МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.5.01
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ СО СЛАБЫМ РАЗРЫВОМ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ
© 2014 г. Д. В. АНАНЬЕВ, Е. К. ВАЧАГИНА, А. И. КАДЫЙРОВ, А. А. КАЙНОВА,
Г. Т. ОСИПОВ
Казанский научный центр РАН, Исследовательский центр проблем энергетики, Казань e-mail: evachagina@mail.ru, anastasiya-kaynova@mail.ru, dima211083@yandex.ru
Поступила в редакцию 12.11.2013 г.
Приведены условия возникновения слабых тангенциальных разрывов профиля скорости при изотермическом течении вязкоупругих сред Фан-Тьен—Таннера в плоскощелевых каналах и круглых трубах.
Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, неньютоновское течение, аналитическое решение, реологическое уравнение состояния, реологическая модель Фан-Тьен—Таннера.
В современной литературе все больше внимания уделяется изучению движения вязкоупругих жидкостей, которые широко применяются в современной промышленности. Несмотря на большое количество публикаций [1—5, 10—14], определение гидродинамических полей является довольно трудной задачей даже в случае простейших течений.
Реологическое поведение вязкоупругих жидкостей достаточно хорошо описывает модель максвелловского типа, разработанная Фан-Тьеном и Таннером [1] на основании теории перестраивающейся сетки через два основных реологических параметра.
Модель Фан-Тьен—Таннера позволяет с высокой точностью прогнозировать аномалию вязкости раствора полимера и наличие продольной вязкости в течениях, обусловленных нормальными напряжениями, хорошо описывает течение полимеров, пластмасс, резиновых смесей, т.е. тех жидкостей, для которых характерно наличие вязко-упругого эффекта [2—5]. К таким жидкостям относятся, например, расплавы полиэтилена низкого давления [6], раствор полиизобутилена в тетрадецене [7—9].
В литературе известны работы [10—14], в которых получены решения задачи течения линейных или упрощенных моделей жидкости Фан-Тьен—Таннера в каналах и трубах. При этом в некоторых случаях возможно возникновение слабых тангенциальных разрывов профиля скорости [10]. Для анализа точного решения задачи течения вязкоупругих жидкостей в плоских каналах и круглых трубах необходимо определение условий возникновения этих разрывов. В настоящей работе получены такие условия в виде неравенств для режимных и реологических параметров при течении жидкости Фан-Тьен—Таннера в плоских каналах и круглых трубах.
1. Решение задачи в плоских каналах. Разработка математической модели течения вязкоупругой жидкости Фан-Тьен—Таннера [1] в плоских каналах осуществлялась при следующих допущениях: гидродинамические процессы имеют изотермический, ста-
ционарный и сформировавшийся характер; течение жидкости ламинарное; эффекты силы тяжести незначительны; жидкость прилипает на стенках каналов. Систему уравнений переноса количества движения и неразрывности будем записывать в декартовой системе координат с горизонтальной осью х, направленной по основному направлению движения, и вертикальной осью у.
При принятых допущениях, очевидно, что компонента скорости Ух и компоненты тензора избыточных напряжений ахх, аху, ауу, не зависят от переменных х и г; компоненты Уг, Уу, аж, ауг равны нулю, а система уравнений, описывающих движение жидкости, имеет вид
0 = дР + 0 = _дР + 0 = _дР
дх ду ду ду дг
где Р — давление. При этом уравнение неразрывности выполняется автоматически. К этой системе необходимо добавить реологическое уравнение состояния Фан-Тьен— Таннера
G = Gy + Gn , G N =
X(DGy/Dt + $ (D • Gy + Gy • D)) + gGy = 2xyD
sX,
(1.1)
= exp
l_Xv
-tr (Gy )
где D = 1/2 (gradV + gradVT) — тензор скоростей деформаций; gradV — тензор градиента скорости; gradVT — транспонированный тензор градиента скорости; X — время релаксации; ц N, M-F, 0 ^^^ 1, s — реологические константы; DoV/Dt = do/dt — о ■ VVT — VV ■ о =
= dа/dt + V о • V - о • V V1 - V V • о — верхняя конвективная производная Олдройда.
Решение заданной системы уравнений ищется в области —h < y < h, где h — половина ширины канала. На границе канала ставились граничные условия прилипания жидкости на стенках. Решение поставленной задачи может быть получено в виде
^xy = Co y, P = Co x + f (y)
Реологическое уравнение состояния в координатном виде может быть записано ®Vzz = 0 > ®Vyz = 0, ®Vxz = 0
\2
dpi k2($(2-2(1
= exp [s Хстр/Цу ] ^0 = (2 - fya 0
°Vxy 2X (1 -ty(dVx/dy)" ^ 2 (1 ,
zk
exp — 00
00
aVyy = '
^0
2 (1 -§)
(1.2) (1.3)
где С 0 = 1Гву = Сухх + Оууу.
Уравнение (1.2) является уравнением, из которого определяется а0 как функция йУ^/йу, а из уравнений (1.3) далее определяются Суху, Сухх, Сууу как функции йУх/йу. Из (1.2)—(1.3) получается следующее выражение для оху
^Г-^ 4 =77^ (( - О + Р ехР (kt))2 (1.4)
MV (1 - f)
где ? = ^ (2о/(2 (1 -!;) Цу)..
Для определения йУх/йу ,УХ используется решение уравнений движения, тогда выражение (1.4) примет следующий вид:
(Со^2 = ТТл ( - t) + P ехр (kt))2
Mf - t)
В полученные выражения вводятся безразмерные величины
h Р H-F 5(2-5)
G ^(2-|)(Со^)2 = ^(2^fW
Hf
F 2 2
к = %(2 - ^Isaxp = %(2 - %)Же*2 h
We* = ^ Fmax — число Вайсенберга, у = dUx, = , Fmax = Fx (0). h dn Fnax
Тогда зависимость у от п может быть представлена в параметрическом виде КГ2 = /1 (-) =
Ол2 = /2 (-) = - 1 - ' + в еХР (к-»
2 (1.5)
(1 - -)
2. Решение задачи в круглых трубах. Разработка математической модели течения вязкоупругой жидкости Фан-Тьен—Таннера [1] в круглых трубах осуществляется при допущениях, аналогичных допущениям в плоских каналах. Система уравнений переноса количества движения и неразрывности записывается в цилиндрической системе координат с горизонтальной осью z, направленной по основному направлению движения. При принятых допущениях очевидно, что компонента скорости Vz и компоненты тензора избыточных напряжений огг, огг, огг, не зависят от переменных z и ф, компоненты Уг, у,, оог^ равны нулю, а система уравнений, описывающих движение жидкости, имеет вид
0 = _дР + д0ж + 0гг ~
дг дг г
0 = _дР +1 д°г1Г дг г дг
0 = _ 1 дР + + 2
гдф дг г
Уравнение неразрывности выполняется автоматически. К этой системе необходимо добавить реологическое уравнение состояния Фан-Тьен—Таннера (1.1). Решение за-
данной системы уравнений ищется в области 0 < r < R, где R — радиус канала. На границе канала ставятся граничные условия прилипания жидкости на стенках. Решение поставленной задачи может быть получено в виде
^ = Cor/2, P = Qz + f (r)
Реологическое уравнение состояния в координатном виде может быть записано как &Vr<p = 0 > О"¥щ = 0 и aVVV = 0
(dVjdr)2 X2 ((2 - C0 - 2(1 - £) \ir/X) = -[exp [бЯ-о/^v] °0 (2.1)
ÜVrz=2x(i -mdvz/dr), ÜVzz = "¿(Г-!)' Gvrr=-(2)
где а 0 = traV = aVrr + aVzz.
Из уравнения (2.1) определяется с0 как функция dVz¡dr, а из (2.2) — cVrz, aVzz, aVrr как функции dVz/dr. Для arz получаем
^^ = ((1 - t) + ßexp(kt))2 (2.3)
mv (1 -1 (
где t = (200/(2 (1 -$) ^ ).
Для определения dVz/dr, Vz используется решение уравнений движения, тогда выражение (2.3) примет следующий вид:
^iM ГС0 „I2 _ _JL_ ((1 -1) + ß exp (kt))2
^ 2r) (1 -1)
В полученные выражения вводятся безразмерные величины
n = L, ß=M, k = 2ё (1 G (2 -^)(C0R )2
R ц/ \ (2 -¡j)' 4MV
к = % (2 - ifiaxtL = %(2 Же*2
^е* = Утах^ — число Вайсенберга, у = —^, = ——, Утах = Уг (0).
^ Утах
Тогда зависимость у от п может быть представлена в параметрическом виде (1.5).
Таким образом, уравнения, определяющие зависимость dVz(ц2)/dr или (п2), являются одинаковыми для плоского канала и круглой трубы. Поэтому все формулы, полученные для плоского канала, справедливы и для круглой трубы, если в них вместо к подставить R, а вместо |С0| подставить |С0| /2.
3. Исследование зависимости скорости сдвига от координаты. Областью изменения параметра t в параметрической зависимости (1.7) является промежуток I е [0;1). Для исследования параметрической зависимости /2 (/1), которая определяет зависимость бП2(ку2), записываем ее производную ¿/2 (0//1 (0 = (/ (О/(?)/dt). Критические точки этой функции можно определить, приравнивая нулю производные функций
/2 ^) и /1 ^)
/2' =-(1 - - +Р ехр (^ ))в(2к- 2 - 2к- - 1)еХР {к!) - (2- 2 - 3- +1} = 0
(1 -')
= _ ехр^к) 2 _ 2к- _ ц = 0 (1 _ -)2
Нули функции /{(х) определяются по формуле (/1')12 = (2к ± V 4к2 + 8к)/4к = = 1/2 ± 1/2у1ГТ2/к и не входят в область определения - е [0;1). Производная функции сохраняет положительный знак при - е [0;1), и зависимостьf1(t) имеет монотонно возрастающий характер.
Для исследования функции используются соотношения (1 - - + в ек-) > 0, к > 0, (1 - -) > 0 в области - е [0;1); тогда для определения критических точек необходимо
найти корни уравнения в ехр (к-) (2к-2 - 2к- -1) - (2-2 - 3- + 1) = 0, которое может быть записано в виде
(2к-2 - 2к- - 1)в ехр (к-) = 2-2 - 3- + 1 (3.1)
Обозначая функцию слева и справа через ф (-) = (2к-2 - 2к- - 1)в ехр (к-), = 2^ — — 3t + 1, их производные примут следующий вид:
ф' (-) = (2к-2 + (4 - 2к) - - 3)в кехр (к-), у' (-) = 4- - 3
Исследование функции у (-) показывает, что она имеет минимум уш1п = 9/8 — 9/4 + + 1 = —1/8 в точке - т;п = 3/4, а на границах области определения она принимает значения у (0) = 1, у (1) = 0. Кроме того, у (1/2) = 0. Для функции ф (-) одна ее критическая
точка -1 = (2к - 4 + ^(4 - 2к)2 + 24к)/4к > 3/4 лежит в области определения - е [0; 1) и является точкой минимума, а другая находится вне области определения. На границах области определения функция ф (-) принимает значения ф (0) =—3, ф(1) =-в ехр (к). При непрерывном увеличении параметра Р от Р = 0 до в = в0 график функции ф (-), имеющий две точки пересечения с функцией у (-) при в = 0 (-01 = 1/2; -02 = 1), опускается ниже и при достижении некоторого значения в = в0 две точки пересечения сливаются в одну точку, которая определяется условием равенства как самих функций, так и их производных, и далее при в > в0 функции не имеют точек пересечения. Таким образом, при в < в0 имеется немонотонная зависимость /2 (-), а при в > в0 эта зависимость монотонна. Графики ф (-) и у (-) для значений к = 1 и к = 9 представлены на фиг. 1. Условие в < в0 (к) м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.