ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 9, с. 1503-1510
УДК 519.626
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ НА БЕСКОНЕЧНОМ ВРЕМЕННОМ ПРОМЕЖУТКЕ1
© 2015 г. М. С. Близорукова
(620990Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Ин-т матем. и механ. УрО РАН; 620002 Екатеринбург, ул. Мира 19, УрФУ) e-mail: msb@imm.uran.ru Поступила в редакцию 24.12.2013 г.
Переработанный вариант 25.03.2015 г.
Рассматривается задача управления параболическим уравнением. Предполагается, что проводятся неточные измерения решения этого уравнения. Указывается алгоритм формирования управляющего воздействия (по принципу обратной связи), обеспечивающий отслеживание решением этого уравнения решения другого уравнения, порождаемого неизвестной правой частью. Библ. 13.
Ключевые слова: задача управления, параболическое уравнение на бесконечном временном промежутке, отслеживание решения, вычислительный алгоритм.
DOI: 10.7868/S0044466915090070
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В статье исследуется задача управления параболическим уравнением, подверженным влиянию неизвестного возмущения. Предполагается, что текущие состояния заданной управляемой системы, а также системы, на которую воздействует неконтролируемое возмущение, наблюдаются с малыми погрешностями. Требуется построить устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм формирования управления по принципу обратной связи, обеспечивающий отслеживание решением заданной системы решения системы, подверженной возмущению.
Пусть V и H — действительные гильбертовы пространства; пространство V вложено в пространство H плотно и непрерывно: V с H = H* с V*.
Рассматривается абстрактное параболическое уравнение
y(t) + Ay(t) = Bv(t) + ДО, t e T = [0, +СЮ), y(t0) = У0 e D(Ah) = {z e V : Az e H}. ()
Здесь A : V ^ V* — линейный, непрерывный и симметрический оператор, удовлетворяющий (для некоторых c > 0 и ю е R) условию коэрцитивности
(Ay,у) + ю| y |H > c | y V Уу е V, (2)
f (•) е L2(T; H) — заданная функция, v — управление, производная y( ) понимается в смысле пространства распределений (см. [1, с. 41]), B — линейный непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства U с нормой | • \U и скалярным произведением )U (пространство управлений), в пространство H (B е L(U;H)) или пространство V (B е L(U;V)). Символами | • |V и | -|H обозначены соответственно нормы в V и H, а символами (•, •) и (■, ■) — скалярное произведение в H и двойственность между V и V*.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 13-01-00110а).
Следуя [2, с. 115], [3, с. 123], функцию х() е = {х() е ЩТ^У) : х() е Х2(Г3;Г*)}, удовле-
творяющую соотношению
ш г) + (Ах(г), г) = (Бу(г) + / (г), г)
У г е V при п.в. г е Т3
будем называть решением уравнения (1) на промежутке Т3 = [0,0], 9 > 0, и обозначать символом х() = х(-;0,х0,у(-)). В силу известной теоремы (см. [4, теорема 3.3]) при любых 9е (0,+да) и у(-) е Х2(Т3;Ц) уравнение (1) имеет единственное решение со свойством
х(-) е Ж 12(Т3; Н) п C(T3;V),
где Ж 12(Т3; Н) = {м>(-) е Х2(Т3; Н) : е Х2(Т3; Н)}. Функцию х(г), г е Т, назовем решением уравнения (1) на промежутке Т, если х( ) есть решение уравнения (1) на всяком промежутке Т3, 9 > 0.
Рассматриваемая в настоящей работе задача формулируется следующим образом. Наряду с уравнением (1) имеется еще одно уравнение:
х(г) + Ах(г) = Бы® + /(0, г е Т, (3)
с начальным состоянием х(0) = х0 е ЩАН). Это уравнение (назовем его эталонным) подвержено воздействию некоторого неизвестного управления ы( ) е Р( ). Здесь символ Р(-) означает множество измеримых (по Лебегу) функций у(-) : [0,+да) ^ Р, т.е. множество допустимых управлений. Р с и — замкнутое и ограниченное множество. Управление ы(), а также отвечающее ему решение х() = х(-;0,х0,ы(-)) уравнения (3) заранее не известны. В дискретные моменты времени
т, еА = {х}" (Т0 = 0, т,+1 = т, + 5)
измеряются состояния у(т,) = у(х,-; 0,у0, у(-)) уравнения (1), а также состояния х(т,) = х(т,; 0,х0, ы()) уравнения (3). Состояния у(т,) измеряются с ошибкой. Результаты измерений — элементы ЪН е Н, , > 1, — удовлетворяют неравенствам
| у(т,) |у< Н, (4)
где У = Н, если Б е Ь(и; Н), У = V* — в противном случае, число Н е (0,1) характеризует точность измерения. Будем предполагать, что
|У0 - Х0^ ^ Н. (5)
Необходимо указать алгоритм формирования управления V = V () в уравнении (1), позволяющий осуществлять отслеживание решением у() этого уравнения решения х() уравнения (3). Таким образом, рассматривается задача, состоящая в построении алгоритма, который по текущим измерениям величин у(х,) и х(х;-) формирует (по принципу обратной связи) управление V = vh(:) в правой части уравнения (1) такое, что отклонение у(-) = у(;0,у0, vН(•)) от х() = х(-;0,х0,ы(-)) в метрике пространства С(Т3; Н) (каково бы ни было 3 е (0, +«)) мало при достаточной малости измерительной погрешности Н.
В случае, когда промежуток Т ограничен, рассматриваемая задача может быть решена на основе конструкций из [5]—[9]. Обратим внимание на тот факт, что предложенные в указанных выше работах алгоритмы ориентированы на конечный промежуток времени. С возрастанием длины этого отрезка происходит накопление вычислительных и измерительных ошибок. В данной работе мы укажем именно алгоритм отслеживания решения параболического уравнения на бесконечном промежутке времени, воспользовавшись идеями из [10]—[13].
Для каждого Н е (0,1) фиксируем семейство АН разбиений Т моментами времени хН>,:
+<»
Ан = {Ч,}Г=0, 40 = 0, Хн,;+1 =Ха>, + 5,(Н), 5,(Н) е (0,1), (Н) = УН е (0,1). (6)
,=0
Всякую кусочно-постоянную функцию h() : [0,+да) ^ Y, <E,h(t) = при t е [ihi,Thi+1), i ^ 1, ^ = y0, удовлетворяющую ограничениям (4), будем называть допустимым измерением точности h, а всякую измеримую по Лебегу функцию v(-) : [0, +<») ^ P — допустимым управлением.
Для любых допустимых управлений v() и v h() введем критерий отклонения yh() от x(-) на каждом ограниченном отрезке времени [0, :
®*(yhO,x(-)|&) = max|yh(t;0,y0,vh(-)) - x(t;0,%0,u(-))l .
te[0,3]'
Через yh(-) = y(-;0,y0,vh(-)) и x(-) = x(-;0,x0,u(-)) здесь обозначены решения уравнений (1) и (3), порождаемые входами u() и v() = v h() соответственно.
Заметим, что в силу непрерывности вложения пространства V в пространство H, справедливо неравенство
|x|H < c0|x|V Vx e V. (7)
В свою очередь линейность и непрерывность оператора A влечет справедливость неравенства
|Ax|V. < c*|x\v Vx e V, (8)
где c0 и c* — некоторые положительные константы.
h
Итак, решение y (t), t > 0, уравнения (1) (как и решение уравнения (3)) наблюдается в дискретные моменты Thi с ошибкой и изменяется под воздействием значений некоторой обратной
связи U(t,у°0,2,°0) е P. Решение уравнения (1), таким образом, зависит от 2,h() и удовлетворяет следующим дифференциальному уравнению и начальному условию:
yh(t) + Ayh(t) = BU(Ti,^,¥h) + f(t), t e5i = [Ti,Xi+i), i > 0, yh(0) = y,, (9)
где уh = x0, уh e H, i > 1, — результаты неточных измерений состояний x(xi): | уh - x(x,) |Y< vh, T = Th>i, i ^ 1. Функцию
U(•,•,•) : T x Y x Y ^ P
назовем допустимой обратной связью (для уравнения (1)). Для любой допустимой обратной связи
U(-,-,-) и любого допустимого измерения 2°0 точности h определенное на [0,+да) решение y°(-) задачи Коши (9) назовем траекторией реальной системы, соответствующей допустимой обратной
связи U(-,-,-) и допустимому измерению 2о().
Управляемым процессом, соответствующим допустимой обратной связи U(•,•,•), допустимому управлению v( ) и измерительной точности h (h е (0,1)) назовем всякую четверку
(x(-),^h(-),yh(-), v°(-)), где x() = x(-;0,x0,u(-)) — решение уравнения (3), 2°0 — допустимое измерение точности h, отвечающее yh(), yh() — траектория реальной системы (1), соответствующая U (• ,• , •) и 2Ч), а функция vh (■): [0, +о>) ^ P имеет вид
vh(t) = U(т¡, tf, vh), | vh - x(ii-) |y< h, tf = ^h(Xi-) (10)
при t eS;- = [Т;,Т;+Д т = Th>i, i > 1,
= y0, уh = x0 ,t > 0. Функцию v h () назовем реализацией допустимой обратной связи U (-,-,-), соответствующей допустимому управлению v() и допустимому измерению точности h.
Инструментом решения рассматриваемой задачи является семейство (Uh(- ,•, •))he(0>1) допустимых обратных связей. Назовем семейство (Uh(, • , •))he(0>1) устойчивым относительно момента &, если найдется функция у(-) : (0, +да) ^ [0, +да) такая, что у(й) ^ 0 при h ^ 0 и для всякого допустимого управления v(), всякого h е (0,1) всяких семейств Ah, всякой реализации vh() допустимой обратной связи Uh (•,•,•),
vh(t) = Uo(xo,,20,v0), t g8„:, i > 0, (11)
всякой траектории yh(t) = yh(t; 0,y0, vh()) реальной системы (1), соответствующей управлению vh() вида (11) и всякого допустимого измерения 2,h(-) точности h е (0,1), выполняется неравенство
sup»*(yh0, x(№ <Y(h), (12)
S>0
т.е. неравенство (12) справедливо для управляемого процесса (x(-),^h(-),yh(-), vh()). Функцию у(-) назовем оценкой точности семейства (Uh(-,-,-))he(0j1).
Задача об устойчивом отслеживании решения уравнения (1) состоит в построении семейства допустимых обратных связей Uh, устойчивого относительно момента 9.
2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Прежде чем перейти к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи, приведем два условия, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Условие 1. B е L(U; V). Семейство Ah таково, что 5,-(h) = 5(h) при всех i = 0,1...
Условие 2. B е L(U;H). Семейство Ah таково, что выполнено неравенство
+<» Г i Л
Zjs3/2(h)(1 + J(h))[<9i(h), 9i(h) ^ 0 при h ^ 0.
i=0 [ J=0 J
Заметим, что условие 2 выполнено, например, если di(h) = h/i + 1.
До начала работы алгоритма фиксируем величину h е (0,1) и разбиение Ah = {xhi}J=0. Работу алгоритма разобьем на однотипные шаги. В течение i -го шага, осуществляемого на промежутке времени 5, = [х, ,Ti+1), Ti = Thi, выполняются следующие операции. Сначала, в момент Ti, вычисляется элемент Uh(i¡ h) по формуле
Uh(x¿,y;h) = argmin{2(y;h - £h,Bv): v e P}. (13)
Затем на вход уравнения (1) при всех t е 8¡ подается управление вида (10). Под действием этого управления решение системы, описываемой этим ур
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.