелокальная (n = 2) и локальная (n = 3) теорема существования и единственности сильных решений с помощью аппроксимационно-топологического метода. В [11] другим методом тот же результат был установлен для более общей модели с нелинейной вязкостью
Для задачи (1.1)—(1.4) наличие переменной вязкости из-за недостаточной гладкости 0 не позволяет установить ее сильную разрешимость. Нашей целью является доказательство слабой разрешимости задачи (1.1)—(1.4). При этом мы существенно опираемся на результаты из [12] о слабой разрешимости уравнения баланса энергии.
Отметим, что при исследовании слабой разрешимости задачи (1.1)—(1.4) в правой части условия (1.3) появляются слагаемые из L1(QT), что вызывает существенные трудности (см., например, [13] и имеющуюся там библиографию). Исследованию других моделей термовязкоупругих сред посвящена обширная литература (см., например, [14], [15] и имеющуюся там библиографию).
Работа организована так. В разд. 2 приводятся основные обозначения и определения. В разд. 3 формулируется главный результат. Разд. 4 посвящен доказательству основного результата работы — теоремы 3.1 — и разбит на ряд подразделов, посвященных доказательству различных вспомогательных результатов и непосредственно доказательству теоремы 3.1.
Возникающие в неравенствах и цепочках неравенств константы, не зависящие от существенных параметров, обозначаются одной буквой M. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Ниже мы используем пространства Соболева Lp(Q), Wp (Q), Lp(QT), W" (QT) для скалярных, векторнозначных или матричнозначных функций (из контекста это всегда ясно), H (Q) — пространства бесселевых потенциалов (см. [16, с. 79]). Нормы в L2(Q), W2 (Q), L2(QT), W2'm (QT) обо-
o
значаются как |-|0, ||-||0, ||• ||А,m соответственно. Мы обозначаем через WW"(Q) замыкание пространства C (Q) в норме W" (Q), m > 0, W^ 0 (Q) = W" (Q) n WW"(Q), m > 1/p. Далее, W-" (Q) =
o
= (W""' (Q))', m > 0, p' = p/(p — 1), 1 < p < +o>, знак ' обозначает сопряжение пространства. Пусть
Т = {и : и е С" (О, Я"), ёгуи = 0}. Здесь С" (О, Я") — множество бесконечно дифференцируемых функций на О с компактным носителем. Ниже Н и Кявляются замыканием Т по норме |-|0 и | соответственно (см. [17, с. 20]). Через В мы обозначаем действующий в Ноператор Ви = — ^Д :
Б(В) —Н с областью определения Б(В) = Жр-0 (О) о Н. Оператор В является (см. [18, с. 54]) положительно определенным самосопряженным оператором.
Определим оператор регуляризации как V = Б^у = (/ + 5В)-1 V, 5 > 0. При 5 —» 0 операторы £8 = (I + 5В)-1 V сильно сходятся к Iв Н. Всюду ниже vx(x) = {дvk(x)/дx¡}k ■
= 12 означает матрицу
Якоби вектор-функции v(x) = vxx(x) = {д2vk(x)/дx¡дxj}k,,■ = 12 — тензор, состоящий
из вторых производных.
3. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТА Определение 3.1. Слабым решением задачи (1.1)—(1.4) называется пара (V, 0), где
V е Х2(0, Т; V) о (0, Т; V) о С„(0, Т; Н) = Щ0, Т), (3.1)
0 е и(0, Т; Жр(О)) о Ж2(0, Т; ^(О)) о С„(0, Т; ^-2/р(О)) = Т, 1 <р < + ю, (3.2) удовлетворяющая соотношениям
й( V, Ф)/йг - (дф/дх,) + Ы % (V), %(ф)) + (^1 (0)%(V), %(ф)) +
/г л
+ ^2
|% (V)(г (5; г, *))% (ф)
= </,ф)
(3.3)
при всех ф е Vв смысле распределений на [0, Т] при почти всех
й(0, ф)/йг- (^0, дф/дх,) + х(д0/дх,, дф/дх,) = <& ф) + (^ (0)%( V) : %( V), ф) +
(г л
+ ^2
|( % (V)(5, г (5; г, х)) : %(V)(г, х)) йз,ф
(3.4)
где |д2(0) = + ц1(0), в смысле распределений на [0, Т] для любых ф е С" (О) при почти всех и условиям (1.2) и (1.4).
Знак <•, •) в (3.3) и (3.4) означает двойственность между V и Vи между Жр1 (О) и (О) соответственно. Здесь и ниже (и, м>) = |ы(х)^(х)йх для скалярных, векторнозначных или матрич-
п
нозначных функций (из контекста это всегда ясно), С„,(0, Т; Е) обозначает пространство слабо непрерывных функций со значениями в банаховом пространстве Е.
Теорема 3.1. Пусть функция е С2(—ю, +ю) монотонно возрастает и
0 < т* < < т**, s е (—ю, +ю), (3.5)
/е Х2(0, Т; V), V е Н, g е Х1(0, Т; Нр2( 1 - 1/Р) (О)), 00 е ^2-2/р (О). Тогда при 1 <р < 4/3 существует по крайней мере одно решение задачи (1.1)—(1.4).
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3.1
Доказательство теоремы 3.1 разобьем на несколько этапов. Вначале мы установим разрешимость задачи (1.1)—(1.2), (1.6) при фиксированной 0. Затем мы установим разрешимость задачи (1.3)—(1.4) при фиксированной V. Решая последовательно задачи (1.1)—(1.2), (1.6) и (1.3)—(1.4), устроим последовательность (0", V") из их решений 0" и V". Затем мы покажем, что в пределе эта последовательность дает решение задачи (1.1)—(1.4), (1.6).
4.1. Вспомогательные результаты
Рассмотрим сначала задачу
dv/dt + vdv/dxi- Div[m(t, x)%( v)] + Vp = f, divv = 0, (4.1)
vl t = о = v°, v| an = (4.2)
Слабое решение задачи (4.1)—(4.2) определим как функцию v e U(0, T), удовлетворяющую соотношению (3.3) при замене ^ (0) на m(t, x) и = = 0.
Лемма 4.1. Пусть f e L2(0, T; V'), v0 e H, функция m(t, x) измерима и ограничена на QT, 0 < K1 < < m(t, x) < K* . Тогда задача (4.1)—(4.2) имеет единственное слабое решение и справедлива оценка
IMI U(0' T) < Mx(\\ f\\Li (°' T; n + |v°|°). (4.3)
Пусть vi являются решениями задач (4.1)—(4.2) при f e L2(0, T; V'). Тогда
II v1 - v2||и(0, T) < Millf -f2|l2(0' T; v). (4.4)
Здесь M1 и Mi зависят от ||m|| „ , а
L (QT)
II vi U(0' T) = lldv/l2(0' T; V(n)) + II v|| 0' 1 + sup I v( t, x)| 0.
0 < T
Доказательство первого утверждения леммы (4.1) см. в [19]. Доказательство второго утверждения леммы проводится стандартным образом по схеме доказательства единственности для системы Навье—Стокса (см., например, [17, с. 234—236]).
Рассмотрим задачу
50/dt + v;-50/5x;- - хА0 = m(0) %(v) : % (v) + ~ + g, (4.5)
0| t = 0 = 00, 0| an = 0, (4.6)
где m(0) = + mu1 (0).
Слабое решение задачи (4.5)—(4.6) определим как функцию 0 e Y, удовлетворяющую соотношению
d(0, ф)/dt- (v,0, дф/3xt) + х(50/dxt, дф/6x,) = <g, ф> + <ф> + m(0)%(v) : %(v), ф, (4.7) в смысле распределений на [0, T] для любых ф e C" (Q) при почти всех t, и условиям (4.6).
Лемма 4.2. Пусть g e L1(0, T; Hp?( 1 -1 /p) (Q)), g e L1(0, T; L1(Q)), 00 e W-2'P (Q), 1 <p < 4/3,
0 e Y, v e U(0, T). Тогда задача (4.5)—(4.6) имеет по крайней мере одно слабое решение и справедлива оценка
11011Г - lld0/dtllLi(0' T; <(П)) + ШLp(0' T; W>)) + SUP0 < t< A0(^ x-2*(0) <
2 II 2|| (4.8)
< M2(ll gll^ (0' T; Hp2(i - i/p) (n)) + llglLi( 0' T; Li (П)) + I Ml2' 1 + II0 II Wp " 2/?(П)).
Утверждение леммы (4.2) при m = const вытекает из [12].
Доказательство леммы (4.2) проходит и для случая, когда m = + ц1( 0), ~ e Y. В этом случае m e Lm(QT), причем ||m|| „ < m0 + sups>0^1(s) < и все апри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.