Акустические методы
УДК 539.3/620.179.16
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ В ЦИЛИНДРЕ ПО ДАННЫМ АКУСТИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ
А. О. Ватульян, В.В. Дударев
Сформулирована задача об определении внутреннего давления в трубе с помощью акустического метода. Напряженное состояние, создаваемое внутренним давлением, рассматривается как предварительное напряженное состояние (ПНС), описываемое моделью Треф-фтца. Колебания трубы вызываются действием равномерно распределенной осциллирующей нагрузки, приложенной на внешней границе. В качестве дополнительной информации считаются известными значения собственных частот.
Ключевые слова: акустический метод, предварительные напряжения, обратная задача.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с развитием строительства и ростом протяженности прокладки трубопроводных магистралей все большее значение приобретают мониторинг напряженно-деформированного состояния (НДС), а также качество изготовления труб и их отдельных частей [1]. Среди комплекса мероприятий по осуществлению такого мониторинга следует выделить использование не-разрушающего метода акустического зондирования. С точки зрения этого подхода неоднородность свойств тела оказывает влияние на его акустические характеристики, такие как скорости бегущих волн, значения собственных частот, амплитуды колебаний и т. д. С помощью метода акустического зондирования успешно решен ряд практических задач.
В [2] описано применение метода акустоупругости для определения двухосных напряжений при нагружении трубной плети внутренним давлением. При этом исследована реальная тонкостенная конструкция большого диаметра, идентификацию осуществляли по значениям скоростей поверхностных упругих волн.
В [3] показаны возможности неразрушающего акустического метода на примере определения внутренних непроектных осевых напряжений в технологических трубопроводах. При реализации описанной техники одним из важных аспектов является определение значений акустических параметров для ненапряженного объекта, которые могут быть получены косвенным путем. Отмечается, что акустические свойства бесшовных и прямошовных труб мало изменяются с течением времени в направлении оси трубы и могут существенно меняться вдоль тангенциального направления.
Также метод акустического зондирования успешно применяется для определения различного рода дефектов в газопроводах и нефтепроводах [4].
Стоит отметить, что наряду с развитым акустическим методом широко применяется тензометрический метод определения НДС [1, 5]. Использование этого метода позволяет осуществлять контроль как в режиме реального времени, так и в режиме посещений. Совершенствование этого подхода заключается в разработке более точных тензодатчиков и их эффективном размещении на объекте. Для получения оперативной информации на протяжен-
Александр Ованесович Ватульян, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет". Тел. 8(863)2975(*)110 (раб.). E-mail: vatulyan@math.rsu.ru
Владимир Владимирович Дударев, канд. физ.-мат. наук, ассистент кафедры теории упругости Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет". Тел. 8(863)2975(*)110 (раб.). E-mail: dudarev_vv@mail.ru
ных магистралях используются интеллектуальные вставки, которые являются частью трубопровода [1].
Наряду с разработанными технологиями неотъемлемой частью комплексного обследования объекта является анализ распределения текущего напряженного состояния [6]. Учет предварительных напряжений в этом анализе очень важен, поскольку такие напряжения возникают в результате большинства производственных процессов, а их высокая концентрация указывает на наличие дефектов типа полостей, трещин или включений.
В настоящее время можно выделить два подхода для описания НДС тела при наличии ПНС. В рамках первого подхода, предложенного академиком А.Н. Гузем [7], в качестве отсчетной конфигурации рассматривается естественное недеформированное состояние тела, а в определяющее соотношение входит начальная деформация в явном виде; второго — начальное деформированное состояние, при этом причины образования ПНС не оговариваются и начальная деформация не входит в определяющее соотношение. На основе такого подхода получен ряд моделей, предложенных Е. Треф-фтцем [8], М. Био, К. Бицено и Х. Генки, Р. Саусвеллом, В.В. Новожиловым, Л.М. Зубовым, К. Васидзу, Л. Робертсоном, А. Хогер, К. Трусделлом и другими. Отличие этих моделей состоит в записи определяющего соотношения для тензора Пиолы—Кирхгофа. Ранее на основе модели А.Н. Гузя авторами были разработаны некоторые общие подходы к решению проблемы идентификации неоднородного ПНС, которые апробированы на задачах для стержня, слоя и пластин [9, 10].
В качестве одной из важных прикладных задач механики деформируемого твердого тела можно выделить задачу определения внутреннего давления в трубе с помощью неразрушающего подхода [11, 12]. В настоящей работе внутреннее давление рассматривается как скрытое ПНС тела.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В общем случае уравнение установившихся колебаний предварительно напряженного тела и граничные условия имеют вид
У-Т + рса2и = 0; (1)
П - II = Р, У-1 = 0, (2)
—1Л„ — |0и
где I — тензор Пиолы—Кирхгофа; р — плотность материала; ю — частота колебаний; и — вектор смещения; п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела S = 5а и 5и; р — вектор нагрузки. В соответствии с
моделью, предложенной Треффтцем [8], определяющие соотношения для тензора I в случае изотропного тела можно выписать в виде
I=с+с0 - у и; (3)
с = ХЕЩ + 2цв, (4)
где с — тензор напряжений Коши; с0 — тензор предварительных напряжений; Е — единичный тензор; в — тензор упругих деформаций Коши;
X, ^— параметры Ляме. В полярной системе координат в условиях плоской деформации выражения для тензоров Т_ и С имеют вид
Т = Т е е + Т ее + Те е + Т е е ; (5)
__——Гф —Г —ф фГ —ф —Г фф —ф —ф ? V '
° 0 0 0 0 с = с е е +с е е +с е е +с е е . (6)
/г—Г—Г гф— Г— ф фг— ф— Г фф—ф—ф* V /
В частном случае с помощью приведенных уравнений можно описать радиальные колебания цилиндра в рамках плоской деформации. Рассмотрим цилиндр с внутренним (г1 > 0) и внешним радиусами (г2 > г1). Пусть колебания вызываются действием равномерно распределенной нагрузки р = - рег, приложенной на внешней границе г = г2
(Те + Т е II = р; (7)
^ гг_г гФ-Ф/
г г2
( + Тф^ф |=0. (8)
При дальнейших рассуждениях будем полагать, что среди компонент тензора предварительных напряжений отличны от нуля только две
а0 = а0 (г) ф 0, о0тт = о0тт(г) ф 0. (9)
ГГ /7 7 ' ' фф ффу ' ' 1 '
Учитывая геометрию области и способ нагружения, примем, что из компонент поля перемещения отличной от нуля является только радиальная компонента
Ыг = м(г). (10)
С учетом сделанных допущений выражения для компонент тензора Т и уравнение движения примут вид:
Тгг = Сгг+ ^с0г, Т„ = 0; (11)
тфф= Сфф+ 1 ^ Тг = 0; (12)
^ + Тгг -Тфф +рю2„ = 0. (13)
Иг г
Условие равновесия [13] для компонент тензора предварительных напряжений приводит к соотношению
и с0
а"„ = г^ + <. (,4)
Выпишем уравнение движения в перемещениях и граничные условия в перемещениях:
)) + (^ +1 ))
йМ
Ф
рю
Я + 2ц + г^- + с
Л Л
/ )
и = 0;
( ( + * + <*)) + )
= - р;
= 0.
(15)
(16)
(17)
Уравнение (15) является дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами относительно функции и(г). Параметры Ляме X, ц в выражениях (15)—(17) считаются постоянными.
Для дальнейшего исследования введем следующие безразмерные параметры и функции: р* = -р/(Х + 2ц); к2 = рю2г2/(Х + 2ц) — параметр, характеризующий частоту колебаний; \ е [£0, 1] — безразмерная радиальная координата; = г1/г2; к = Х/(Х + 2ц); м(г) = г21Г(£), = о0гДХ + 2ц) — функция, характеризующая закон изменения компоненты О0г. Тогда краевая задача (15)—(17) примет вид
(1 + g )и"
1
и' -
1
л
42 4
- - к
и = 0;
и
(1 + g) и' + к-
и
= р*, (1 + g) и' + к-
4=1
= 0.
(18)
(19)
4=40
При наличии дополнительной информации о решении в виде амплитудно-частотной характеристики, измеренной на внешнем радиусе цилиндра, можно ставить вопрос об отыскании функции g(£,). Она может быть исследована на основе общих подходов к решению обратных коэффициентных задач [14, 15].
Рассмотрим более простую обратную задачу о восстановлении уровня ПНС, соответствующего задаче Ляме для цилиндра [13], по данным об изменении собственных частот колебаний. Сформулированная задача относится к коэффициентным обратным задачам [14].
Далее выпишем две краевые задачи, соответствующие различным видам нагружения:
( 1 + g Л. (1 + g g' Л
(1 + g )и"
и' -
42 4
- - к
и = 0;
(20)
(1 + g ) и'+ 4 и
= 0;
4=40
(1 + g) и' + 4 и
= 0;
(21)
4=1
и"+- и' -
-2 К0
ио = 0;
(22)
(1+g) и0+ ио
¡=¡0
= 0; (1 + g )и'0+ - и0
= 0.
(23)
¡=1
Постановка задачи (20), (21) описывает свободные радиальные колебания цилиндра при наличии предварительных напряжений, а (22), (23) — при его отсутствии. Отметим, что решение задачи (22), (23) может быть получено через Бесселевы функции, а решение задачи (20), (21) — только численно. Вместе с тем можно получить информацию об изменении собственной частоты колебаний, не решая сами краевые задачи.
Для получения этой оценки умножим уравнения движения (20) и (22) на функции и ^и(^) соответственно и проинтегрируем в пределах от
до 1. Тогда имеем следующие равенства:
| 1(1+g )и "и 0 + '+1+g) и 'и0- Г +g' - ¡К
¡0 V V Ъ
I I ¡и00и + и0и -Г1 - ЪК
¡0 V и
иип
й ¡ = 0.
, = 0, (24)
(25)
Вычитая из (24) (25), используя формулу интегрирования по частям, с учетом граничных условий, получим соотношение
Л
Iиg ¡и'ойЪ - П| + g0 - ¡К2 ии0<йЪ - \Ък0иоШЪ = 0, (26)
откуда находим
¡I g¡и'и0
к2 - К02 =
иип
¡¡ии0 й \
(27)
¡0
Принимая для собственной формы и(^) = и0(£) в силу малости уровня ПНС, окончательно получим формулу, позволяющую оценивать изменение резонансной частоты в зависимости от различного вида структуры предва
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.