ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Н. В. Баничук, С. Ю. Иванова
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИИ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Сформулированы некоторые задачи оптимизации внутренней структуры твердых тел, изготовленных из локально ортотропного в отношении теплопроводящих свойств материала. Переменная состояния (обратная температура) определяется из решения краевой задачи теплопроводности. В качестве управляющей переменной принимается ортогональный тензор поворота, определяющий оптимальную ориентацию осей ортотропии материала, доставляющую экстремум функционалу диссипации. Выведены необходимые условия экстремума и исследованы некоторые свойства уравнений, определяющих оптимальные структуры. Приведены примеры решения задач об оптимальном расположении ортотропного материала и указана возможность эффективного применения для этой цели мембранной аналогии.
1. Основные соотношения и формулировки задач оптимизации. Рассматривается стационарный процесс распространения тепла в твердом теле, занимающем область О с границей Г, на части Гё которой задана температура или нормальный к поверхности тела тепловой поток, а остальная часть поверхности тела Гг- предполагается изолированной от проникновения сквозь нее теплового потока, причем Г = Г, + Г&, Г{ П Г& = 0. Материал тела — анизотропный по отношению к процессу распространения тепла, описываемому известными соотношениями закона Фурье [1—3]
ч = -л-уе = в-ур, р = е-1 ур = к - ч, к - в = е, в = е2л
где 0 — температура, q — вектор теплового потока, а Л = {Л у}, В = {В^, К = {Ку} — тензоры теплопроводности второго ранга, Е = |8 у} — единичный тензор, 8 у — символ
Кронекера, Ву = 9 Л у. Здесь и всюду далее /, у = 1,2,3. В отсутствие тепловых источников в области О стационарное распределение потоков тепла ч = {д^} и температура 0 = р-1 удовлетворяют уравнению
V- ч = (ВуР,у). = 0; р,у =дв/дху (1.2)
Здесь и в дальнейшем для удобства используется как индексная символика, предполагающая суммирование по повторяющимся индексам (/, у = 1,2,3), так и символическая форма записи основных соотношений [4, 5]. Так, через V • ч = д^ в (2) обозначается дивергенция вектора теплового потока q, Ур — градиент величины Р. Точка между величинами означает свертку по одному индексу, а две точки — свертку по двум индексам. Тем самым точка между векторами — обычное скалярное произведение, а точка
между тензорами второго ранга (операция свертки по повторяющемуся индексу) опять приводит к тензору второго ранга.
Отсутствию теплообмена соответствуют граничные условия на части поверхности Г,-
(q • n)r¡ = 0 (1.3)
На части поверхности Tg либо задано значение температуры 9°, приводящее к граничному условию
(ß)r s = ß0(ß0 = 1/9°) (1.4)
либо предполагается известной нормальная составляющая qn теплового потока, т.е. (q • п) = {nDßj) = q° (Ь5)
где ß° и q° — заданные функции точек соответствующих участков границы тела, п — орт внешней нормали к границе rg. Полная диссипация записывается в одной из следующих форм:
JD = JVß- D -Vßdn= J(Vß®Vß)-- DdD. (1.6)
о о
Символ ® означает прямое тензорное произведение.
Согласно вариационному принципу минимума диссипации в случае граничных условий (1.3), (1.4) реализуется минимум функционала [2]
J1 = JD ^ min (1.7)
ß
на множестве всех функций ß, принимающих заданные значения на rg, т.е. удовлетворяющих граничному условию (1.4). При этом граничное условие (1.3) играет роль условия трансверсальности для рассматриваемого функционала JD, а уравнение (1.2) представляет собой уравнение Эйлера для функционала (1.6), т.е. необходимое условие экстремума JD по отношению к вариациям функции ß, выполняющееся в области Q.
В случае выполнения граничных условий (1.3), (1.5) согласно вариационному принципу минимальности диссипации [2] функционал
J2 = JD - 2 J ßq • ndr = JD - 2 J ßqndr^ min (1.8)
достигает минимума по переменной ß. Заметим, что функционал J2 в случае выполнения уравнения (1.2) и соответствующих граничных условий удовлетворяет равенству
Ji = —J2 (1.9)
Зафиксируем глобальную ортогональную систему координат Xj с ортами e°. Главные направления тензора теплопроводности ортотропного материала e¡ в произвольной точке x = (xi, x2, x3) e Q связаны с ортами e° глобальной системы координат ортогональным тензором поворота Q = Q (x):
e= Q * e° s Q ■ e° (1.1°)
причем
QT ■ Q = Q ■ QT = E (1.11)
Символ T означает операцию транспонирования, а звездочка — операцию поворота с применением ортогонального тензора Q. В главных осях симметрии ортотропного материала в произвольной точке тела тензор теплопроводности с компонентами Dj в базисе e, записывается в виде
D = D°eI ® ej (1.12)
Подставляя выражения (1.10), связывающие направления локальной ортогональной
системы координат (с ортами e,) и глобальной системы координат (с ортами e°) в формулу (1.12), приходим к следующему представлению тензора D:
D = D0Q ■ e° ® Q ■ e° = Q ■ D° ■ QT = Q * D°; D° = D°e° ® e° (1.13)
Заметим, что если и e° — собственные числа и векторы тензора D0, т.е.
г.0 о Л О О /11/14
D ■ et =Xj ej (1.14)
то и Q ■ e0 = et — собственные числа и векторы тензора D = Q * D0 = Q ■ D0 • QT.
В дальнейшем предполагается, что собственные числа тензора D0 или, что то же самое, собственные числа тензора D, — заданные величины. Соотношения, аналогичные (1.10)—(1.13), выполняются для тензоров Л и K, для краткости изложения они не приводятся.
Рассматриваемые ниже задачи оптимизации структуры ортотропного материала в области Q, занимаемой телом, заключаются в отыскании наилучшей ориентации осей ор-тотропии и сводятся к определению ортогонального тензора поворота в каждой точке области Q, так что достигается экстремум оптимизиируемых критериев качества:
J*= Ji (Q*) = min J (Q) (1.15)
Q
J* = J 2 (Q*) = - max J2 (Q) (1.16)
Q
Задачи максимизации функционала диссипации за счет соответствующего расположения ортотропного материала формируются аналогичным образом. Так, соответствующая (1.15) задача о максимуме диссипации записывается в виде
J1 (Q) ^ max (1.17)
Q
и рассматривается при получении двусторонних оценок для функционала JD.
Заметим также, что каждая из перечисленных задач оптимизации может быть сформулирована как задача последовательного нахождения экстремумов одного рассматриваемого функционала. Например, задача оптимизации функционала Jx = JD может быть представлена следующим образом:
J*d= Jd (Q*,ß*) = minmin Jd (Q,ß) (1.18)
Q ß
Внешний минимум по Q разыскивается при учете выполнения условия ортогональности (1.11).
2. Условия оптимальности. Для получения необходимых условий экстремума, определяющих тензор поворота 0 = 0 (х) и характеризующих оптимальную ориентацию осей ортотропии, составим расширенный функционал Лагранжа
I1 = ЫВ + ЫР (2.1)
Интегральные функционалы, составляющие функционал Лагранжа, определены следующим образом:
1в = |Ур • (0 * В0) • Ур4П = |(Ур ® Ур) • (0 • В0 • 0Т(2.2)
о о
1р = |Р •• (2Т • 0 - Е)йО. (2.3)
о
где симметричный тензор второго ранга Р = Р(х) (х ей) — тензорный множитель Лагранжа, отвечающий условию ортогональности (1.11).
Учитывая обозначение для симметричного тензора второго ранга
В ВТ = В (2.4)
вариацию расширенного функционала JL по отношению к вариации ^ тензора поворота Q запишем в виде
Ы1 = Ыв + ЫР (2.5)
81 в = |(У Р ® УР) • 8В4П = |В •• (80 • В° • 0Т + 0 • В0 • 80Т)йО. (2.6)
о о
81 р = |Р ■ ■ 8(0Т ■ 0)40 = |Р ■■ (80Т • 0 + 0Т ■ 80)40. (2.7)
Применяя следующие тождественные соотношения для тензоров второго ранга X, У и Z [4, 5]:
X •• (У • Z) = Z •• (X • У), X У = У •X = ХТ •УТ (2.8)
и свойства симметрии
В0Т = В0, РТ = Р (2.9)
преобразуем подынтегральные выражения в формулах (2.6) и (2.7) следующим образом: В ■ (50 ■ В0 • 0Т) + В ■■ (0 ■ В0 • 50Т) = 250 ■■ (В0 • 0Т ■ В) Р ■■ (50Т • 0 + 0Т -80) = 250 ■■ (Р ■ 0Т)
Учитывая эти равенства и равенство (2.5), будем иметь выражение для вариации расширенного функционала
811 = 2180 •• (В0 • 0Т • В + Р • 0Т)4^
о
Из условия bJL = 0 следует равенство нулю выражения в скобках, справедливое в области Q. Умножая это равенство на Q слева и используя выражение
D = Q • D0 • QT(DT = D) (2.10)
приходим к соотношению
D-Vß®Vß = -Q • P • QT (2.11)
означающему симметричность тензора второго ранга, записанного в левой части равенства (2.11), т.е.
D-Vß®Vß = Vß® D-Vß (2.12)
В другой форме, учитывающей представление (1.1) для вектора теплового потока, будем иметь равенство
q ® Vß = Vß® q
которое выполняется в случае, когда векторы q и Vß параллельны, т.е. при выполнении соотношения q = XVß, где X — скаляр. Запишем его в виде
D -Vß = XVß (2.13)
3. Анализ экстремальных решений. Соотношение (2.13) совместно с равенствами (1.11), (2.10), уравнением (1.2) и соответствующими граничными условиями определяют экстремальные ориентации ортотропного материала, а также переменные q и ß. Учитывая, что собственные числа Xt тензоров D и D0 заданы, будем для определенности считать, что
min 2 < max (3.1)
В предположении, что во всей области Q, занимаемой ортотропным телом, реализуется один из способов ориентации осей ортотропии, соответствующий одному из указанных собственных значений, процесс распространения тепла описывается гармоническим уравнением
V- q = V- (D -Vß) = XAß = 0, X = X j (3.2)
Последнее равенство в цепочке равенств (3.2) означает, что при стационарном распределении теплопроводности в области Q, занимаемой материалом с экстремальной ортотропией, процесс теплопереноса описывается таким же уравнением (Aß = 0), как и в изотропном случае. Имеющие место существование и единственность решения уравнения Лапласа при рассмотренных граничных условиях и некоторых дополнительных ограничениях означают существование и единственность не зависящего от X распределения величины ß. Если же область Q состоит из ряда подобластей Qj (Q = ^ Qj, Q.j П ^j = 0), заполненных локально ортотропным материалом с различной экстремальной ориентацией осей ортотропии, то в каждой отдельной подобласти процесс распространения тепла изотропный, т.е. описывается уравнением Лапласа.
Предполагая, чт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.